Trong toán học, để viết gọn các hệ phương trình tuyến tính, người ta thường dùng ma trận, viết dưới dạng bảng chữ nhật. Trong các bảng này, số hàng tương ứng với số phương trình và số cột tương ứng với số ẩn số. Ngoài ra còn có ma trận ở dạng vành và trường: để viết số phức và số thực.
Với sự trợ giúp của bảng ma trận, bạn có thể giải các phương trình đại số và vi phân, rút gọn các phép tính thành các phép toán trên ma trận, giúp tăng tốc đáng kể quá trình. Ngoài ra, nó còn đơn giản hóa việc hệ thống hóa các mảng dữ liệu lớn, bao gồm cả dữ liệu trong các thiết bị điện toán.
Lịch sử xảy ra
Các nhà sử học cho rằng người Trung Quốc cổ đại đã phát minh ra các ma trận đầu tiên. Hơn 4000 năm trước, dưới triều đại của Hoàng đế Yu Đại đế, những đối tượng toán học này được gọi là ô vuông ma thuật và cho phép thực hiện các phép tính phức tạp chỉ bằng một vài bước đơn giản.
Theo truyền thuyết cổ xưa của Trung Quốc, hình vuông ma thuật đầu tiên với các chữ tượng hình được phát hiện trên mai của một con rùa linh thiêng nổi lên từ sông Hoàng Hà vào năm 2200 trước Công nguyên. Ma trận tìm thấy ứng dụng trong thương mại và kỹ thuật, và sau đó lan sang nhiều quốc gia ở phương Đông cổ đại. Vào đầu thời Trung cổ, họ đã biết về nó ở các nước Ả Rập, vào thế kỷ 11 - ở Ấn Độ, vào thế kỷ 15-16 - ở Nhật Bản.
Ở châu Âu, hình vuông ma thuật chỉ được biết đến vào đầu thế kỷ 15-16 - nhờ nhà văn Byzantine Manuel Moskhopul, người đã mô tả nó trong các bài viết của mình. Năm 1514, họa sĩ người Đức Albrecht Dürer đã đưa một hình vuông ma thuật vào bản khắc "Melancholia" của mình. Trên đó, trong số các đồ vật khác, một hình vuông được mô tả, trong các ô trung tâm có ghi ngày tạo bản khắc.
Vào thế kỷ 16, ma trận số trở nên phổ biến trong giới thầy bói và nhà chiêm tinh, những người đã đưa ra các đặc tính thần bí và chữa bệnh cho hình vuông ma thuật. Nó thường có thể được tìm thấy trên các bản khắc bạc thu nhỏ vào thời đó, được cho là đã bảo vệ chủ nhân của chúng khỏi bệnh dịch hạch. Sau đó, vào thế kỷ 16, các ứng dụng thực tế đã được tìm thấy cho ma trận ở châu Âu. Nhà triết học người Đức Cornelius Heinrich Agrippa đã sử dụng chúng để mô tả chuyển động của 7 hành tinh bằng cách xây dựng các ô vuông từ bậc 3 đến bậc 9.
Trong thế kỷ 17 và 18, nghiên cứu vẫn tiếp tục và vào năm 1751, nhà toán học người Thụy Sĩ Gabriel Cramer đã công bố một phương pháp mới để giải các phương trình đại số bằng cách sử dụng ma trận không có định thức chính bằng 0, phương pháp mà ông đã nghiên cứu trong nhiều thập kỷ.
Cũng trong khoảng thời gian đó, phương pháp Gauss giải hệ phương trình đại số tuyến tính được xuất bản. Mặc dù ngày nay tên của nó gắn bó chặt chẽ với tên của một nhà toán học người Đức, nhưng quyền tác giả, theo các nhà sử học, không thuộc về ông. Vì vậy, phương pháp tính toán ma trận này đã được biết đến 2000 năm trước cuộc đời của Carl Friedrich Gauss và được trình bày trong cuốn “Toán học trong Cửu thư” cổ của Trung Quốc vào thế kỷ thứ 2 trước Công nguyên.
Khi đại số và phép tính toán hoạt động phát triển, mối quan tâm đến ma trận bùng lên với sức sống mới trong thế kỷ 19 và 20. Nghiên cứu của họ được thực hiện bởi các nhà khoa học lỗi lạc cùng thời với họ: William Hamilton, Arthur Cayley và James Joseph Sylvester.
Vào giữa thế kỷ 19, cuối cùng họ đã hình thành các quy tắc cộng và nhân các bảng ma trận, và đến đầu thế kỷ 20, cơ sở lý thuyết đã được mở rộng nhờ các nghiên cứu của Karl Weierstrass và Ferdinand Georg Frobenius. Đáng chú ý là ma trận chỉ nhận được tên và ký hiệu hiện đại vào năm 1841 - nhờ nhà toán học người Anh Arthur Cayley.
Các loại ma trận
Ma trận chữ nhật chuẩn là một dãy số có m số hàng và n số cột. Tất cả các phần tử trong đó được đánh số từ trái sang phải và từ trên xuống dưới. Hàng trên cùng có thể được biểu diễn dưới dạng (a₁ a₂ a₃ ... aₙ) và hàng dưới cùng là (aₘ₁ aₘ₂ aₘ₃ ... aₘₙ). Kích thước ma trận được chỉ định là m × n, trong đó m và n là các số tự nhiên.
Theo đó, để biết tổng số phần tử trong bảng, chỉ cần nhân m với n: số hàng với số cột là đủ. Ma trận nào khác tồn tại ngoài hình chữ nhật?
- Hình vuông. Chúng có cùng số hàng và số cột, nghĩa là m = n.
- Là một vectơ cột. Một ma trận như vậy có n = 1 và kích thước được chỉ định là "m × 1". Tất cả các số trong đó được đánh số từ trên xuống dưới: dấu hai chấm (a₁ a₂ ... aₘ).
- Là một vectơ hàng. Một ma trận tương tự như ma trận trước nhưng có m = 1 và kích thước "1 × n". Các số trong đó được đánh số từ trái sang phải: hàng (a₁ a₂ ... aₙ).
Các cột và hàng được ký hiệu bằng chữ in hoa (m, n), nhưng nói chung, mỗi ma trận có thể được biểu diễn dưới dạng K = M × N, ngay cả khi một trong các giá trị bằng một.
Ngoài ra còn có các ma trận chuyển vị, đường chéo, đơn vị và không. Trong ma trận đơn vị, tất cả các phần tử đều là đơn vị, khi nhân với nó, bất kỳ ma trận nào cũng không thay đổi. Bằng không, tất cả các hàng và cột bao gồm các số không, mỗi ma trận không thay đổi khi thêm vào nó.
