Maticová kalkulačka

V matematike sa na kompaktné písanie sústav lineárnych rovníc často používajú matice písané vo forme pravouhlých tabuliek. V týchto tabuľkách počet riadkov zodpovedá počtu rovníc a počet stĺpcov zodpovedá počtu neznámych. Existujú aj matice vo forme kruhov a polí: na písanie komplexných a reálnych čísel.

Pomocou maticových tabuliek môžete riešiť algebraické a diferenciálne rovnice, pričom výpočty zredukujete na operácie s maticami, čo značne urýchli proces. Okrem toho zjednodušuje systematizáciu veľkých dátových polí vrátane polí v elektronických výpočtových zariadeniach.

História výskytu

Historici pripisujú vynález prvých matríc starým Číňanom. Pred viac ako 4000 rokmi, počas vlády cisára Yu Veľkého, sa tieto matematické objekty nazývali magické štvorce a umožňovali vykonávať zložité výpočty v niekoľkých jednoduchých krokoch.

Podľa starej čínskej legendy bol prvý magický štvorec s hieroglyfmi objavený na pancieri posvätnej korytnačky, ktorá sa vynorila zo Žltej rieky v roku 2200 pred Kristom. Matrica našla uplatnenie v obchode a strojárstve a následne sa rozšírila do mnohých krajín starovekého východu. Počas raného stredoveku sa o tom dozvedeli v arabských krajinách, v 11. storočí – v Indii, v 15. – 16. storočí – v Japonsku.

V Európe bol magický štvorec známy až na prelome 15.-16. storočia - vďaka byzantskému spisovateľovi Manuelovi Moskhopulovi, ktorý ho opísal vo svojich spisoch. V roku 1514 nemecký maliar Albrecht Dürer zahrnul magický štvorec do svojej rytiny „Melanchólia“. Na ňom je okrem iných predmetov zobrazený štvorec, v ktorého centrálnych bunkách je vpísaný dátum vytvorenia rytiny.

V 16. storočí sa medzi veštcami a astrológmi rozšírili numerické matice, ktoré dávali magickému štvorcu mystické a liečivé vlastnosti. Často ho možno nájsť na vtedajších miniatúrnych strieborných rytinách, ktoré údajne chránili svojich majiteľov pred morom. Potom, v 16. storočí, sa našli praktické aplikácie matrík v Európe. Nemecký filozof Cornelius Heinrich Agrippa ich použil na opis pohybu 7 planét zostrojením štvorcov od 3. do 9. rádu.

V 17. a 18. storočí výskum pokračoval a v roku 1751 švajčiarsky matematik Gabriel Cramer publikoval nový spôsob riešenia algebraických rovníc pomocou matíc s nulovým hlavným determinantom, na ktorom pracoval niekoľko desaťročí.

Približne v rovnakom čase bola publikovaná Gaussova metóda na riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc. Hoci sa dnes jej meno neodmysliteľne spája s menom nemeckého matematika, autorstvo mu podľa historikov neprináleží. Takže táto metóda výpočtu matíc bola známa 2000 rokov pred životom Carla Friedricha Gaussa a bola prezentovaná v starej čínskej „Matematika v deviatich knihách“ v 2. storočí pred Kristom.

Ako sa rozvíjala algebra a operačný počet, záujem o matice vzrástol v 19. a 20. storočí s novou silou. Ich štúdiu vykonali významní vedci svojej doby: William Hamilton, Arthur Cayley a James Joseph Sylvester.

V polovici 19. storočia konečne sformulovali pravidlá sčítania a násobenia maticových tabuliek a začiatkom 20. storočia teoretický základ rozšírili štúdie Karla Weierstrassa a Ferdinanda Georga Frobeniusa. Je pozoruhodné, že matica dostala svoj moderný názov a označenie až v roku 1841 – vďaka anglickému matematikovi Arthurovi Cayleymu.

Rôzne matice

Štandardná obdĺžniková matica je číselný rad s počtom riadkov m a počtom stĺpcov n. Všetky prvky v ňom sú očíslované zľava doprava a zhora nadol. Horný rad môže byť reprezentovaný ako (a1 a₂ a₃ ... aₙ) a spodný riadok ako (aₘ₁ aₘ₂ aₘ₃ ... aₘₙ). Veľkosť matice je špecifikovaná ako m × n, kde m a n sú prirodzené čísla.

Podľa toho na zistenie celkového počtu prvkov v tabuľke stačí vynásobiť m číslom n: počet riadkov počtom stĺpcov. Aké ďalšie matice existujú okrem pravouhlých?

Štvorec. Majú rovnaký počet riadkov a stĺpcov, to znamená m = n.
Ako stĺpcový vektor. Takáto matica má n = 1 a veľkosť je špecifikovaná ako „m × 1“. Všetky čísla v ňom sú očíslované zhora nadol: dvojbodka (a₁ a₂ ... aₘ).
Ako riadkový vektor. Matica podobná predchádzajúcej, ale s m = 1 a veľkosťou „1 × n“. Čísla v ňom sú očíslované zľava doprava: riadok (a₁ a₂ ... aₙ).

Stĺpce a riadky sú označené veľkými písmenami (m, n), ale vo všeobecnosti môže byť každá matica reprezentovaná ako K = M × N, aj keď sa jedna z hodnôt rovná jednej.

Existujú aj transponované, diagonálne, identitné a nulové matice. V matici identity sú všetky prvky jednotkami; keď sa ňou vynásobíme, akákoľvek matica zostane nezmenená. V nule sa všetky riadky a stĺpce skladajú z núl, každá matica zostáva nezmenená, keď sa do nej pridá.

Kalkulačka maticového násobenia

Rovnako ako s väčšinou ostatných matematických objektov, aj s maticami je možné manipulovať pomocou sčítania a odčítania, násobenia a delenia. Na tento účel existujú pravidlá a vzorce odvodené vedcami v 17. až 19. storočí.

Operácie s maticou

Operácie pridávania

Každá matica s m riadkami a n stĺpcami môže byť reprezentovaná ako K = m × n. Ak je do operácie zapojených niekoľko matíc naraz, sú im priradené veľké písmená abecedy: A, B, C atď. Ak chcete navzájom pridať maticové tabuľky A a B rovnakého poradia, musíte pridať všetky ich prvky do riadkov m a stĺpce n v poradí . To znamená, že v konečnej matici C bude každý prvok rovný:

сₘₙ = aₘₙ + bₘₙ.

Keďže sa navyše používajú axiómy lineárneho priestoru, platí veta, podľa ktorej množina všetkých matíc rovnakej veľkosti s prvkami z poľa P tvorí lineárny priestor nad poľom P. Inými slovami, každá takáto matica je smerovaný vektor tohto priestoru (P). Pri vykonávaní operácií sčítania treba brať do úvahy dve hlavné vlastnosti matíc:

Komutativita – A + B = B + A.
Asociativita – (A + B) + C = A + (B + C).

Ak sčítame obyčajnú maticu s nulou (v ktorej sú všetky prvky nulové), dostaneme výraz: A + Ø = Ø + A = A. A keď to pripočítame k opačnej matici, dostaneme nula jedna: A + (−A) = Ø.

Násobenie čísel

Maticu možno vynásobiť číslom a ďalšou maticou. V prvom prípade sa každý prvok z m riadkov a n stĺpcov postupne vynásobí číslom. Ak číslo označíme písmenom λ a maticu písmenom A, dostaneme výraz:

A × λ = λ × aₘₙ.

Pri násobení sa berú do úvahy nasledujúce vlastnosti matíc:

Asociativita – λ × β × A = λ × (β × A).
Číselná distribúcia – (λ + β) × A = λ × A + β × A.
Distributivita matice – λ × (A + B) = λ × A + λ × B.

Pri vynásobení jednou zostanú všetky prvky tabuľky nezmenené a po vynásobení nulou sa zmenia na nuly.

Násobenie matice

Druhý variant násobenia - jedna matica druhou, napríklad - A × B. V matici C získanej po ich vynásobení sa každý prvok bude rovnať súčtu súčinov prvkov v príslušnom riadku prvý faktor a stĺpec druhého. Toto pravidlo platí len vtedy, ak sú A a B primerané, to znamená, že majú rovnaký počet m riadkov a n stĺpcov. Ak sa matice m × n a n × k vynásobia, rozmer výslednej matice C bude m × k. Podobne ako v prípade čísel, aj pri násobení treba brať do úvahy vlastnosti matíc:

Asociativita – (A × B) × C = A × (B × C).
Nekomutivita – A × B ≠ B × A;
Distribučné – (A + B) × C = A × C + B × C.

Komutivita sa zachová iba pri vynásobení maticou identity I: A × I = I × A = A. A po vynásobení číslom λ sa zachová identita: (λ × A) × B = A × (λ × B) = λ × (A × B). Obdĺžnikovú/štvorcovú maticu možno vynásobiť aj riadkovým vektorom a stĺpcovým vektorom. Prvý sa píše naľavo od neho a druhý napravo: s následným násobením prvkov.

Kde sa používajú matice

Najzrejmejším príkladom použitia matíc v matematike (a v každodennom živote) je násobilka. Nie je to nič iné ako súčin vektorových matíc s prvkami od 1 do 9. Tento princíp je vlastný fungovaniu všetkých výpočtových zariadení, ktoré pracujú s plochými a trojrozmernými obrazcami.

Matrica monitora z tekutých kryštálov je taká v doslovnom zmysle a každý prvok v nej je pixel s číselnou hodnotou, od ktorej závisí jej odtieň a jas. Matice sú tiež široko používané:

Vo fyzike ako prostriedok na zaznamenávanie údajov a ich transformácií.
Pri programovaní popisovať a organizovať dátové polia.
V psychológii na písanie testov o kompatibilite psychologických objektov.

Matričné tabuľky sa dnes používajú dokonca aj v ekonómii a marketingu, ako aj v chémii a biológii. Na vykonávanie operácií s maticami vysokého rádu je potrebný veľký výpočtový výkon. V mysli alebo na papieri je vykonávanie takýchto výpočtov príliš ťažké a časovo náročné, preto boli vyvinuté pohodlné a ľahko použiteľné online kalkulačky.

Umožnia vám vykonávať všetky základné operácie online: násobenie, hľadanie determinantov, transponovanie, zvyšovanie na mocninu, hľadanie hodností, hľadanie inverzných matíc atď. Stačí zadať hodnoty do prázdnych polí tabuľky , stlačte požadované tlačidlo a výpočet sa vykoná v zlomkoch sekúnd.

Maticová kalkulačka

Iné nástroje