Matrični kalkulator

V matematiki se za kompakten zapis sistemov linearnih enačb pogosto uporabljajo matrike, zapisane v obliki pravokotnih tabel. V teh tabelah število vrstic ustreza številu enačb, število stolpcev pa številu neznank. Obstajajo tudi matrike v obliki obročev in polj: za zapis kompleksnih in realnih števil.

S pomočjo matričnih tabel lahko rešujete algebraične in diferencialne enačbe, pri čemer zmanjšate izračune na operacije na matrikah, kar močno pospeši postopek. Poleg tega poenostavlja sistematizacijo velikih podatkovnih nizov, vključno s tistimi v elektronskih računalniških napravah.

Zgodovina pojavljanja

Zgodovinarji pripisujejo izum prvih matric starim Kitajcem. Pred več kot 4000 leti, v času vladavine cesarja Juja Velikega, so te matematične objekte imenovali magični kvadrati in so omogočali izvajanje zapletenih izračunov v nekaj preprostih korakih.

Po starodavni kitajski legendi je bil prvi čarobni kvadrat s hieroglifi odkrit na oklepu svete želve, ki je priplavala iz Rumene reke leta 2200 pr. Matrica je našla uporabo v trgovini in inženirstvu, nato pa se je razširila v številne države starega vzhoda. V zgodnjem srednjem veku so o tem izvedeli v arabskih državah, v 11. stoletju - v Indiji, v 15.-16. stoletju - na Japonskem.

V Evropi so čarobni kvadrat poznali šele na prelomu iz 15. v 16. stoletje - po zaslugi bizantinskega pisatelja Manuela Moskopula, ki ga je opisal v svojih spisih. Leta 1514 je nemški slikar Albrecht Dürer vključil magični kvadrat v svojo gravuro "Melanholija". Na njem je med drugimi predmeti upodobljen kvadrat, v osrednjih celicah katerega je vpisan datum nastanka gravure.

V 16. stoletju so se med vedeževalci in astrologi razširile numerične matrice, ki so čarobnemu kvadratu dajale mistične in zdravilne lastnosti. Pogosto ga najdemo na takratnih miniaturnih srebrnih gravurah, ki naj bi svoje lastnike varovale pred kugo. Nato so v 16. stoletju našli praktične aplikacije za matrice v Evropi. Nemški filozof Cornelius Heinrich Agrippa jih je uporabil za opis gibanja 7 planetov s konstruiranjem kvadratov od 3. do 9. reda.

V 17. in 18. stoletju so se raziskave nadaljevale in leta 1751 je švicarski matematik Gabriel Cramer objavil nov način reševanja algebraičnih enačb z uporabo matrik z ničelno glavno determinanto, na katerem je delal več desetletij.

Približno v istem času je bila objavljena Gaussova metoda za reševanje sistema linearnih algebrskih enačb. Čeprav je danes njegovo ime neločljivo povezano z imenom nemškega matematika, avtorstvo po mnenju zgodovinarjev ne pripada njemu. Ta metoda izračunavanja matrik je bila torej znana 2000 let pred življenjem Carla Friedricha Gaussa in je bila predstavljena v starodavni kitajski »Matematika v devetih knjigah« v 2. stoletju pred našim štetjem.

Ko sta se razvijala algebra in operacijski račun, se je zanimanje za matrike v 19. in 20. stoletju znova razplamtelo. Njihovo študijo so izvedli ugledni znanstveniki svojega časa: William Hamilton, Arthur Cayley in James Joseph Sylvester.

Do sredine 19. stoletja so dokončno oblikovali pravila za seštevanje in množenje matričnih tabel, do začetka 20. stoletja pa so teoretično osnovo razširile študije Karla Weierstrassa in Ferdinanda Georga Frobeniusa. Omeniti velja, da je matrika svoje sodobno ime in oznako dobila šele leta 1841 - zahvaljujoč angleškemu matematiku Arthurju Cayleyju.

Različice matrik

Standardna pravokotna matrika je številska serija z m številom vrstic in n številom stolpcev. Vsi elementi v njem so oštevilčeni od leve proti desni in od zgoraj navzdol. Zgornjo vrstico lahko predstavimo kot (a₁ a₂ a₃ ... aₙ), spodnjo vrstico pa kot (aₘ₁ aₘ₂ aₘ₃ ... aₘₙ). Velikost matrike je podana kot m × n, kjer sta m in n naravni števili.

Skladno s tem, če želite izvedeti skupno število elementov v tabeli, je dovolj, da pomnožite m z n: število vrstic s številom stolpcev. Katere druge matrice obstajajo poleg pravokotnih?

Kvadrat. Imajo enako število vrstic in stolpcev, to je m = n.
Kot stolpčni vektor. Takšna matrika ima n = 1, velikost pa je določena kot "m × 1". Vse številke v njem so oštevilčene od zgoraj navzdol: dvopičje (a₁ a₂ ... aₘ).
Kot vrstični vektor. Matrika, podobna prejšnji, vendar z m = 1 in velikostjo "1 × n". Številke v njej so oštevilčene od leve proti desni: vrstica (a₁ a₂ ... aₙ).

Stolpci in vrstice so označeni z velikimi črkami (m, n), vendar na splošno lahko vsako matriko predstavimo kot K = M × N, tudi če je ena od vrednosti enaka ena.

Obstajajo tudi transponirane, diagonalne, identitetne in ničelne matrike. V identitetni matriki so vsi elementi enote; če jih pomnožimo z njo, katera koli matrika ostane nespremenjena. Pri ničli so vse vrstice in stolpci sestavljeni iz ničel, vsaka matrika ostane nespremenjena, ko ji jo dodamo.

Kalkulator za množenje matrik

Kot pri večini drugih matematičnih predmetov je mogoče matrike manipulirati s seštevanjem in odštevanjem, množenjem in deljenjem. Za to obstajajo pravila in formule, ki so jih izpeljali znanstveniki v 17.–19. stoletju.

Matrične operacije

Operacije dodajanja

Katera koli matrika z m vrsticami in n stolpci je lahko predstavljena kot K = m × n. Če je v operaciji vključenih več matrik hkrati, se jim dodelijo velike abecedne črke: A, B, C itd. Če želite med seboj dodati matrične tabele A in B istega vrstnega reda, morate dodati vse njihove elemente v vrsticah m in stolpce n po vrsti. To pomeni, da bo v končni matriki C vsak element enak:

сₘₙ = aₘₙ + bₘₙ.

Ker so dodatno uporabljeni aksiomi linearnega prostora, postane veljaven izrek, po katerem množica vseh enako velikih matrik z elementi iz polja P tvori linearni prostor nad poljem P. Z drugimi besedami, vsaka taka matrika je usmerjen vektor tega prostora (P). Pri izvajanju operacij seštevanja je treba upoštevati dve glavni lastnosti matrik:

Komutativnost - A + B = B + A.
Asociativnost - (A + B) + C = A + (B + C).

Če dodamo navadno matriko z ničlo ena (v kateri so vsi elementi ničle), dobimo izraz: A + Ø = Ø + A = A. In ko jo dodamo nasprotni matriki, dobimo nič ena: A + (−A) = Ø.

Množenje števil

Matriko je mogoče pomnožiti s številom in z drugo matriko. V prvem primeru se vsak element iz m vrstic in n stolpcev po vrsti pomnoži s številom. Če število označimo s črko λ, matriko pa s črko A, dobimo izraz:

A × λ = λ × aₘₙ.

Med množenjem se upoštevajo naslednje lastnosti matrik:

Asociativnost - λ × β × A = λ × (β × A).
Numerična porazdelitev - (λ + β) × A = λ × A + β × A.
Razdelljivost matrike - λ × (A + B) = λ × A + λ × B.

Pri množenju z ena ostanejo vsi elementi tabele nespremenjeni, pri množenju z nič pa se spremenijo v ničle.

Množenje matrik

Druga različica množenja - ena matrika z drugo, na primer - A × B. V matriki C, dobljeni po njihovem množenju, bo vsak element enak vsoti produktov elementov v ustrezni vrstici prvi faktor in stolpec drugega. To pravilo velja samo, če sta A in B sorazmerna, to pomeni, da imata enako število m vrstic in n stolpcev. Če pomnožimo matrike m × n in n × k, bo dimenzija končne matrike C m × k. Tako kot pri številkah morate tudi pri množenju upoštevati lastnosti matrik:

Asociativnost - (A × B) × C = A × (B × C).
Nekomutativnost - A × B ≠ B × A;
Razdelitev - (A + B) × C = A × C + B × C.

Komutativnost se ohrani samo, če se pomnoži z identitetno matriko I: A × I = I × A = A. In ko se pomnoži s številom λ, se identiteta ohrani: (λ × A) × B = A × (λ × B) = λ × (A × B). Pravokotno/kvadratno matriko je mogoče pomnožiti tudi z vrstičnim vektorjem in stolpčnim vektorjem. Prvi je napisan na levi strani, drugi pa na desni: z naknadnim množenjem elementov.

Kje se uporabljajo matrike

Najbolj očiten primer uporabe matrik v matematiki (in v vsakdanjem življenju) je tabela množenja. To ni nič drugega kot produkt vektorskih matrik z elementi od 1 do 9. To načelo je neločljivo povezano z delovanjem vseh računalniških naprav, ki delajo z ravnimi in tridimenzionalnimi figurami.

Matrika monitorja s tekočimi kristali je taka v dobesednem pomenu in vsak element v njej je piksel s številčno vrednostjo, od katere sta odvisna njegov odtenek in svetlost. Tudi matrike se pogosto uporabljajo:

V fiziki kot sredstvo za zapisovanje podatkov in njihove transformacije.
V programiranju za opisovanje in organiziranje podatkovnih nizov.
V psihologiji za pisanje testov o združljivosti psiholoških objektov.

Danes se matrične tabele uporabljajo celo v ekonomiji in marketingu, pa tudi v kemiji in biologiji. Za izvajanje operacij z matrikami visokega reda je potrebna velika računalniška moč. V mislih ali na papirju je takšne izračune pretežko in zamudno izvajati, zato so bili razviti priročni in za uporabo enostavni spletni kalkulatorji.

Omogočili vam bodo izvajanje vseh osnovnih operacij na spletu: množenje, iskanje determinant, transponiranje, dvigovanje na potenco, iskanje rangov, iskanje inverznih matrik itd. Samo vnesite vrednosti v prazna polja tabele , pritisnite želeni gumb in izračun bo izveden v delčkih sekund.

Matrični kalkulator

Drugi pripomočki