В математиката за компактно записване на системи от линейни уравнения често се използват матрици, записани под формата на правоъгълни таблици. В тези таблици броят на редовете съответства на броя на уравненията, а броят на колоните съответства на броя на неизвестните. Има и матрици под формата на пръстени и полета: за записване на комплексни и реални числа.
С помощта на матрични таблици можете да решавате алгебрични и диференциални уравнения, намалявайки изчисленията до операции върху матрици, което значително ускорява процеса. В допълнение, той опростява систематизирането на големи масиви от данни, включително тези в електронни изчислителни устройства.
История на възникване
Историците приписват изобретяването на първите матрици на древните китайци. Преди повече от 4000 години, по време на управлението на император Ю Велики, тези математически обекти се наричаха магически квадрати и позволяваха извършването на сложни изчисления в няколко прости стъпки.
Според древна китайска легенда, първият магически квадрат с йероглифи е открит върху черупката на свещена костенурка, изплувала от Жълтата река през 2200 г. пр.н.е. Матрицата намери приложение в търговията и инженерството и впоследствие се разпространи в много страни от Древния Изток. През ранното Средновековие те научават за това в арабските страни, през 11 век - в Индия, през 15-16 век - в Япония.
В Европа магическият квадрат е известен едва в началото на 15-16 век - благодарение на византийския писател Мануел Москопул, който го описва в своите писания. През 1514 г. немският художник Албрехт Дюрер включва магически квадрат в своята гравюра „Меланхолия“. На него, наред с други обекти, е изобразен квадрат, в централните клетки на който е изписана датата на създаване на гравюрата.
През 16 век числовите матрици стават широко разпространени сред гадателите и астролозите, които придават на магическия квадрат мистични и лечебни свойства. Често може да се намери върху миниатюрни сребърни гравюри от онова време, за които се предполага, че са предпазвали собствениците си от чума. След това, през 16-ти век, бяха открити практически приложения за матрици в Европа. Немският философ Корнелий Хайнрих Агрипа ги е използвал, за да опише движението на 7-те планети, като е конструирал квадрати от 3-ти до 9-ти ред.
През 17-ти и 18-ти век изследванията продължават и през 1751 г. швейцарският математик Габриел Крамер публикува нов начин за решаване на алгебрични уравнения с помощта на матрици с нулев главен детерминант, върху който той работи в продължение на няколко десетилетия.
Приблизително по същото време беше публикуван методът на Гаус за решаване на система от линейни алгебрични уравнения. Въпреки че днес името му е неразривно свързано с името на немски математик, авторството, според историците, не принадлежи на него. И така, този метод за изчисляване на матрици е бил известен 2000 години преди живота на Карл Фридрих Гаус и е представен в древнокитайската „Математика в девет книги“ през 2 век пр.н.е.
С развитието на алгебрата и оперативното смятане интересът към матриците пламва с нова сила през 19-ти и 20-ти век. Тяхното изследване е извършено от видни учени на своето време: Уилям Хамилтън, Артър Кейли и Джеймс Джоузеф Силвестър.
До средата на 19 век те най-накрая формулират правилата за събиране и умножение на матрични таблици, а до началото на 20 век теоретичната база е разширена от изследванията на Карл Вайерщрас и Фердинанд Георг Фробениус. Трябва да се отбележи, че матрицата получава съвременното си име и обозначение едва през 1841 г. - благодарение на английския математик Артър Кейли.
Разновидности на матрици
Стандартната правоъгълна матрица е числова серия с m брой редове и n брой колони. Всички елементи в него са номерирани отляво надясно и отгоре надолу. Горният ред може да бъде представен като (a₁ a₂ a₃ ... aₙ), а долният ред като (aₘ₁ aₘ₂ aₘ₃ ... aₘₙ). Размерът на матрицата е определен като m × n, където m и n са естествени числа.
Съответно, за да разберете общия брой елементи в таблицата, е достатъчно да умножите m по n: броя на редовете по броя на колоните. Какви други матрици съществуват освен правоъгълни?
- Квадрат. Те имат еднакъв брой редове и колони, тоест m = n.
- Като вектор колона. Такава матрица има n = 1 и размерът е посочен като „m × 1“. Всички числа в него са номерирани отгоре надолу: двоеточие (a₁ a₂ ... aₘ).
- Като редов вектор. Матрица, подобна на предишната, но с m = 1 и размер „1 × n“. Числата в него са номерирани отляво надясно: ред (a₁ a₂ ... aₙ).
Колоните и редовете се обозначават с главни букви (m, n), но в общи линии всяка матрица може да бъде представена като K = M × N, дори ако една от стойностите е равна на единица.
Има също транспонирани, диагонални, идентични и нулеви матрици. В единичната матрица всички елементи са единици; когато се умножи по нея, всяка матрица остава непроменена. При нула всички редове и колони се състоят от нули, всяка матрица остава непроменена, когато се добави към нея.
