Матричний калькулятор

Додати на сайт Метаінформація

Інші інструменти

Матричний калькулятор

Матричний калькулятор

У математиці для компактного запису систем лінійних рівнянь часто використовують матриці, що записуються у вигляді прямокутних таблиць. У цих таблицях число рядків відповідає кількості рівнянь, а кількість колонок – кількості невідомих. Існують також матриці у вигляді кілець та полів: для запису комплексних та дійсних чисел.

За допомогою матричних таблиць можна вирішувати алгебраїчні та диференціальні рівняння, зводячи обчислення до операцій над матрицями, що значно прискорює процес. Крім того, це спрощує систематизацію великих масивів даних, зокрема в електронно-обчислювальних пристроях.

Історія виникнення

Історики приписують винахід перших матриць давнім китайцям. Понад 4000 років тому, за правління імператора Юя Великого, ці математичні об'єкти називалися магічними квадратами, і дозволяли проводити складні обчислення в кілька простих дій.

Згідно з давньокитайською легендою, перший магічний квадрат з ієрогліфами був виявлений на панцирі священної черепахи, що випливла з Хуанхе в 2200 році до нашої ери. Матриця знайшла застосування у торгівлі та інженерії, і згодом поширилася у багатьох країнах Стародавнього Сходу. За часів раннього Середньовіччя про неї дізналися в арабських країнах, у XI столітті — в Індії, у XV—XVI століттях — у Японії.

У Європі про магічний квадрат дізналися лише на рубежі XV-XVI століть — завдяки візантійському письменнику Мануїлу Мосхопулу, який описав його у своїх працях. 1514 року німецький живописець Альбрехт Дюрер включив магічний квадрат у свою гравюру «Меланхолія». На ній, крім інших об'єктів, зображено квадрат, до центральних клітин якого вписано дату створення гравюри.

У XVI столітті числові матриці набули поширення серед віщунів та астрологів, що надають магічному квадрату містичні та цілющі властивості. Його часто можна зустріти на мініатюрних срібних гравюрах того часу, які нібито захищали своїх власників від чуми. Тоді ж, у XVI столітті, для матриць у Європі знайшлося практичне застосування. Німецький філософ Корнелій Генріх Агріппа використав їх для опису руху 7 планет, побудувавши квадрати від 3-го до 9-го порядку.

У XVII-XVIII століттях дослідження продовжилися, і в 1751 році швейцарський математик Габріель Крамер опублікував новий спосіб вирішення рівнянь алгебри за допомогою матриць з нульовим головним визначником, над яким він працював кілька десятиліть.

Приблизно водночас було опубліковано метод Гаусса на вирішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Хоча сьогодні його назва нерозривно асоціюється з ім'ям німецького математика, авторство, на думку істориків, належить не йому. Так, цей метод обчислення матриць був відомий ще за 2000 років до життя Карла Фрідріха Гауса, і був представлений у давньокитайській «Математиці у дев'яти книгах» у II столітті до нашої ери.

У міру розвитку алгебри та операційного обчислення інтерес до матриць спалахнув з новою силою в XIX-XX століттях. Їхнім дослідженням займалися видатні вчені свого часу: Вільям Гамільтон, Артур Келі та Джеймс Джозеф Сільвестр.

До середини XIX століття ними були остаточно сформульовані правила додавання та множення матричних таблиць, а на початок XX століття теоретична база була розширена дослідженнями Карла Вейєрштрасса та Фердинанда Георга Фробеніуса. Примітно, що свою сучасну назву та позначення матриця отримала лише 1841 року — завдяки англійському математику Артуру Келі.

Різновиди матриць

Стандартна прямокутна матриця є числовий ряд з m кількістю рядків і n кількістю стовпців. Всі елементи в ній нумеруються зліва направо та зверху вниз. Верхній рядок може бути представлений у вигляді (a₁ a₂ a₃ ... aₙ), а нижній - у вигляді (aₘ₁ aₘ₂ aₘ₃ ... aₘₙ). Розмір матриці вказується як m×n, де m та n — натуральні числа.

Відповідно, щоб дізнатися сумарну кількість елементів у таблиці, достатньо помножити m на n: кількість рядків на кількість стовпців. Які ще існують матриці, окрім прямокутної?

  • Квадратні. Вони мають однакову кількість рядків і стовпців, тобто — m = n.
  • У вигляді вектора-стовпця. Така матриця n = 1, а розмір вказується як «m × 1». Усі числа в ній нумеруються зверху донизу: colon (a₁ a₂ ... aₘ).
  • У вигляді вектора-рядка. Матриця, аналогічна до попередньої, але з m = 1 і розміром «1 × n». Числа в ній нумеруються ліворуч: row (a₁ a₂ ... aₙ).

Стовпці та рядки позначаються великими літерами (m, n), але в загальному вигляді кожну матрицю можна представити як К = M × N, навіть якщо одне із значень дорівнює одиниці.

Розрізняють також транспоновані, діагональні, одиничні та нульові матриці. У поодинокі всі елементи - одиниці, при множенні на неї будь-яка матриця залишається незмінною. У нульовому всі рядки та стовпці складаються з нулів, кожна матриця залишається незмінною при складанні з нею.

Калькулятор множення матриць

Калькулятор множення матриць

Як і з більшістю інших математичних об'єктів, з матрицями можна проводити операції складання та віднімання, множення та поділу. Для цього існують свої правила та формули, виведені вченими ще у XVII-XIX століттях.

Операції над матрицями

Операції додавання

Будь-яку матрицю з m рядків і n стовпців можна подати у вигляді K = m × n. Якщо в операції задіяно відразу кілька матриць, їм надають великі буквені позначення за абеткою: A, B, C і т. д. Щоб скласти між собою матричні таблиці A і B одного порядку, потрібно по черзі скласти всі їх елементи в рядках m і стовпцях n . Тобто, у підсумковій матриці C кожен елемент дорівнюватиме:

  • сₘₙ = aₘₙ + bₘₙ.

Оскільки при додаванні використовуються аксіоми лінійного простору, стає дійсною теорема, згідно з якою безліч всіх матриць однакових розмірів з елементами з поля P утворює лінійний простір над полем P. Іншими словами, кожна така матриця є спрямованим вектором цього простору (P). Проводячи операції додавання, необхідно враховувати дві основні характеристики матриць:

  • Комутативність - A + B = B + A.
  • Асоціативність - (A + B) + C = A + (B + C).

Якщо скласти звичайну матрицю з нульовою (в якій усі елементи — нулі), отримаємо вираз: A + Ø = Ø + A = A. А при її додаванні з протилежною матрицею отримуємо нульову: A + (−A) = Ø.

Умноження на числа

Матрицю можна помножити на число та іншу матрицю. У першому випадку на число по черзі множиться кожен елемент рядків m і стовпців n. Якщо позначити число літерою λ, а матрицю — літерою A, то отримаємо вираз:

  • A × λ = λ × aₘₙ.

При множенні враховуються такі властивості матриць:

  • Асоціативність - λ × β × А = λ × (β × А).
  • Числова дистрибутивність — (λ + β) × А = λ × А + β × А.
  • Матрична дистрибутивність - λ × (А + В) = λ × А + λ × В.

При множенні на одиницю всі елементи таблиці залишаються незмінними, а при множенні на нуль — перетворюються на нулі.

Перемноження матриць між собою

Другий варіант множення — однієї матриці на іншу, наприклад — A × B. В отриманій після їх множення матриці C кожен елемент дорівнюватиме сумі творів елементів у відповідному рядку першого множника і стовпці другого. Це правило дійсне лише в тому випадку, якщо A та B — пропорційні, тобто мають однакову кількість рядків m і стовпців n. Якщо ж перемножуються матриці типу m×n та n×k, розмірність підсумкової матриці C складе m×k. Як і у випадку з числами, при множенні потрібно враховувати властивості матриць:

  • Асоціативність — (A × B) × C = A × (B × C).
  • Некомутативність — A × B ≠ B × A;
  • Дистрибутивність — (A + B) × C = A × C + B × C.

Комутативність зберігається лише при множенні на одиничну матрицю I: A × I = I × A = A. А при множенні на число λ зберігається тотожність: (λ × A) × B = A × (λ × B) = λ × (A × B). Прямокутну/квадратну матрицю можна помножити на вектор-рядок і вектор-стовпець. Перший записується ліворуч від неї, а другий справа: з наступним перемноженням елементів.

Де застосовуються матриці

Наочний приклад застосування матриць в математиці (і в повсякденному житті) - це таблиця множення. Вона є не що інше, як твір векторних матриць з елементами від 1 до 9. Цей принцип закладено в роботу всіх обчислювальних пристроїв, що працюють з плоскими та об'ємними фігурами.

Матриця рідкокристалічного монітора є такою в буквальному значенні, і кожен елемент у ній - це піксель з числовим значенням, від якого залежить його відтінок та яскравість. Матриці також широко застосовуються:

  • У фізиці як засіб запису даних та їх перетворень.
  • У програмуванні — для опису та систематизації масивів даних.
  • У психології — для написання тестів щодо сумісності психологічних об'єктів.

Сьогодні матричні таблиці використовують навіть в економіці та маркетингу, а також у хімії та біології. Для операцій з матрицями високого порядку потрібна велика обчислювальна потужність. В розумі або на папері проводити такі розрахунки занадто складно і довго, тому були розроблені зручні та прості у використанні онлайн-калькулятори.

Вони дозволять проводити всі основні операції онлайн: множення, знаходження визначників, транспонування, зведення в ступінь, знаходження рангів, знаходження зворотних матриць і т.д. секунди.