เครื่องคิดเลขเมทริกซ์

ในวิชาคณิตศาสตร์ ในการเขียนระบบสมการเชิงเส้นให้กระชับ มักใช้เมทริกซ์เขียนในรูปของตารางสี่เหลี่ยม ในตารางเหล่านี้ จำนวนแถวตรงกับจำนวนสมการ และจำนวนคอลัมน์ตรงกับจำนวนที่ไม่รู้จัก นอกจากนี้ยังมีเมทริกซ์ในรูปแบบของวงแหวนและฟิลด์: สำหรับการเขียนจำนวนเชิงซ้อนและจำนวนจริง

ด้วยความช่วยเหลือของตารางเมทริกซ์ คุณสามารถแก้สมการเชิงพีชคณิตและอนุพันธ์ ลดการคำนวณเป็นการดำเนินการกับเมทริกซ์ ซึ่งช่วยเร่งกระบวนการอย่างมาก นอกจากนี้ยังช่วยลดความยุ่งยากในการจัดระบบของอาร์เรย์ข้อมูลขนาดใหญ่ รวมถึงอาร์เรย์ข้อมูลในอุปกรณ์คอมพิวเตอร์อิเล็กทรอนิกส์

ประวัติเหตุการณ์

นักประวัติศาสตร์ระบุว่าการประดิษฐ์เมทริกซ์ตัวแรกมาจากชาวจีนโบราณ กว่า 4,000 ปีที่แล้ว ในรัชสมัยของจักรพรรดิหยูมหาราช วัตถุทางคณิตศาสตร์เหล่านี้เรียกว่าเมจิคสแควร์ส และช่วยให้สามารถคำนวณที่ซับซ้อนได้ในขั้นตอนง่ายๆ ไม่กี่ขั้นตอน

ตามตำนานจีนโบราณ จัตุรัสเวทมนตร์แห่งแรกที่มีอักษรอียิปต์โบราณถูกค้นพบบนกระดองเต่าศักดิ์สิทธิ์ที่โผล่ขึ้นมาจากแม่น้ำเหลืองในปี 2200 ปีก่อนคริสตกาล เมทริกซ์พบการประยุกต์ใช้ในการค้าและวิศวกรรม และต่อมาได้แพร่กระจายไปยังหลายประเทศในตะวันออกโบราณ ในช่วงต้นยุคกลาง พวกเขาได้เรียนรู้เกี่ยวกับเรื่องนี้ในประเทศอาหรับ ในศตวรรษที่ 11 - ในอินเดีย ในศตวรรษที่ 15-16 - ในญี่ปุ่น

ในยุโรป จัตุรัสแห่งเวทมนตร์เป็นที่รู้จักในช่วงเปลี่ยนศตวรรษที่ 15-16 เท่านั้น ขอบคุณนักเขียนไบแซนไทน์ มานูเอล มอสโคปุล ซึ่งบรรยายไว้ในงานเขียนของเขา ในปี ค.ศ. 1514 อัลเบรชท์ ดูเรอร์ จิตรกรชาวเยอรมันได้รวมจัตุรัสมหัศจรรย์ไว้ในงานแกะสลัก "Melancholia" ของเขา บนวัตถุอื่น ๆ มีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสอยู่ในเซลล์ส่วนกลางซึ่งวันที่สร้างการแกะสลักถูกจารึกไว้

ในศตวรรษที่ 16 เมทริกซ์ตัวเลขเริ่มแพร่หลายในหมู่นักทำนายและนักโหราศาสตร์ ซึ่งเป็นผู้ให้คุณสมบัติลึกลับและการรักษาแก่ตารางเวทย์มนตร์ มักพบได้บนงานแกะสลักเงินขนาดเล็กในยุคนั้น ซึ่งคาดว่าจะปกป้องเจ้าของจากโรคระบาด จากนั้นในศตวรรษที่ 16 มีการค้นพบการใช้งานจริงสำหรับเมทริกซ์ในยุโรป Cornelius Heinrich Agrippa นักปรัชญาชาวเยอรมันใช้คำเหล่านี้อธิบายการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ทั้ง 7 ดวงโดยสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสจากลำดับที่ 3 ถึงลำดับที่ 9

ในศตวรรษที่ 17 และ 18 การวิจัยยังคงดำเนินต่อไป และในปี 1751 Gabriel Cramer นักคณิตศาสตร์ชาวสวิสได้เผยแพร่วิธีใหม่ในการแก้สมการพีชคณิตโดยใช้เมทริกซ์ที่มีตัวกำหนดหลักเป็นศูนย์ ซึ่งเขาได้พยายามทำมาหลายทศวรรษแล้ว

ในเวลาเดียวกัน วิธีการเกาส์สำหรับการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นได้รับการเผยแพร่ แม้ว่าวันนี้ชื่อของมันจะเกี่ยวข้องกับชื่อของนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันอย่างแยกไม่ออก แต่การประพันธ์ตามประวัติศาสตร์ไม่ได้เป็นของเขา ดังนั้น วิธีการคำนวณเมทริกซ์นี้จึงเป็นที่รู้จักเมื่อ 2,000 ปีก่อนที่คาร์ล ฟรีดริช เกาส์จะเสียชีวิต และถูกนำเสนอใน "คณิตศาสตร์ในหนังสือเก้าเล่ม" ของจีนโบราณในศตวรรษที่ 2 ก่อนคริสต์ศักราช

ในขณะที่พีชคณิตและแคลคูลัสปฏิบัติการพัฒนาขึ้น ความสนใจในเมทริกซ์ก็เพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วในศตวรรษที่ 19 และ 20 การศึกษาของพวกเขาดำเนินการโดยนักวิทยาศาสตร์ที่มีชื่อเสียงในยุคนั้น: William Hamilton, Arthur Cayley และ James Joseph Sylvester

ในกลางศตวรรษที่ 19 ในที่สุดพวกเขาก็กำหนดกฎสำหรับการบวกและการคูณตารางเมทริกซ์ และในต้นศตวรรษที่ 20 ฐานทางทฤษฎีได้ขยายออกไปโดยการศึกษาของ Karl Weierstrass และ Ferdinand Georg Frobenius เป็นที่น่าสังเกตว่าเมทริกซ์ได้รับชื่อและการกำหนดที่ทันสมัยในปี 1841 เท่านั้น ขอบคุณ Arthur Cayley นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ

ความหลากหลายของเมทริกซ์

เมทริกซ์สี่เหลี่ยมมาตรฐานคือชุดตัวเลขที่มีจำนวนแถว m และจำนวนคอลัมน์ n องค์ประกอบทั้งหมดในนั้นมีหมายเลขจากซ้ายไปขวาและจากบนลงล่าง แถวบนสามารถแสดงเป็น (a₁ a₂ a₃ ... aₙ) และแถวล่างเป็น (aₘ₁ aₘ₂ aₘ₃ ... aₘₙ) ขนาดเมทริกซ์ระบุเป็น m × n โดยที่ m และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ

ดังนั้น หากต้องการทราบจำนวนองค์ประกอบทั้งหมดในตาราง ก็เพียงพอที่จะคูณ m ด้วย n: จำนวนแถวด้วยจำนวนคอลัมน์ มีเมทริกซ์อะไรอีกนอกจากสี่เหลี่ยม

สี่เหลี่ยมจัตุรัส มีจำนวนแถวและคอลัมน์เท่ากัน นั่นคือ m = n
เป็นเวกเตอร์คอลัมน์ เมทริกซ์ดังกล่าวมี n = 1 และระบุขนาดเป็น "m × 1" ตัวเลขทั้งหมดเรียงจากบนลงล่าง: โคลอน (a₁ a₂ ... aₘ)
เป็นเวกเตอร์แถว เมทริกซ์คล้ายกับเมทริกซ์ก่อนหน้า แต่มี m = 1 และขนาด "1 × n" ตัวเลขในนั้นเรียงลำดับจากซ้ายไปขวา: แถว (a₁ a₂ ... aₙ)

คอลัมน์และแถวแสดงด้วยตัวพิมพ์ใหญ่ (m, n) แต่โดยทั่วไปแล้ว เมทริกซ์แต่ละตัวสามารถแสดงเป็น K = M × N แม้ว่าค่าใดค่าหนึ่งจะเท่ากับหนึ่งก็ตาม

นอกจากนี้ยังมีเมทริกซ์แบบทรานโพชัน แนวทแยง เอกลักษณ์ และศูนย์อีกด้วย ในเมทริกซ์เอกลักษณ์ องค์ประกอบทั้งหมดเป็นหน่วย เมื่อคูณด้วยเมทริกซ์ใดๆ จะไม่เปลี่ยนแปลง ในศูนย์ แถวและคอลัมน์ทั้งหมดประกอบด้วยศูนย์ แต่ละเมทริกซ์จะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเพิ่มเข้าไป

เช่นเดียวกับวัตถุทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ส่วนใหญ่ เมทริกซ์สามารถจัดการได้ด้วยการบวกและการลบ การคูณและการหาร สำหรับสิ่งนี้ มีกฎและสูตรที่นักวิทยาศาสตร์ได้รับในช่วงศตวรรษที่ 17-19

การดำเนินการเมทริกซ์

การบวก

เมทริกซ์ใดๆ ที่มี m แถวและ n คอลัมน์สามารถแสดงเป็น K = m × n หากเมทริกซ์หลายตัวเข้ามาเกี่ยวข้องในการดำเนินการพร้อมกัน พวกมันจะถูกกำหนดด้วยอักษรตัวใหญ่: A, B, C เป็นต้น ในการเพิ่มตารางเมทริกซ์ A และ B ที่มีลำดับเดียวกันเข้าด้วยกัน คุณต้องเพิ่มองค์ประกอบทั้งหมดในแถว m และคอลัมน์ n ในทางกลับกัน นั่นคือ ในเมทริกซ์สุดท้าย C แต่ละองค์ประกอบจะเท่ากับ:

сₘₙ = aₘₙ + bₘₙ.

เนื่องจากมีการใช้สัจพจน์ของปริภูมิเชิงเส้น นอกจากนี้ ทฤษฎีบทจึงถูกต้อง ซึ่งเซตของเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากันทั้งหมดที่มีองค์ประกอบจากฟิลด์ P จะสร้างปริภูมิเชิงเส้นเหนือฟิลด์ P กล่าวอีกนัยหนึ่ง แต่ละเมทริกซ์ดังกล่าวเป็นเวกเตอร์กำกับของพื้นที่นี้ (P) เมื่อทำการบวก จะต้องคำนึงถึงคุณสมบัติหลักสองประการของเมทริกซ์:

การสลับที่ - A + B = B + A
การเชื่อมโยง - (A + B) + C = A + (B + C).

ถ้าเราเพิ่มเมทริกซ์ธรรมดาที่มีศูนย์หนึ่ง (ซึ่งองค์ประกอบทั้งหมดเป็นศูนย์) เราจะได้นิพจน์: A + Ø = Ø + A = A และเมื่อเราเพิ่มเมทริกซ์ตรงข้าม เราจะได้ ศูนย์หนึ่ง: A + (−A) = Ø

การคูณเลข

เมทริกซ์สามารถคูณด้วยตัวเลขและเมทริกซ์อื่นได้ ในกรณีแรก แต่ละองค์ประกอบจาก m แถวและ n คอลัมน์จะถูกคูณด้วยจำนวนตามลำดับ ถ้าเราแสดงตัวเลขด้วยตัวอักษร λ และเมทริกซ์ด้วยตัวอักษร A เราจะได้นิพจน์:

A × λ = λ × aₘₙ.

คุณสมบัติของเมทริกซ์ต่อไปนี้ถูกนำมาพิจารณาระหว่างการคูณ:

ความสัมพันธ์ - λ × β × A = λ × (β × A)
การกระจายตัวของตัวเลข - (λ + β) × A = λ × A + β × A
การกระจายเมทริกซ์ - λ × (A + B) = λ × A + λ × B

เมื่อคูณด้วยหนึ่ง องค์ประกอบทั้งหมดของตารางจะไม่เปลี่ยนแปลง และเมื่อคูณด้วยศูนย์ องค์ประกอบเหล่านั้นจะกลายเป็นศูนย์

การคูณเมทริกซ์

ตัวแปรที่สองของการคูณ - เมทริกซ์หนึ่งต่ออีกเมทริกซ์ เช่น - A × B ในเมทริกซ์ C ที่ได้หลังจากการคูณ แต่ละองค์ประกอบจะเท่ากับผลรวมของผลคูณขององค์ประกอบในแถวที่สอดคล้องกันของ ปัจจัยที่หนึ่งและคอลัมน์ที่สอง กฎนี้ใช้ได้ก็ต่อเมื่อ A และ B เป็นสัดส่วนกัน นั่นคือมีจำนวน m แถวและ n คอลัมน์เท่ากัน ถ้าคูณเมทริกซ์ m × n และ n × k มิติของเมทริกซ์สุดท้าย C จะเป็น m × k เช่นเดียวกับในกรณีของตัวเลข เมื่อคูณ คุณต้องคำนึงถึงคุณสมบัติของเมทริกซ์ด้วย:

การเชื่อมโยง - (A × B) × C = A × (B × C).
ความไม่สลับสับเปลี่ยน - A × B ≠ B × A;
การกระจาย - (A + B) × C = A × C + B × C

การสลับสับเปลี่ยนจะคงไว้เมื่อคูณด้วยเมทริกซ์เอกลักษณ์ I เท่านั้น: A × I = I × A = A และเมื่อคูณด้วยจำนวน λ ค่าเอกลักษณ์จะถูกคงไว้: (λ × A) × B = A × (λ × B) = λ × (ก×ข). เมทริกซ์สี่เหลี่ยม/จัตุรัสยังสามารถคูณด้วยเวกเตอร์แถวและเวกเตอร์คอลัมน์ อันแรกเขียนไว้ทางซ้าย และอันที่สองเขียนไว้ทางขวา: พร้อมกับการคูณองค์ประกอบที่ตามมา

ตำแหน่งที่ใช้เมทริกซ์

ตัวอย่างที่ชัดเจนที่สุดของการใช้เมทริกซ์ในวิชาคณิตศาสตร์ (และในชีวิตประจำวัน) คือตารางสูตรคูณ ไม่มีอะไรมากไปกว่าผลคูณของเวกเตอร์เมทริกซ์ที่มีองค์ประกอบตั้งแต่ 1 ถึง 9 หลักการนี้มีอยู่ในการทำงานของอุปกรณ์คอมพิวเตอร์ทั้งหมดที่ทำงานกับตัวเลขแบนและสามมิติ

เมทริกซ์ของจอภาพผลึกเหลวนั้นมีความหมายตามตัวอักษร และแต่ละองค์ประกอบในนั้นก็คือพิกเซลที่มีค่าตัวเลข ซึ่งขึ้นอยู่กับเฉดสีและความสว่าง เมทริกซ์ยังใช้กันอย่างแพร่หลาย:

ในทางฟิสิกส์ เป็นวิธีการบันทึกข้อมูลและการแปลง
ในการเขียนโปรแกรม เพื่ออธิบายและจัดระเบียบอาร์เรย์ข้อมูล
ในทางจิตวิทยา สำหรับการทดสอบการเขียนเกี่ยวกับความเข้ากันได้ของวัตถุทางจิตวิทยา

ทุกวันนี้ ตารางเมทริกซ์ถูกนำมาใช้แม้ในด้านเศรษฐศาสตร์และการตลาด เช่นเดียวกับในวิชาเคมีและชีววิทยา ในการดำเนินการกับเมทริกซ์ลำดับสูง จำเป็นต้องใช้พลังการประมวลผลจำนวนมาก ในใจหรือบนกระดาษ การคำนวณดังกล่าวยากและใช้เวลานานเกินไป ดังนั้นเครื่องคิดเลขออนไลน์ที่สะดวกและใช้งานง่ายจึงได้รับการพัฒนาขึ้น

สิ่งเหล่านี้จะช่วยให้คุณสามารถดำเนินการพื้นฐานทั้งหมดทางออนไลน์ได้: การคูณ การหาดีเทอร์มิแนนต์ การย้ายตำแหน่ง การยกกำลัง การหาอันดับ การค้นหาเมทริกซ์ผกผัน ฯลฯ เพียงป้อนค่าในฟิลด์ว่างของตาราง กดปุ่มที่ต้องการและการคำนวณจะดำเนินการในเสี้ยววินาที

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}

เครื่องคิดเลขเมทริกซ์