Llogaritësi i matricave

Në matematikë, për të shkruar në mënyrë kompakte sisteme ekuacionesh lineare, shpesh përdoren matricat, të shkruara në formën e tabelave drejtkëndore. Në këto tabela, numri i rreshtave korrespondon me numrin e ekuacioneve, dhe numri i kolonave korrespondon me numrin e të panjohurave. Ekzistojnë gjithashtu matrica në formën e unazave dhe fushave: për shkrimin e numrave kompleksë dhe realë.

Me ndihmën e tabelave të matricës, ju mund të zgjidhni ekuacionet algjebrike dhe diferenciale, duke reduktuar llogaritjet në veprime në matrica, gjë që e përshpejton shumë procesin. Përveç kësaj, ai thjeshton sistematizimin e grupeve të mëdha të të dhënave, duke përfshirë ato në pajisjet elektronike kompjuterike.

Historiku i ndodhjes

Historianët ia atribuojnë shpikjen e matricave të para kinezëve të lashtë. Më shumë se 4000 vjet më parë, gjatë sundimit të Perandorit Yu i Madh, këto objekte matematikore quheshin katrorë magjikë dhe lejuan që llogaritjet komplekse të kryheshin në disa hapa të thjeshtë.

Sipas legjendës së lashtë kineze, sheshi i parë magjik me hieroglife u zbulua në guaskën e një breshke të shenjtë që doli nga lumi i verdhë në 2200 para Krishtit. Matrica gjeti aplikim në tregti dhe inxhinieri, dhe më pas u përhap në shumë vende të Lindjes së Lashtë. Gjatë mesjetës së hershme, ata mësuan për të në vendet arabe, në shekullin e 11 - në Indi, në shekujt 15-16 - në Japoni.

Në Evropë, sheshi magjik njihej vetëm në kapërcyellin e shekujve 15-16 - falë shkrimtarit bizantin Manuel Moskhopul, i cili e përshkroi atë në shkrimet e tij. Në vitin 1514, piktori gjerman Albrecht Dürer përfshiu një katror magjik në gdhendjen e tij "Melankolia". Mbi të, ndër objekte të tjera, është paraqitur një katror, në qelitë qendrore të të cilit është shënuar data e krijimit të gdhendjes.

Në shekullin e 16-të, matricat numerike u përhapën në mesin e falltarëve dhe astrologëve, të cilët i dhanë katrorit magjik veti mistike dhe shëruese. Shpesh mund të gjendet në gdhendjet e argjendta në miniaturë të kohës, të cilat supozohet se mbronin pronarët e tyre nga murtaja. Më pas, në shekullin e 16-të, u gjetën aplikime praktike për matricat në Evropë. Filozofi gjerman Cornelius Heinrich Agrippa i përdori ato për të përshkruar lëvizjen e 7 planetëve duke ndërtuar katrorë nga rendi i 3-të në të 9-të.

Në shekujt 17 dhe 18, kërkimet vazhduan dhe në 1751 matematikani zviceran Gabriel Cramer botoi një mënyrë të re për zgjidhjen e ekuacioneve algjebrike duke përdorur matrica me përcaktuesin kryesor zero, mbi të cilat ai kishte punuar për disa dekada.

Në të njëjtën kohë, u publikua metoda e Gausit për zgjidhjen e një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare. Edhe pse sot emri i saj lidhet pazgjidhshmërisht me emrin e një matematikani gjerman, autorësia, sipas historianëve, nuk i përket atij. Pra, kjo metodë e llogaritjes së matricave ishte e njohur 2000 vjet përpara jetës së Carl Friedrich Gauss dhe u prezantua në kinezishten e lashtë "Matematika në nëntë libra" në shekullin II para Krishtit.

Me zhvillimin e algjebrës dhe llogaritjes operacionale, interesi për matricat u ndez me energji të përtërirë në shekujt 19 dhe 20. Studimi i tyre u krye nga shkencëtarë të shquar të kohës së tyre: William Hamilton, Arthur Cayley dhe James Joseph Sylvester.

Në mesin e shekullit të 19-të, ata më në fund formuluan rregullat për mbledhjen dhe shumëzimin e tabelave të matricës, dhe në fillim të shekullit të 20-të, baza teorike u zgjerua nga studimet e Karl Weierstrass dhe Ferdinand Georg Frobenius. Vlen të përmendet se matrica mori emrin dhe emërtimin e saj modern vetëm në 1841 - falë matematikanit anglez Arthur Cayley.

Varietetet e matricave

Një matricë standarde drejtkëndore është një seri numrash me m numër rreshtash dhe n numër kolonash. Të gjithë elementët në të numërohen nga e majta në të djathtë dhe nga lart poshtë. Rreshti i sipërm mund të përfaqësohet si (a1 a₂ a3 ... aₙ) dhe rreshti i poshtëm si (aₘ1 aₘ2 aₘ3 ... aₘₙ). Madhësia e matricës përcaktohet si m × n, ku m dhe n janë numra natyrorë.

Sipas kësaj, për të gjetur numrin total të elementeve në tabelë, mjafton të shumëzoni m me n: numrin e rreshtave me numrin e kolonave. Cilat matrica të tjera ekzistojnë përveç drejtkëndëshit?

Katror. Ata kanë të njëjtin numër rreshtash dhe kolonash, domethënë m = n.
Si një vektor kolone. Një matricë e tillë ka n = 1, dhe madhësia është specifikuar si "m × 1". Të gjithë numrat në të janë të numëruar nga lart poshtë: dy pika (a1 a2 ... aₘ).
Si vektor rreshti. Një matricë e ngjashme me atë të mëparshme, por me m = 1 dhe madhësi "1 × n". Numrat në të numërohen nga e majta në të djathtë: rreshti (a1 a₂ ... aₙ).

Kollonat dhe rreshtat shënohen me shkronja të mëdha (m, n), por në terma të përgjithshëm, çdo matricë mund të përfaqësohet si K = M × N, edhe nëse një nga vlerat është e barabartë me një.

Ka gjithashtu matrica të transpozuara, diagonale, identiteti dhe zero. Në matricën e identitetit, të gjithë elementët janë njësi; kur shumëzohen me të, çdo matricë mbetet e pandryshuar. Në zero, të gjitha rreshtat dhe kolonat përbëhen nga zero, secila matricë mbetet e pandryshuar kur i shtohet.

Ashtu si me shumicën e objekteve të tjera matematikore, matricat mund të manipulohen me mbledhje dhe zbritje, shumëzim dhe pjesëtim. Për këtë, ka rregulla dhe formula, të nxjerra nga shkencëtarët në shekujt 17-19.

Operacionet e matricës

Operacionet e shtimit

Çdo matricë me m rreshta dhe n kolona mund të përfaqësohet si K = m × n. Nëse disa matrica përfshihen në operacion njëherësh, atyre u caktohen shkronja të mëdha alfabetike: A, B, C, etj. Për të shtuar njëra-tjetrën tabelat e matricës A dhe B të të njëjtit rend, duhet të shtoni të gjithë elementët e tyre në rreshta m dhe kolonat n me radhë . Kjo do të thotë, në matricën përfundimtare C, çdo element do të jetë i barabartë me:

сₘₙ = aₘₙ + bₘₙ.

Duke qenë se aksiomat e hapësirës lineare përdoren gjithashtu, teorema bëhet e vlefshme, sipas së cilës bashkësia e të gjitha matricave të së njëjtës madhësi me elementë nga fusha P formon një hapësirë lineare mbi fushën P. Me fjalë të tjera, secila matricë e tillë është një vektor i drejtuar i kësaj hapësire (P). Gjatë kryerjes së veprimeve të mbledhjes, duhet të merren parasysh dy veti kryesore të matricave:

Komutativiteti - A + B = B + A.
Asociativiteti - (A + B) + C = A + (B + C).

Nëse shtojmë një matricë të zakonshme me një zero (në të cilën të gjithë elementët janë zero), marrim shprehjen: A + Ø = Ø + A = A. Dhe kur e shtojmë në matricën e kundërt, marrim një zero një: A + (−A) = Ø.

Shumëzimi i numrave

Një matricë mund të shumëzohet me një numër dhe me një matricë tjetër. Në rastin e parë, çdo element nga m rreshta dhe n kolona shumëzohet me një numër me radhë. Nëse e shënojmë numrin me shkronjën λ, dhe matricën me shkronjën A, marrim shprehjen:

A × λ = λ × aₘₙ.

Gjatë shumëzimit merren parasysh vetitë e mëposhtme të matricave:

Asociativiteti - λ × β × A = λ × (β × A).
Shpërndarja numerike - (λ + β) × A = λ × A + β × A.
Shpërndarja e matricës - λ × (A + B) = λ × A + λ × B.

Kur shumëzohen me një, të gjithë elementët e tabelës mbeten të pandryshuar dhe kur shumëzohen me zero, kthehen në zero.

Shumëzimi i matricës

Varianti i dytë i shumëzimit - një matricë me një tjetër, për shembull - A × B. Në matricën C të marrë pas shumëzimit të tyre, çdo element do të jetë i barabartë me shumën e produkteve të elementeve në rreshtin përkatës të faktori i parë dhe kolona e të dytit. Ky rregull vlen vetëm nëse A dhe B janë proporcionale, domethënë kanë të njëjtin numër m rreshtash dhe n kolonash. Nëse matricat m × n dhe n × k shumëzohen, dimensioni i matricës përfundimtare C do të jetë m × k. Ashtu si në rastin e numrave, kur shumëzoni, duhet të merrni parasysh vetitë e matricave:

Asociativiteti - (A × B) × C = A × (B × C).
Jokomutativiteti - A × B ≠ B × A;
Shpërndarëse - (A + B) × C = A × C + B × C.

Komutativiteti ruhet vetëm kur shumëzohet me matricën e identitetit I: A × I = I × A = A. Dhe kur shumëzohet me numrin λ, identiteti ruhet: (λ × A) × B = A × (λ × B) = λ × (A×B). Një matricë drejtkëndëshe/katrore gjithashtu mund të shumëzohet me një vektor rreshti dhe një vektor kolone. E para shkruhet në të majtë të saj dhe e dyta shkruhet në të djathtë: me shumëzim pasues të elementeve.

Ku përdoren matricat

Shembulli më i dukshëm i përdorimit të matricave në matematikë (dhe në jetën e përditshme) është tabela e shumëzimit. Nuk është gjë tjetër veçse prodhim i matricave vektoriale me elementë nga 1 në 9. Ky parim është i natyrshëm në funksionimin e të gjitha pajisjeve kompjuterike që punojnë me figura të sheshta dhe tredimensionale.

Matrica e një monitori me kristal të lëngshëm është e tillë në kuptimin e mirëfilltë, dhe çdo element në të është një piksel me një vlerë numerike, nga e cila varen ngjyrimi dhe shkëlqimi i tij. Matricat përdoren gjithashtu gjerësisht:

Në fizikë, si një mjet për regjistrimin e të dhënave dhe transformimeve të tyre.
Në programim, për të përshkruar dhe organizuar grupe të dhënash.
Në psikologji, për të shkruar teste mbi përputhshmërinë e objekteve psikologjike.

Sot, tabelat e matricës përdoren edhe në ekonomi dhe marketing, si dhe në kimi dhe biologji. Për të kryer operacione me matrica të rendit të lartë, nevojitet shumë fuqi llogaritëse. Në mendje ose në letër, është shumë e vështirë dhe kërkon shumë kohë për të kryer llogaritje të tilla, kështu që janë zhvilluar kalkulatorë online të përshtatshëm dhe të lehtë për t'u përdorur.

Ato do t'ju lejojnë të kryeni të gjitha operacionet bazë në internet: shumëzimin, gjetjen e përcaktuesve, transpozimin, ngritjen në një fuqi, gjetjen e renditjeve, gjetjen e matricave të anasjellta, etj. Thjesht futni vlerat në fushat boshe të tabelës , shtypni butonin e dëshiruar dhe llogaritja do të kryhet në fraksione sekondash.

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}