Сложение, вычитание, умножение матриц
В математике для компактной записи систем линейных уравнений часто используют матрицы, записываемые в виде прямоугольных таблиц. В этих таблицах число строк соответствует количеству уравнений, а число колонок — количеству неизвестных. Существуют также матрицы в виде колец и полей: для записи комплексных и действительных чисел.
С помощью матричных таблиц можно решать алгебраические и дифференциальные уравнения, сводя вычисления к операциям над матрицами, что значительно ускоряет процесс. Кроме того, это упрощает систематизацию больших массивов данных, в том числе — в электронно-вычислительных устройствах.
История возникновения
Историки приписывают изобретение первых матриц древним китайцам. Более 4000 лет назад, во времена правления императора Юя Великого (大禹), эти математические объекты назывались магическими квадратами, и позволяли проводить сложные вычисления в несколько простых действий.
Согласно древнекитайской легенде, первый магический квадрат с иероглифами был обнаружен на панцире священной черепахи, всплывшей из «Жёлтой реки» (Хуанхэ) в 2200 году до нашей эры. Матрица нашла применение в торговле и инженерии, и впоследствии распространилась во многих странах Древнего Востока. Во времена раннего Средневековья о ней узнали в арабских странах, в XI веке — в Индии, а в XV–XVI веках — в Японии.
В Европе о магическом квадрате узнали только на рубеже XV–XVI веков — благодаря византийскому писателю Мануилу Мосхопулу (Manuel Moschopulus), описавшему его в своих трудах. В 1514 году немецкий живописец Альбрехт Дюрер (Albrecht Dürer) включил магический квадрат в свою гравюру «Меланхолия» (Melencolia). На ней, помимо прочих объектов, изображён квадрат, в центральные клетки которого вписана дата создания гравюры.
В XVI веке числовые матрицы получили распространение среди прорицателей и астрологов, придающих магическому квадрату мистические и целебные свойства. Его часто можно встретить на миниатюрных серебряных гравюрах того времени, которые, якобы, защищали своих владельцев от чумы. Тогда же, в XVI веке, для матриц в Европе нашлось практическое применение. Немецкий философ Корнелий Генрих Агриппа (Heinrich Cornelius Agrippa von Nettesheim) использовал их для описания движения 7 планет, построив квадраты от 3-го до 9-го порядка.
В XVII–XVIII веках исследования продолжились, и в 1751 году швейцарский математик Габриэль Крамер (Gabriel Cramer) опубликовал новый способ решения алгебраических уравнений с помощью матриц с нулевым главным определителем, над которым он работал несколько десятилетий.
Примерно в то же время был опубликован метод Гаусса (Gaußsches Eliminationsverfahren) для решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Хотя сегодня его название неразрывно ассоциируют с именем немецкого математика, авторство, по мнению историков, принадлежит не ему. Так, этот метод вычисления матриц был известен ещё за 2000 лет до жизни Карла Фридриха Гаусса (Carl Friedrich Gauß), и был представлен в древнекитайской «Математике в девяти книгах» (九章算術) во II веке до нашей эры.
По мере развития алгебры и операционного исчисления, интерес к матрицам вспыхнул с новой силой в XIX–XX веках. Их исследованием занимались выдающиеся учёные своего времени: Уильям Гамильтон (William Rowan Hamilton), Артур Кэли (Arthur Cayley) и Джеймс Джозеф Сильвестр (James Joseph Sylvester).
К середине XIX века ими были окончательно сформулированы правила сложения и умножения матричных таблиц, а к началу XX века теоретическая база была расширена исследованиями Карла Вейерштрасса (Karl Theodor Wilhelm Weierstraß) и Фердинанда Георга Фробениуса (Ferdinand Georg Frobenius). Примечательно, что своё современное название и обозначение матрица получила только в 1841 году — благодаря английскому математику Артуру Кэли.
Разновидности матриц
Стандартная прямоугольная матрица представляет собой числовой ряд с m количеством строк и n количеством столбцов. Все элементы в ней нумеруются слева направо и сверху вниз. Верхняя строка может быть представлена в виде (a₁ a₂ a₃ ... aₙ), а нижняя — в виде (aₘ₁ aₘ₂ aₘ₃ ... aₘₙ). Размер матрицы указывается как m × n, где m и n — натуральные числа.
Соответственно, чтобы узнать суммарное количество элементов в таблице, достаточно умножить m на n: количество строк на количество столбцов. Какие ещё существуют матрицы, кроме прямоугольной?
- Квадратные. В них одинаковое количество строк и столбцов, то есть — m = n.
- В виде вектора-столбца. У такой матрицы n = 1, а размер указывается как «m × 1». Все числа в ней нумеруются сверху вниз: colon (a₁ a₂ a₃ ... aₘ).
- В виде вектора-строки. Матрица, аналогичная предыдущей, но с m = 1 и размером «1 × n». Числа в ней нумеруются слева-направо: row (a₁ a₂ a₃ ... aₙ).
Столбцы и строки обозначаются прописными буквами (m, n), но в общем виде каждую матрицу можно представить как К = M × N, даже если одно из значений равно единице.
Различают также транспонированные, диагональные, единичные и нулевые матрицы. В единичной все элементы — единицы, при умножении на неё любая матрица остаётся неизменной. В нулевой все строки и столбцы состоят из нулей, каждая матрица остаётся неизменной при сложении с ней.
