Калкулатор за матрици

Добавяне към уебсайт Метаданни

Калкулатор за матрици

Калкулатор за матрици

В математиката за компактно записване на системи от линейни уравнения често се използват матрици, записани под формата на правоъгълни таблици. В тези таблици броят на редовете съответства на броя на уравненията, а броят на колоните съответства на броя на неизвестните. Има и матрици под формата на пръстени и полета: за записване на комплексни и реални числа.

С помощта на матрични таблици можете да решавате алгебрични и диференциални уравнения, намалявайки изчисленията до операции върху матрици, което значително ускорява процеса. В допълнение, той опростява систематизирането на големи масиви от данни, включително тези в електронни изчислителни устройства.

История на възникване

Историците приписват изобретяването на първите матрици на древните китайци. Преди повече от 4000 години, по време на управлението на император Ю Велики, тези математически обекти се наричаха магически квадрати и позволяваха извършването на сложни изчисления в няколко прости стъпки.

Според древна китайска легенда, първият магически квадрат с йероглифи е открит върху черупката на свещена костенурка, изплувала от Жълтата река през 2200 г. пр.н.е. Матрицата намери приложение в търговията и инженерството и впоследствие се разпространи в много страни от Древния Изток. През ранното Средновековие те научават за това в арабските страни, през 11 век - в Индия, през 15-16 век - в Япония.

В Европа магическият квадрат е известен едва в началото на 15-16 век - благодарение на византийския писател Мануел Москопул, който го описва в своите писания. През 1514 г. немският художник Албрехт Дюрер включва магически квадрат в своята гравюра „Меланхолия“. На него, наред с други обекти, е изобразен квадрат, в централните клетки на който е изписана датата на създаване на гравюрата.

През 16 век числовите матрици стават широко разпространени сред гадателите и астролозите, които придават на магическия квадрат мистични и лечебни свойства. Често може да се намери върху миниатюрни сребърни гравюри от онова време, за които се предполага, че са предпазвали собствениците си от чума. След това, през 16-ти век, бяха открити практически приложения за матрици в Европа. Немският философ Корнелий Хайнрих Агрипа ги е използвал, за да опише движението на 7-те планети, като е конструирал квадрати от 3-ти до 9-ти ред.

През 17-ти и 18-ти век изследванията продължават и през 1751 г. швейцарският математик Габриел Крамер публикува нов начин за решаване на алгебрични уравнения с помощта на матрици с нулев главен детерминант, върху който той работи в продължение на няколко десетилетия.

Приблизително по същото време беше публикуван методът на Гаус за решаване на система от линейни алгебрични уравнения. Въпреки че днес името му е неразривно свързано с името на немски математик, авторството, според историците, не принадлежи на него. И така, този метод за изчисляване на матрици е бил известен 2000 години преди живота на Карл Фридрих Гаус и е представен в древнокитайската „Математика в девет книги“ през 2 век пр.н.е.

С развитието на алгебрата и оперативното смятане интересът към матриците пламва с нова сила през 19-ти и 20-ти век. Тяхното изследване е извършено от видни учени на своето време: Уилям Хамилтън, Артър Кейли и Джеймс Джоузеф Силвестър.

До средата на 19 век те най-накрая формулират правилата за събиране и умножение на матрични таблици, а до началото на 20 век теоретичната база е разширена от изследванията на Карл Вайерщрас и Фердинанд Георг Фробениус. Трябва да се отбележи, че матрицата получава съвременното си име и обозначение едва през 1841 г. - благодарение на английския математик Артър Кейли.

Разновидности на матрици

Стандартната правоъгълна матрица е числова серия с m брой редове и n брой колони. Всички елементи в него са номерирани отляво надясно и отгоре надолу. Горният ред може да бъде представен като (a₁ a₂ a₃ ... aₙ), а долният ред като (aₘ₁ aₘ₂ aₘ₃ ... aₘₙ). Размерът на матрицата е определен като m × n, където m и n са естествени числа.

Съответно, за да разберете общия брой елементи в таблицата, е достатъчно да умножите m по n: броя на редовете по броя на колоните. Какви други матрици съществуват освен правоъгълни?

  • Квадрат. Те имат еднакъв брой редове и колони, тоест m = n.
  • Като вектор колона. Такава матрица има n = 1 и размерът е посочен като „m × 1“. Всички числа в него са номерирани отгоре надолу: двоеточие (a₁ a₂ ... aₘ).
  • Като редов вектор. Матрица, подобна на предишната, но с m = 1 и размер „1 × n“. Числата в него са номерирани отляво надясно: ред (a₁ a₂ ... aₙ).

Колоните и редовете се обозначават с главни букви (m, n), но в общи линии всяка матрица може да бъде представена като K = M × N, дори ако една от стойностите е равна на единица.

Има също транспонирани, диагонални, идентични и нулеви матрици. В единичната матрица всички елементи са единици; когато се умножи по нея, всяка матрица остава непроменена. При нула всички редове и колони се състоят от нули, всяка матрица остава непроменена, когато се добави към нея.

Калкулатор за умножение на матрици

Калкулатор за умножение на матрици

Както при повечето други математически обекти, матриците могат да се манипулират със събиране и изваждане, умножение и деление. За това има правила и формули, изведени от учените още през 17-19 век.

Матрични операции

Операции за добавяне

Всяка матрица с m реда и n колони може да бъде представена като K = m × n. Ако в операцията участват няколко матрици наведнъж, те се присвояват главни букви по азбучен ред: A, B, C и т.н. За да добавите една към друга матрични таблици A и B от същия ред, трябва да добавите всичките им елементи в редове m и колони n на свой ред. Тоест в крайната матрица C всеки елемент ще бъде равен на:

  • сₘₙ = aₘₙ + bₘₙ.

Тъй като се използват допълнително аксиомите на линейното пространство, става валидна теоремата, според която множеството от всички матрици с еднакъв размер с елементи от полето P образува линейно пространство над полето P. С други думи, всяка такава матрица е насочен вектор на това пространство (P). При извършване на операции на събиране трябва да се вземат предвид две основни свойства на матриците:

  • Комутативност - A + B = B + A.
  • Асоциативност - (A + B) + C = A + (B + C).

Ако добавим обикновена матрица с нула единица (в която всички елементи са нули), получаваме израза: A + Ø = Ø + A = A. И когато я добавим към противоположната матрица, получаваме нула едно: A + (−A) = Ø.

Умножение на числа

Една матрица може да бъде умножена по число и по друга матрица. В първия случай всеки елемент от m реда и n колони се умножава последователно по число. Ако означим числото с буквата λ, а матрицата с буквата A, получаваме израза:

  • A × λ = λ × aₘₙ.

По време на умножението се вземат предвид следните свойства на матриците:

  • Асоциативност - λ × β × A = λ × (β × A).
  • Числена разпределеност - (λ + β) × A = λ × A + β × A.
  • Разпределение на матрицата - λ × (A + B) = λ × A + λ × B.

Когато се умножат по едно, всички елементи на таблицата остават непроменени, а когато се умножат по нула, се превръщат в нули.

Умножение на матрици

Вторият вариант на умножение - една матрица по друга, например - A × B. В матрицата C, получена след тяхното умножение, всеки елемент ще бъде равен на сумата от произведенията на елементите в съответния ред на първия фактор и колоната на втория. Това правило е валидно само ако A и B са пропорционални, тоест имат еднакъв брой m реда и n колони. Ако матриците m × n и n × k се умножат, размерът на крайната матрица C ще бъде m × k. Както в случая с числата, когато умножавате, трябва да вземете предвид свойствата на матриците:

  • Асоциативност - (A × B) × C = A × (B × C).
  • Некомутативност - A × B ≠ B × A;
  • Разпределение - (A + B) × C = A × C + B × C.

Комутативността се запазва само когато се умножи по матрицата на идентичност I: A × I = I × A = A. И когато се умножи по числото λ, идентичността се запазва: (λ × A) × B = A × (λ × B) = λ × (A × B). Правоъгълна/квадратна матрица може също да бъде умножена по вектор на ред и вектор на колона. Първият е написан отляво от него, а вторият е написан отдясно: с последващо умножение на елементи.

Къде се използват матрици

Най-очевидният пример за използването на матрици в математиката (и в ежедневието) е таблицата за умножение. Това не е нищо повече от произведение на векторни матрици с елементи от 1 до 9. Този принцип е присъщ на работата на всички изчислителни устройства, които работят с плоски и триизмерни фигури.

Матрицата на течнокристалния монитор е такава в буквалния смисъл и всеки елемент в нея е пиксел с числова стойност, от която зависят неговият оттенък и яркост. Матриците също се използват широко:

  • Във физиката, като средство за запис на данни и техните трансформации.
  • В програмирането, за описание и организиране на масиви от данни.
  • В психологията, за писане на тестове за съвместимост на психологически обекти.

Днес матричните таблици се използват дори в икономиката и маркетинга, както и в химията и биологията. За извършване на операции с матрици от висок ред е необходима много изчислителна мощност. На ум или на хартия е твърде трудно и отнема много време да се извършват такива изчисления, така че са разработени удобни и лесни за използване онлайн калкулатори.

Те ще ви позволят да извършвате всички основни операции онлайн: умножение, намиране на детерминанти, транспониране, повдигане на степен, намиране на рангове, намиране на обратни матрици и т.н. Просто въведете стойностите в празните полета на таблицата , натиснете желания бутон и изчислението ще се извърши за части от секунди.