Kalkulator matrica

U matematici, za kompaktno pisanje sistema linearnih jednačina, često se koriste matrice, napisane u obliku pravougaonih tabela. U ovim tabelama broj redova odgovara broju jednačina, a broj kolona odgovara broju nepoznatih. Postoje i matrice u obliku prstenova i polja: za pisanje kompleksnih i realnih brojeva.

Uz pomoć matričnih tabela možete rešavati algebarske i diferencijalne jednačine, svodeći proračune na operacije na matricama, što u velikoj meri ubrzava proces. Pored toga, pojednostavljuje sistematizaciju velikih nizova podataka, uključujući i one u elektronskim računarskim uređajima.

Istorija pojavljivanja

Istoričari pronalazak prvih matrica pripisuju starim Kinezima. Pre više od 4000 godina, za vreme vladavine cara Jua Velikog, ovi matematički objekti su nazivani magijskim kvadratima i omogućavali su da se složena proračuna izvode u nekoliko jednostavnih koraka.

Prema drevnoj kineskoj legendi, prvi magični kvadrat sa hijeroglifima otkriven je na oklopu svete kornjače koja je izronila iz Žute reke 2200. godine pre nove ere. Matrica je našla primenu u trgovini i inženjeringu, a zatim se proširila na mnoge zemlje Drevnog Istoka. Tokom ranog srednjeg veka o tome su saznali u arapskim zemljama, u 11. veku - u Indiji, u 15.-16. veku - u Japanu.

U Evropi je magični kvadrat bio poznat tek na prelazu iz 15. u 16. vek - zahvaljujući vizantijskom piscu Manuelu Moskopulu, koji ga je opisao u svojim spisima. Nemački slikar Albreht Direr je 1514. godine uključio magični kvadrat u svoju gravuru „Melanholija”. Na njemu je, pored ostalih predmeta, prikazan kvadrat, u čije centralne ćelije je upisan datum nastanka gravure.

U 16. veku, numeričke matrice postale su rasprostranjene među gatarima i astrolozima, koji su magičnom kvadratu davali mistična i lekovita svojstva. Često se može naći na minijaturnim srebrnim gravurama tog vremena, koje su navodno štitile svoje vlasnike od kuge. Zatim, u 16. veku, pronađene su praktične primene matrica u Evropi. Njemački filozof Kornelije Hajnrih Agripa ih je koristio da opiše kretanje 7 planeta konstruišući kvadrate od 3. do 9. reda.

U 17. i 18. veku istraživanja su nastavljena, a 1751. godine švajcarski matematičar Gabrijel Kramer objavio je novi način rešavanja algebarskih jednačina korišćenjem matrica sa nultom glavnom determinantom, na čemu je radio nekoliko decenija.

Približno u isto vreme objavljena je i Gausova metoda za rešavanje sistema linearnih algebarskih jednačina. Iako je danas njegovo ime neraskidivo povezano sa imenom nemačkog matematičara, autorstvo, prema istoričarima, ne pripada njemu. Dakle, ovaj metod izračunavanja matrica bio je poznat 2000 godina pre života Karla Fridriha Gausa, a predstavljen je u starokineskoj „Matematici u devet knjiga“ u 2. veku pre nove ere.

Kako su se razvijali algebra i operativni račun, interesovanje za matrice je rasplamsano sa novom snagom u 19. i 20. veku. Njihovo proučavanje sproveli su istaknuti naučnici svog vremena: Vilijam Hamilton, Artur Kejli i Džejms Džozef Silvester.

Sredinom 19. veka konačno su formulisali pravila za sabiranje i množenje matričnih tabela, a početkom 20. veka teorijska baza je proširena studijama Karla Vajerštrasa i Ferdinanda Georga Frobenijusa. Važno je napomenuti da je matrica dobila svoje moderno ime i oznaku tek 1841. godine - zahvaljujući engleskom matematičaru Arturu Kejliju.

Varienti matrica

Standardna pravougaona matrica je niz brojeva sa m brojem redova i n brojem kolona. Svi elementi u njemu su numerisani s leva na desno i odozgo na dole. Gornji red se može predstaviti kao (a₁ a₂ a₃ ... aₙ), a donji red kao (aₘ₁ aₘ₂ aₘ₃ ... aₘₙ). Veličina matrice je navedena kao m × n, gde su m i n prirodni brojevi.

Prema tome, da biste saznali ukupan broj elemenata u tabeli, dovoljno je pomnožiti m sa n: broj redova sa brojem kolona. Koje druge matrice postoje osim pravougaonih?

• Kvadrat. Imaju isti broj redova i kolona, odnosno m = n.
• Kao vektor kolone. Takva matrica ima n = 1, a veličina je navedena kao „m × 1“. Svi brojevi u njemu su numerisani od vrha do dna: dvotačka (a₁ a₂ ... aₘ).
• Kao vektor reda. Matrica slična prethodnoj, ali sa m = 1 i veličinom „1 × n“. Brojevi u njemu su numerisani s leva na desno: red (a₁ a₂ ... aₙ).

Kolone i redovi su označeni velikim slovima (m, n), ali uopšteno govoreći, svaka matrica se može predstaviti kao K = M × N, čak i ako je jedna od vrednosti jednaka jedan.

Postoje i transponovane, dijagonalne, identične i nulte matrice. U matrici identiteta, svi elementi su jedinice; kada se pomnoži sa njom, svaka matrica ostaje nepromenjena. U nuli, svi redovi i kolone se sastoje od nula, svaka matrica ostaje nepromenjena kada joj se doda.