V matematike sa na kompaktné písanie sústav lineárnych rovníc často používajú matice písané vo forme pravouhlých tabuliek. V týchto tabuľkách počet riadkov zodpovedá počtu rovníc a počet stĺpcov zodpovedá počtu neznámych. Existujú aj matice vo forme kruhov a polí: na písanie komplexných a reálnych čísel.
Pomocou maticových tabuliek môžete riešiť algebraické a diferenciálne rovnice, pričom výpočty zredukujete na operácie s maticami, čo značne urýchli proces. Okrem toho zjednodušuje systematizáciu veľkých dátových polí vrátane polí v elektronických výpočtových zariadeniach.
História výskytu
Historici pripisujú vynález prvých matríc starým Číňanom. Pred viac ako 4000 rokmi, počas vlády cisára Yu Veľkého, sa tieto matematické objekty nazývali magické štvorce a umožňovali vykonávať zložité výpočty v niekoľkých jednoduchých krokoch.
Podľa starej čínskej legendy bol prvý magický štvorec s hieroglyfmi objavený na pancieri posvätnej korytnačky, ktorá sa vynorila zo Žltej rieky v roku 2200 pred Kristom. Matrica našla uplatnenie v obchode a strojárstve a následne sa rozšírila do mnohých krajín starovekého východu. Počas raného stredoveku sa o tom dozvedeli v arabských krajinách, v 11. storočí – v Indii, v 15. – 16. storočí – v Japonsku.
V Európe bol magický štvorec známy až na prelome 15.-16. storočia - vďaka byzantskému spisovateľovi Manuelovi Moskhopulovi, ktorý ho opísal vo svojich spisoch. V roku 1514 nemecký maliar Albrecht Dürer zahrnul magický štvorec do svojej rytiny „Melanchólia“. Na ňom je okrem iných predmetov zobrazený štvorec, v ktorého centrálnych bunkách je vpísaný dátum vytvorenia rytiny.
V 16. storočí sa medzi veštcami a astrológmi rozšírili numerické matice, ktoré dávali magickému štvorcu mystické a liečivé vlastnosti. Často ho možno nájsť na vtedajších miniatúrnych strieborných rytinách, ktoré údajne chránili svojich majiteľov pred morom. Potom, v 16. storočí, sa našli praktické aplikácie matrík v Európe. Nemecký filozof Cornelius Heinrich Agrippa ich použil na opis pohybu 7 planét zostrojením štvorcov od 3. do 9. rádu.
V 17. a 18. storočí výskum pokračoval a v roku 1751 švajčiarsky matematik Gabriel Cramer publikoval nový spôsob riešenia algebraických rovníc pomocou matíc s nulovým hlavným determinantom, na ktorom pracoval niekoľko desaťročí.
Približne v rovnakom čase bola publikovaná Gaussova metóda na riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc. Hoci sa dnes jej meno neodmysliteľne spája s menom nemeckého matematika, autorstvo mu podľa historikov neprináleží. Takže táto metóda výpočtu matíc bola známa 2000 rokov pred životom Carla Friedricha Gaussa a bola prezentovaná v starej čínskej „Matematika v deviatich knihách“ v 2. storočí pred Kristom.
Ako sa rozvíjala algebra a operačný počet, záujem o matice vzrástol v 19. a 20. storočí s novou silou. Ich štúdiu vykonali významní vedci svojej doby: William Hamilton, Arthur Cayley a James Joseph Sylvester.
V polovici 19. storočia konečne sformulovali pravidlá sčítania a násobenia maticových tabuliek a začiatkom 20. storočia teoretický základ rozšírili štúdie Karla Weierstrassa a Ferdinanda Georga Frobeniusa. Je pozoruhodné, že matica dostala svoj moderný názov a označenie až v roku 1841 – vďaka anglickému matematikovi Arthurovi Cayleymu.
Rôzne matice
Štandardná obdĺžniková matica je číselný rad s počtom riadkov m a počtom stĺpcov n. Všetky prvky v ňom sú očíslované zľava doprava a zhora nadol. Horný rad môže byť reprezentovaný ako (a1 a₂ a₃ ... aₙ) a spodný riadok ako (aₘ₁ aₘ₂ aₘ₃ ... aₘₙ). Veľkosť matice je špecifikovaná ako m × n, kde m a n sú prirodzené čísla.
Podľa toho na zistenie celkového počtu prvkov v tabuľke stačí vynásobiť m číslom n: počet riadkov počtom stĺpcov. Aké ďalšie matice existujú okrem pravouhlých?
- Štvorec. Majú rovnaký počet riadkov a stĺpcov, to znamená m = n.
- Ako stĺpcový vektor. Takáto matica má n = 1 a veľkosť je špecifikovaná ako „m × 1“. Všetky čísla v ňom sú očíslované zhora nadol: dvojbodka (a₁ a₂ ... aₘ).
- Ako riadkový vektor. Matica podobná predchádzajúcej, ale s m = 1 a veľkosťou „1 × n“. Čísla v ňom sú očíslované zľava doprava: riadok (a₁ a₂ ... aₙ).
Stĺpce a riadky sú označené veľkými písmenami (m, n), ale vo všeobecnosti môže byť každá matica reprezentovaná ako K = M × N, aj keď sa jedna z hodnôt rovná jednej.
Existujú aj transponované, diagonálne, identitné a nulové matice. V matici identity sú všetky prvky jednotkami; keď sa ňou vynásobíme, akákoľvek matica zostane nezmenená. V nule sa všetky riadky a stĺpce skladajú z núl, každá matica zostáva nezmenená, keď sa do nej pridá.
