میٹرکس کیلکولیٹر
ریاضی میں، لکیری مساوات کے نظام کو مضبوطی سے لکھنے کے لیے، میٹرکس اکثر مستطیل میزوں کی شکل میں لکھے جاتے ہیں۔ ان جدولوں میں، قطاروں کی تعداد مساوات کی تعداد کے مساوی ہے، اور کالموں کی تعداد نامعلوم افراد کی تعداد کے مساوی ہے۔ حلقوں اور فیلڈز کی شکل میں میٹرکس بھی ہیں: پیچیدہ اور حقیقی نمبر لکھنے کے لیے۔
میٹرکس جدولوں کی مدد سے، آپ الجبری اور تفریق مساوات کو حل کر سکتے ہیں، حسابات کو میٹرکس پر کارروائیوں تک کم کر سکتے ہیں، جو عمل کو بہت تیز کرتا ہے۔ اس کے علاوہ، یہ الیکٹرانک کمپیوٹنگ ڈیوائسز سمیت بڑی ڈیٹا اریوں کی ترتیب کو آسان بناتا ہے۔
واقعہ کی تاریخ
تاریخ دان پہلے میٹرکس کی ایجاد کو قدیم چینیوں سے منسوب کرتے ہیں۔ 4000 سال سے زیادہ پہلے، شہنشاہ یو دی گریٹ کے دور میں، ان ریاضیاتی اشیاء کو جادوئی مربع کہا جاتا تھا، اور پیچیدہ حسابات کو چند آسان مراحل میں انجام دینے کی اجازت دی جاتی تھی۔
قدیم چینی لیجنڈ کے مطابق، 2200 قبل مسیح میں دریائے زرد سے نکلنے والے مقدس کچھوے کے خول پر ہیروگلیفس والا پہلا جادوئی مربع دریافت ہوا۔ میٹرکس نے تجارت اور انجینئرنگ میں اطلاق پایا، اور اس کے بعد قدیم مشرق کے بہت سے ممالک میں پھیل گیا۔ ابتدائی قرون وسطی کے دوران، انہوں نے اس کے بارے میں عرب ممالک میں، 11ویں صدی میں - ہندوستان میں، 15ویں-16ویں صدی میں - جاپان میں سیکھا۔
یورپ میں، جادوئی اسکوائر صرف 15ویں-16ویں صدی کے آخر میں جانا جاتا تھا - بازنطینی مصنف مینوئل موسکوپل کا شکریہ، جس نے اسے اپنی تحریروں میں بیان کیا۔ 1514 میں، جرمن پینٹر البرچٹ ڈیرر نے اپنی کندہ کاری "میلانچولیا" میں ایک جادوئی مربع شامل کیا۔ اس پر، دیگر اشیاء کے علاوہ، ایک مربع دکھایا گیا ہے، جس کے مرکزی خلیوں میں کندہ کاری کی تاریخ لکھی ہوئی ہے۔
16 ویں صدی میں، کاہنوں اور نجومیوں کے درمیان عددی اعداد و شمار وسیع ہو گئے، جنہوں نے جادوئی مربع کو صوفیانہ اور شفا بخش خصوصیات عطا کیں۔ یہ اکثر اس وقت کے چاندی کے چھوٹے نقشوں پر پایا جا سکتا ہے، جس نے ان کے مالکان کو طاعون سے محفوظ رکھا تھا۔ پھر، 16ویں صدی میں، یورپ میں میٹرک کے لیے عملی درخواستیں ملیں۔ جرمن فلسفی کارنیلیئس ہینرک اگریپا نے ان کا استعمال 7 سیاروں کی حرکت کو 3ویں سے 9ویں ترتیب تک مربع بنا کر بیان کرنے کے لیے کیا۔
17ویں اور 18ویں صدیوں میں، تحقیق جاری رہی، اور 1751 میں سوئس ریاضی دان گیبریل کرمر نے صفر پرنسپل ڈیٹرمیننٹ کے ساتھ میٹرکس کا استعمال کرتے ہوئے الجبری مساوات کو حل کرنے کا ایک نیا طریقہ شائع کیا، جس پر وہ کئی دہائیوں سے کام کر رہے تھے۔
تقریباً اسی وقت، لکیری الجبری مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے Gauss کا طریقہ شائع ہوا۔ اگرچہ آج اس کا نام ایک جرمن ریاضی دان کے نام سے جڑا ہوا ہے، لیکن مورخین کے مطابق یہ تصنیف اس کی نہیں ہے۔ لہٰذا، میٹرکس کا حساب لگانے کا یہ طریقہ کارل فریڈرک گاس کی زندگی سے 2000 سال پہلے جانا جاتا تھا، اور اسے دوسری صدی قبل مسیح میں قدیم چینی "میتھمیٹکس ان نائن بکس" میں پیش کیا گیا تھا۔
جیسا کہ الجبرا اور آپریشنل کیلکولس تیار ہوا، میٹرکس میں دلچسپی 19ویں اور 20ویں صدیوں میں نئے جوش کے ساتھ بھڑک اٹھی۔ ان کا مطالعہ اپنے وقت کے ممتاز سائنسدانوں نے کیا: ولیم ہیملٹن، آرتھر کیلی اور جیمز جوزف سلویسٹر۔
19ویں صدی کے وسط تک، انہوں نے آخر کار میٹرکس جدولوں کو جوڑنے اور ضرب دینے کے لیے اصول وضع کیے، اور 20ویں صدی کے آغاز تک، کارل ویرسٹراس اور فرڈینینڈ جارج فروبینیس کے مطالعے سے نظریاتی بنیاد کو وسعت دی گئی۔ یہ قابل ذکر ہے کہ میٹرکس کو اپنا جدید نام اور عہدہ صرف 1841 میں ملا - انگریز ریاضی دان آرتھر کیلی کی بدولت۔
میٹرکس کی اقسام
ایک معیاری مستطیل میٹرکس ایک عدد سیریز ہے جس میں قطاروں کی m تعداد اور کالموں کی n تعداد ہوتی ہے۔ اس میں موجود تمام عناصر کو بائیں سے دائیں اور اوپر سے نیچے تک نمبر دیا گیا ہے۔ اوپر والی قطار کو (a₁ a₂ a₃ ... aₙ) اور نیچے کی قطار کو (aₘ₁ aₘ₂ aₘ₃ ... aₘₙ) کے طور پر دکھایا جا سکتا ہے۔ میٹرکس کا سائز m × n کے طور پر بیان کیا گیا ہے، جہاں m اور n قدرتی اعداد ہیں۔
اس کے مطابق، جدول میں عناصر کی کل تعداد معلوم کرنے کے لیے، m کو n سے ضرب دینا کافی ہے: قطاروں کی تعداد کو کالموں کی تعداد سے۔ مستطیل کے علاوہ اور کون سی میٹرکس موجود ہیں؟
- مربع۔ ان میں قطاروں اور کالموں کی ایک ہی تعداد ہے، یعنی m = n۔
- کالم ویکٹر کے طور پر۔ اس طرح کے میٹرکس میں n = 1 ہوتا ہے، اور سائز کو "m × 1" کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ اس میں موجود تمام نمبر اوپر سے نیچے تک درج ہیں: بڑی آنت (a₁ a₂ ... aₘ)۔
- ایک قطار ویکٹر کے طور پر۔ ایک میٹرکس جیسا کہ پچھلے ایک سے ملتا جلتا ہے، لیکن m = 1 اور سائز "1 × n" کے ساتھ۔ اس میں نمبروں کو بائیں سے دائیں نمبر دیا گیا ہے: قطار (a₁ a₂ ... aₙ)۔
کالموں اور قطاروں کو بڑے حروف (m, n) سے ظاہر کیا جاتا ہے، لیکن عام اصطلاحات میں، ہر میٹرکس کو K = M × N کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے، چاہے قدروں میں سے ایک ایک کے برابر ہو۔
یہاں ٹرانسپوزڈ، ڈائیگنل، شناخت اور صفر میٹرکس بھی ہیں۔ شناختی میٹرکس میں، تمام عناصر اکائیاں ہیں؛ جب اس سے ضرب کیا جائے تو کوئی بھی میٹرکس غیر تبدیل شدہ رہتا ہے۔ صفر میں، تمام قطاریں اور کالم صفر پر مشتمل ہوتے ہیں، ہر میٹرکس اس میں شامل ہونے پر کوئی تبدیلی نہیں ہوتی۔
