Matris hesaplayıcısı

Matematikte, doğrusal denklem sistemlerini kompakt bir şekilde yazmak için, genellikle dikdörtgen tablolar biçiminde yazılan matrisler kullanılır. Bu tablolarda satır sayısı denklem sayısına, sütun sayısı ise bilinmeyen sayısına karşılık gelmektedir. Halkalar ve alanlar biçiminde matrisler de vardır: karmaşık ve gerçek sayıları yazmak için.

Matris tablolarının yardımıyla cebirsel ve diferansiyel denklemleri çözebilir, hesaplamaları matrisler üzerindeki işlemlere indirgeyerek süreci büyük ölçüde hızlandırabilirsiniz. Ayrıca, elektronik bilgi işlem cihazlarındakiler de dahil olmak üzere büyük veri dizilerinin sistematik hale getirilmesini basitleştirir.

Oluşma geçmişi

Tarihçiler, ilk matrislerin icadını antik Çinlilere bağlıyor. 4000 yıldan daha uzun bir süre önce, Büyük İmparator Yu'nun hükümdarlığı sırasında, bu matematiksel nesneler sihirli kareler olarak adlandırılıyordu ve birkaç basit adımda karmaşık hesaplamaların yapılmasına olanak sağlıyordu.

Eski Çin efsanesine göre, hiyerogliflerin olduğu ilk sihirli kare, MÖ 2200'de Sarı Nehir'den yüzeye çıkan kutsal bir kaplumbağanın kabuğunda keşfedildi. Matris, ticaret ve mühendislikte uygulama buldu ve ardından Eski Doğu'nun birçok ülkesine yayıldı. Orta Çağ'ın başlarında, bunu Arap ülkelerinde, 11. yüzyılda - Hindistan'da, 15-16. yüzyıllarda - Japonya'da öğrendiler.

Avrupa'da sihirli kare, yazılarında onu anlatan Bizanslı yazar Manuel Moskopul sayesinde yalnızca 15.-16. yüzyılların başında biliniyordu. 1514 yılında Alman ressam Albrecht Dürer, "Melancholia" gravürüne sihirli bir kare ekledi. Üzerinde, diğer nesnelerin yanı sıra, merkezi hücrelerde gravürün oluşturulma tarihinin yazılı olduğu bir kare tasvir edilmiştir.

16. yüzyılda, sihirli kareye mistik ve iyileştirici özellikler veren kahinler ve astrologlar arasında sayısal matrisler yaygınlaştı. Genellikle, sahiplerini vebadan koruduğu varsayılan minyatür gümüş gravürlerde bulunabilir. Daha sonra 16. yüzyılda Avrupa'da matrisler için pratik uygulamalar bulundu. Alman filozof Cornelius Heinrich Agrippa, bunları 3. sıradan 9. sıraya kadar kareler oluşturarak 7 gezegenin hareketini tanımlamak için kullandı.

17. ve 18. yüzyıllarda araştırmalar devam etti ve 1751'de İsviçreli matematikçi Gabriel Cramer, on yıllardır üzerinde çalıştığı sıfır temel determinantlı matrisleri kullanarak cebirsel denklemleri çözmenin yeni bir yolunu yayınladı.

Yaklaşık aynı zamanda, lineer cebirsel denklem sistemini çözmek için Gauss yöntemi yayınlandı. Bugün adı ayrılmaz bir şekilde bir Alman matematikçinin adıyla ilişkilendirilse de, tarihçilere göre yazarlık ona ait değil. Dolayısıyla bu matris hesaplama yöntemi, Carl Friedrich Gauss'un hayatından 2000 yıl önce biliniyordu ve MÖ 2. yüzyılda eski Çin "Mathematics in Nine Books" kitabında sunuldu.

Cebir ve işlemsel analiz geliştikçe, matrislere olan ilgi 19. ve 20. yüzyıllarda yeniden canlandı. Çalışmaları, zamanlarının önde gelen bilim adamları tarafından yürütüldü: William Hamilton, Arthur Cayley ve James Joseph Sylvester.

19. yüzyılın ortalarında nihayet matris tablolarını toplama ve çarpma kurallarını formüle ettiler ve 20. yüzyılın başlarında Karl Weierstrass ve Ferdinand Georg Frobenius'un çalışmalarıyla teorik temel genişletildi. İngiliz matematikçi Arthur Cayley sayesinde matrisin modern adını ve tanımını yalnızca 1841'de alması dikkat çekicidir.

Matris çeşitleri

Standart bir dikdörtgen matris, m sayıda satır ve n sayıda sütun içeren bir sayı serisidir. İçindeki tüm öğeler soldan sağa ve yukarıdan aşağıya numaralandırılmıştır. Üst sıra (a₁ a₂ a₃ ... aₙ) ve alt sıra (aₘ₁ aₘ₂ aₘ₃ ... aₘₙ) olarak gösterilebilir. Matris boyutu m × n olarak belirtilir; burada m ve n doğal sayılardır.

Buna göre tablodaki toplam eleman sayısını bulmak için m ile n'yi yani satır sayısını sütun sayısını çarpmak yeterlidir. Dikdörtgen dışında başka hangi matrisler var?

Kare. Aynı sayıda satır ve sütuna sahipler, yani m = n.
Bir sütun vektörü olarak. Böyle bir matrisin n = 1'i vardır ve boyutu "m × 1" olarak belirtilir. İçindeki tüm sayılar yukarıdan aşağıya numaralandırılmıştır: iki nokta üst üste (a₁ a₂ ... aₘ).
Bir satır vektörü olarak. Bir öncekine benzer, ancak m = 1 ve boyutu "1 × n" olan bir matris. İçindeki sayılar soldan sağa sıralanır: sıra (a₁ a₂ ... aₙ).

Sütunlar ve satırlar büyük harflerle (m, n) gösterilir, ancak genel anlamda, değerlerden biri bire eşit olsa bile her matris K = M × N olarak temsil edilebilir.

Transpoze, köşegen, birim ve sıfır matrisleri de vardır. Kimlik matrisinde, tüm elemanlar birimdir; onunla çarpıldığında herhangi bir matris değişmeden kalır. Sıfırda, tüm satırlar ve sütunlar sıfırlardan oluşur, her matris kendisine eklendiğinde değişmeden kalır.

Matris çarpımı hesaplayıcı

Diğer birçok matematiksel nesnede olduğu gibi, matrisler toplama ve çıkarma, çarpma ve bölme ile değiştirilebilir. Bunun için 17-19. yüzyıllarda bilim adamları tarafından türetilen kurallar ve formüller var.

Matris işlemleri

Ekleme işlemleri

m satır ve n sütun içeren herhangi bir matris K = m × n olarak temsil edilebilir. İşlemde aynı anda birkaç matris varsa, bunlara alfabetik olarak büyük harfler atanır: A, B, C, vb. Aynı sıradaki A ve B matris tablolarını birbirine eklemek için, tüm öğelerini satırlara eklemeniz gerekir. sırayla m ve sütunlar n . Yani, son C matrisinde her öğe şuna eşit olacaktır:

сₘₙ = aₘₙ + bₘₙ.

Doğrusal uzayın aksiyomları ek olarak kullanıldığından, P alanındaki elemanlarla aynı boyuttaki tüm matrislerin kümesinin P alanı üzerinde doğrusal bir uzay oluşturduğuna göre teorem geçerli olur. Diğer bir deyişle, bu tür matrislerin her biri, bu alanın (P) yönlendirilmiş bir vektörüdür. Toplama işlemleri yapılırken matrislerin iki ana özelliği dikkate alınmalıdır:

Değişmelilik - A + B = B + A.
İlişkilendirilebilirlik - (A + B) + C = A + (B + C).

Sıfır bir olan sıradan bir matrisi toplarsak (tüm elemanları sıfırdır), A + Ø = Ø + A = A ifadesini elde ederiz. sıfır bir: A + (−A) = Ø.

Sayı çarpma

Bir matris, bir sayıyla ve başka bir matrisle çarpılabilir. İlk durumda, m satır ve n sütundaki her eleman sırayla bir sayı ile çarpılır. Sayıyı λ harfiyle ve matrisi A harfiyle gösterirsek şu ifadeyi elde ederiz:

A × λ = λ × aₘₙ.

Çarpma sırasında matrislerin aşağıdaki özellikleri dikkate alınır:

İlişkilendirilebilirlik - λ × β × A = λ × (β × A).
Sayısal dağılım - (λ + β) × A = λ × A + β × A.
Matris dağılımı - λ × (A + B) = λ × A + λ × B.

Bir ile çarpıldığında tablonun tüm öğeleri değişmez, sıfır ile çarpıldığında ise sıfır olur.

Matris çarpımı

Çarpmanın ikinci çeşidi - bir matrisi diğerine, örneğin - A × B. Çarpmalarından sonra elde edilen C matrisinde, her bir eleman, matrisin karşılık gelen sırasındaki elemanların çarpımlarının toplamına eşit olacaktır. birinci faktör ve ikincinin sütunu. Bu kural, yalnızca A ve B orantılıysa, yani aynı sayıda m satır ve n sütuna sahipse geçerlidir. m × n ve n × k matrisleri çarpılırsa, son C matrisinin boyutu m × k olacaktır. Sayılarda olduğu gibi çarpma işlemi yaparken matrislerin özelliklerini dikkate almanız gerekir:

İlişkilendirilebilirlik - (A × B) × C = A × (B × C).
Değişmezlik - A × B ≠ B × A;
Dağıtıcı - (A + B) × C = A × C + B × C.

Değişmelilik yalnızca kimlik matrisi I ile çarpıldığında korunur: A × I = I × A = A. Ve λ sayısı ile çarpıldığında, özdeşlik korunur: (λ × A) × B = A × (λ × B) = λ × (A×B). Dikdörtgen/kare bir matris ayrıca bir satır vektörü ve bir sütun vektörü ile çarpılabilir. İlki soluna yazılır ve ikincisi sağa yazılır: sonraki çarpma elemanlarıyla.

Matrislerin kullanıldığı yerler

Matematikte (ve günlük yaşamda) matris kullanımının en bariz örneği, çarpım tablosudur. 1'den 9'a kadar öğeleri olan vektör matrislerinin çarpımından başka bir şey değildir. Bu ilke, düz ve üç boyutlu şekillerle çalışan tüm bilgi işlem cihazlarının işleyişinde mevcuttur.

Sıvı kristal monitörün matrisi gerçek anlamda böyledir ve içindeki her öğe, tonunun ve parlaklığının bağlı olduğu sayısal bir değere sahip bir pikseldir. Matrisler ayrıca yaygın olarak kullanılır:

Fizikte, verileri ve bunların dönüşümlerini kaydetme aracı olarak.
Programlamada, veri dizilerini tanımlamak ve düzenlemek için.
Psikolojide, psikolojik nesnelerin uyumluluğu üzerine testler yazmak için.

Günümüzde matris tabloları, kimya ve biyolojinin yanı sıra ekonomi ve pazarlamada bile kullanılmaktadır. Yüksek dereceli matrislerle işlemleri gerçekleştirmek için çok fazla bilgi işlem gücü gerekir. Bu tür hesaplamaları yapmak akılda veya kağıt üzerinde çok zor ve zaman alıcı olduğundan, kullanışlı ve kullanımı kolay çevrimiçi hesap makineleri geliştirildi.

Çevrimiçi olarak tüm temel işlemleri gerçekleştirmenize izin verecekler: çarpma, determinant bulma, yer değiştirme, bir kuvvete yükseltme, mertebe bulma, ters matris bulma vb. Değerleri tablonun boş alanlarına girmeniz yeterli , istediğiniz düğmeye basın ve hesaplama kesir saniye cinsinden yapılacaktır.

Matris hesaplayıcısı

Diğer araçlar