V matematiki se za kompakten zapis sistemov linearnih enačb pogosto uporabljajo matrike, zapisane v obliki pravokotnih tabel. V teh tabelah število vrstic ustreza številu enačb, število stolpcev pa številu neznank. Obstajajo tudi matrike v obliki obročev in polj: za zapis kompleksnih in realnih števil.
S pomočjo matričnih tabel lahko rešujete algebraične in diferencialne enačbe, pri čemer zmanjšate izračune na operacije na matrikah, kar močno pospeši postopek. Poleg tega poenostavlja sistematizacijo velikih podatkovnih nizov, vključno s tistimi v elektronskih računalniških napravah.
Zgodovina pojavljanja
Zgodovinarji pripisujejo izum prvih matric starim Kitajcem. Pred več kot 4000 leti, v času vladavine cesarja Juja Velikega, so te matematične objekte imenovali magični kvadrati in so omogočali izvajanje zapletenih izračunov v nekaj preprostih korakih.
Po starodavni kitajski legendi je bil prvi čarobni kvadrat s hieroglifi odkrit na oklepu svete želve, ki je priplavala iz Rumene reke leta 2200 pr. Matrica je našla uporabo v trgovini in inženirstvu, nato pa se je razširila v številne države starega vzhoda. V zgodnjem srednjem veku so o tem izvedeli v arabskih državah, v 11. stoletju - v Indiji, v 15.-16. stoletju - na Japonskem.
V Evropi so čarobni kvadrat poznali šele na prelomu iz 15. v 16. stoletje - po zaslugi bizantinskega pisatelja Manuela Moskopula, ki ga je opisal v svojih spisih. Leta 1514 je nemški slikar Albrecht Dürer vključil magični kvadrat v svojo gravuro "Melanholija". Na njem je med drugimi predmeti upodobljen kvadrat, v osrednjih celicah katerega je vpisan datum nastanka gravure.
V 16. stoletju so se med vedeževalci in astrologi razširile numerične matrice, ki so čarobnemu kvadratu dajale mistične in zdravilne lastnosti. Pogosto ga najdemo na takratnih miniaturnih srebrnih gravurah, ki naj bi svoje lastnike varovale pred kugo. Nato so v 16. stoletju našli praktične aplikacije za matrice v Evropi. Nemški filozof Cornelius Heinrich Agrippa jih je uporabil za opis gibanja 7 planetov s konstruiranjem kvadratov od 3. do 9. reda.
V 17. in 18. stoletju so se raziskave nadaljevale in leta 1751 je švicarski matematik Gabriel Cramer objavil nov način reševanja algebraičnih enačb z uporabo matrik z ničelno glavno determinanto, na katerem je delal več desetletij.
Približno v istem času je bila objavljena Gaussova metoda za reševanje sistema linearnih algebrskih enačb. Čeprav je danes njegovo ime neločljivo povezano z imenom nemškega matematika, avtorstvo po mnenju zgodovinarjev ne pripada njemu. Ta metoda izračunavanja matrik je bila torej znana 2000 let pred življenjem Carla Friedricha Gaussa in je bila predstavljena v starodavni kitajski »Matematika v devetih knjigah« v 2. stoletju pred našim štetjem.
Ko sta se razvijala algebra in operacijski račun, se je zanimanje za matrike v 19. in 20. stoletju znova razplamtelo. Njihovo študijo so izvedli ugledni znanstveniki svojega časa: William Hamilton, Arthur Cayley in James Joseph Sylvester.
Do sredine 19. stoletja so dokončno oblikovali pravila za seštevanje in množenje matričnih tabel, do začetka 20. stoletja pa so teoretično osnovo razširile študije Karla Weierstrassa in Ferdinanda Georga Frobeniusa. Omeniti velja, da je matrika svoje sodobno ime in oznako dobila šele leta 1841 - zahvaljujoč angleškemu matematiku Arthurju Cayleyju.
Različice matrik
Standardna pravokotna matrika je številska serija z m številom vrstic in n številom stolpcev. Vsi elementi v njem so oštevilčeni od leve proti desni in od zgoraj navzdol. Zgornjo vrstico lahko predstavimo kot (a₁ a₂ a₃ ... aₙ), spodnjo vrstico pa kot (aₘ₁ aₘ₂ aₘ₃ ... aₘₙ). Velikost matrike je podana kot m × n, kjer sta m in n naravni števili.
Skladno s tem, če želite izvedeti skupno število elementov v tabeli, je dovolj, da pomnožite m z n: število vrstic s številom stolpcev. Katere druge matrice obstajajo poleg pravokotnih?
- Kvadrat. Imajo enako število vrstic in stolpcev, to je m = n.
- Kot stolpčni vektor. Takšna matrika ima n = 1, velikost pa je določena kot "m × 1". Vse številke v njem so oštevilčene od zgoraj navzdol: dvopičje (a₁ a₂ ... aₘ).
- Kot vrstični vektor. Matrika, podobna prejšnji, vendar z m = 1 in velikostjo "1 × n". Številke v njej so oštevilčene od leve proti desni: vrstica (a₁ a₂ ... aₙ).
Stolpci in vrstice so označeni z velikimi črkami (m, n), vendar na splošno lahko vsako matriko predstavimo kot K = M × N, tudi če je ena od vrednosti enaka ena.
Obstajajo tudi transponirane, diagonalne, identitetne in ničelne matrike. V identitetni matriki so vsi elementi enote; če jih pomnožimo z njo, katera koli matrika ostane nespremenjena. Pri ničli so vse vrstice in stolpci sestavljeni iz ničel, vsaka matrika ostane nespremenjena, ko ji jo dodamo.
