Matris-kalkylator

Lägg till på webbplatsen Metainformation

Andra verktyg

Områdeskalkylator{$ ',' | translate $}
Omkretskalkylator{$ ',' | translate $}
Volymräknare{$ ',' | translate $}
Multiplikationstabell{$ ',' | translate $}
Periodiska systemet{$ ',' | translate $}
LCM-kalkylator{$ ',' | translate $}
Kalkylator för trigonometri{$ ',' | translate $}
GCF-kalkylator

Matris-kalkylator

Inom matematiken, för att kompakt skriva system av linjära ekvationer, används ofta matriser, skrivna i form av rektangulära tabeller. I dessa tabeller motsvarar antalet rader antalet ekvationer och antalet kolumner motsvarar antalet okända. Det finns också matriser i form av ringar och fält: för att skriva komplexa och reella tal.

Med hjälp av matristabeller kan du lösa algebraiska och differentialekvationer, vilket reducerar beräkningar till operationer på matriser, vilket avsevärt påskyndar processen. Dessutom förenklar det systematiseringen av stora datamatriser, inklusive de i elektroniska datorenheter.

Händelsehistorik

Historiker tillskriver uppfinningen av de första matriserna de gamla kineserna. För mer än 4000 år sedan, under kejsar Yu den stores regeringstid, kallades dessa matematiska objekt magiska kvadrater och gjorde det möjligt att utföra komplexa beräkningar i några enkla steg.

Enligt en gammal kinesisk legend upptäcktes den första magiska torget med hieroglyfer på skalet av en helig sköldpadda som dök upp från Gula floden 2200 f.Kr. Matrisen hittade tillämpning inom handel och ingenjörskonst och spreds sedan till många länder i det antika östern. Under tidig medeltid lärde de sig om det i arabländerna, på 1000-talet - i Indien, på 1400- och 1500-talen - i Japan.

I Europa var det magiska torget känt först vid sekelskiftet 1400- och 1500-talet - tack vare den bysantinske författaren Manuel Moskhopul, som beskrev det i sina skrifter. 1514 inkluderade den tyske målaren Albrecht Dürer en magisk fyrkant i sin gravyr "Melancholia". På den, bland andra föremål, är en fyrkant avbildad, i vars centrala celler datumet för skapandet av gravyren är inskrivet.

På 1500-talet blev numeriska matriser utbredda bland spåmän och astrologer, som gav den magiska torget mystiska och helande egenskaper. Den kan ofta hittas på dåtidens miniatyrsilverstick, som förmodligen skyddade sina ägare från pesten. Sedan, på 1500-talet, fann man praktiska tillämpningar för matriser i Europa. Den tyske filosofen Cornelius Heinrich Agrippa använde dem för att beskriva de sju planeternas rörelse genom att konstruera kvadrater från 3:e till 9:e ordningen.

På 1600- och 1700-talen fortsatte forskningen och 1751 publicerade den schweiziske matematikern Gabriel Cramer ett nytt sätt att lösa algebraiska ekvationer med hjälp av matriser med noll huvuddeterminant, som han arbetat med i flera decennier.

Vid ungefär samma tid publicerades Gauss-metoden för att lösa ett system av linjära algebraiska ekvationer. Även om dess namn idag är oupplösligt förknippat med namnet på en tysk matematiker, tillhör författarskapet, enligt historiker, inte honom. Så denna metod för att beräkna matriser var känd 2000 år före Carl Friedrich Gauss liv och presenterades i den antika kinesiska "Matematik i nio böcker" på 200-talet f.Kr.

I takt med att algebra och operationell kalkyl utvecklades, blossade intresset för matriser upp med förnyad kraft under 1800- och 1900-talen. Deras studie utfördes av framstående forskare från sin tid: William Hamilton, Arthur Cayley och James Joseph Sylvester.

I mitten av 1800-talet formulerade de slutligen reglerna för att addera och multiplicera matristabeller, och i början av 1900-talet utökades den teoretiska basen genom studier av Karl Weierstrass och Ferdinand Georg Frobenius. Det är anmärkningsvärt att matrisen fick sitt moderna namn och beteckning först 1841 - tack vare den engelske matematikern Arthur Cayley.

Sorter av matriser

En standard rektangulär matris är en nummerserie med m antal rader och n antal kolumner. Alla element i den är numrerade från vänster till höger och uppifrån och ned. Den översta raden kan representeras som (a₁ a₂ a₃ ... aₙ) och den nedre raden som (aₘ₁ aₘ₂ aₘ₃ ... aₘₙ). Matrisstorleken anges som m × n, där m och n är naturliga tal.

För att ta reda på det totala antalet element i tabellen räcker det följaktligen att multiplicera m med n: antalet rader med antalet kolumner. Vilka andra matriser finns förutom rektangulära?

Kvadrat. De har samma antal rader och kolumner, det vill säga m = n.
Som kolumnvektor. En sådan matris har n = 1, och storleken anges som "m × 1". Alla nummer i den är numrerade uppifrån och ned: kolon (a₁ a₂ ... aₘ).
Som en radvektor. En matris som liknar den föregående, men med m = 1 och storleken "1 × n". Siffrorna i den är numrerade från vänster till höger: rad (a₁ a₂ ... aₙ).

Kolumner och rader betecknas med versaler (m, n), men generellt sett kan varje matris representeras som K = M × N, även om ett av värdena är lika med ett.

Det finns också transponerade, diagonala, identitets- och nollmatriser. I identitetsmatrisen är alla element enheter, när den multipliceras med den förblir vilken matris som helst oförändrad. I noll består alla rader och kolumner av nollor, varje matris förblir oförändrad när den läggs till den.

Kalkylator för matrismultiplikation

Som med de flesta andra matematiska objekt kan matriser manipuleras med addition och subtraktion, multiplikation och division. För detta finns det regler och formler, härledda av forskare på 1600- och 1800-talen.

Matrisoperationer

Tilläggsåtgärder

Alla matriser med m rader och n kolumner kan representeras som K = m × n. Om flera matriser är involverade i operationen samtidigt tilldelas de alfabetiska versaler: A, B, C, etc. För att lägga till matristabellerna A och B av samma ordning till varandra måste du lägga till alla deras element i rader m och kolumner n i tur och ordning. Det vill säga, i den slutliga matrisen C kommer varje element att vara lika med:

сₘₙ = aₘₙ + bₘₙ.

Eftersom axiomen för linjärt rymd används dessutom, blir satsen giltig, enligt vilken mängden av alla matriser av samma storlek med element från fältet P bildar ett linjärt rum över fältet P. Med andra ord, varje sådan matris är en riktad vektor av detta utrymme (P). När du utför additionsoperationer måste två huvudegenskaper hos matriser beaktas:

Kommutativitet - A + B = B + A.
Associativitet - (A + B) + C = A + (B + C).

Om vi lägger till en vanlig matris med en noll (där alla element är nollor) får vi uttrycket: A + Ø = Ø + A = A. Och när vi adderar den till den motsatta matrisen får vi en noll ett: A + (−A) = Ø.

Talsmultiplikation

En matris kan multipliceras med ett tal och med en annan matris. I det första fallet multipliceras varje element från m rader och n kolumner med ett tal i tur och ordning. Om vi betecknar talet med bokstaven λ och matrisen med bokstaven A, får vi uttrycket:

A × λ = λ × aₘₙ.

Följande egenskaper hos matriser beaktas vid multiplikation:

Associativitet - λ × β × A = λ × (β × A).
Numerisk distributivitet - (λ + β) × A = λ × A + β × A.
Matrisfördelning - λ × (A + B) = λ × A + λ × B.

När de multipliceras med ett förblir alla element i tabellen oförändrade, och när de multipliceras med noll förvandlas de till nollor.

Matrismultiplikation

Den andra varianten av multiplikation - en matris med en annan, till exempel - A × B. I matrisen C som erhålls efter multiplikationen kommer varje element att vara lika med summan av produkterna av elementen i motsvarande rad i första faktorn och kolumnen i den andra. Denna regel är endast giltig om A och B är proportionella, det vill säga de har samma antal m rader och n kolumner. Om m × n och n × k matriser multipliceras, kommer dimensionen på den slutliga matrisen C att vara m × k. Precis som i fallet med tal, när du multiplicerar, måste du ta hänsyn till egenskaperna hos matriser:

Associativitet - (A × B) × C = A × (B × C).
Icke-kommutativitet - A × B ≠ B × A;
Distributiv - (A + B) × C = A × C + B × C.

Kommutativitet bevaras endast när den multipliceras med identitetsmatrisen I: A × I = I × A = A. Och när den multipliceras med talet λ, bevaras identiteten: (λ × A) × B = A × (λ × B) = X × (A×B). En rektangulär/kvadratisk matris kan också multipliceras med en radvektor och en kolumnvektor. Den första skrivs till vänster om den, och den andra skrivs till höger: med efterföljande multiplikation av element.

Där matriser används

Det mest uppenbara exemplet på användningen av matriser i matematik (och i vardagen) är multiplikationstabellen. Det är inget annat än produkten av vektormatriser med element från 1 till 9. Denna princip är inneboende i driften av alla datorenheter som arbetar med platta och tredimensionella figurer.

Matrisen för en monitor med flytande kristaller är sådan i bokstavlig mening, och varje element i den är en pixel med ett numeriskt värde, som dess nyans och ljusstyrka beror på. Matriser används också ofta:

Inom fysiken, som ett sätt att registrera data och deras transformationer.
I programmering, för att beskriva och organisera datamatriser.
Inom psykologi, för att skriva test om psykologiska föremåls kompatibilitet.

I dag används matristabeller även inom ekonomi och marknadsföring, samt inom kemi och biologi. För att utföra operationer med matriser av hög ordning krävs mycket datorkraft. I åtanke eller på papper är det för svårt och tidskrävande att utföra sådana beräkningar, så bekväma och lättanvända miniräknare har utvecklats.

De låter dig utföra alla grundläggande operationer online: multiplikation, hitta determinanter, transponera, höja till en potens, hitta rangordningar, hitta inversa matriser, etc. Ange bara värdena i de tomma fälten i tabellen , tryck på önskad knapp så kommer beräkningen att utföras på bråkdelar av sekunder.