Calculator de matrice

În matematică, pentru a scrie compact sisteme de ecuații liniare, se folosesc adesea matrici, scrise sub formă de tabele dreptunghiulare. În aceste tabele, numărul de rânduri corespunde numărului de ecuații, iar numărul de coloane corespunde numărului de necunoscute. Există și matrice sub formă de inele și câmpuri: pentru scrierea numerelor complexe și reale.

Cu ajutorul tabelelor matriceale, puteți rezolva ecuații algebrice și diferențiale, reducând calculele la operații pe matrice, ceea ce accelerează foarte mult procesul. În plus, simplifică sistematizarea matricelor mari de date, inclusiv a celor din dispozitivele electronice de calcul.

Istoricul apariției

Istoricii atribuie invenția primelor matrici chinezilor antici. Cu mai bine de 4000 de ani în urmă, în timpul domniei împăratului Yu cel Mare, aceste obiecte matematice erau numite pătrate magice și permiteau efectuarea unor calcule complexe în câțiva pași simpli.

Conform legendei antice chineze, primul pătrat magic cu hieroglife a fost descoperit pe coaja unei broaște țestoase sacre care a ieșit la suprafață din râul Galben în 2200 î.Hr. Matricea a găsit aplicație în comerț și inginerie și, ulterior, s-a răspândit în multe țări din Orientul Antic. În timpul Evului Mediu timpuriu, au aflat despre asta în țările arabe, în secolul al XI-lea - în India, în secolele XV-XVI - în Japonia.

În Europa, pătratul magic era cunoscut abia la începutul secolelor XV-XVI - datorită scriitorului bizantin Manuel Moskhopul, care l-a descris în scrierile sale. În 1514, pictorul german Albrecht Dürer a inclus un pătrat magic în gravura sa „Melancholia”. Pe el, printre alte obiecte, este înfățișat un pătrat, în celulele centrale ale căruia este înscrisă data realizării gravurii.

În secolul al XVI-lea, matricele numerice s-au răspândit printre ghicitori și astrologi, care au conferit pătratului magic proprietăți mistice și vindecătoare. Acesta poate fi găsit adesea pe gravurile în miniatură din argint ale vremii, care se presupune că i-au protejat pe proprietarii lor de ciumă. Apoi, în secolul al XVI-lea, s-au găsit aplicații practice pentru matrice în Europa. Filozoful german Cornelius Heinrich Agrippa le-a folosit pentru a descrie mișcarea celor 7 planete, construind pătrate de la ordinul 3 până la al 9-lea.

În secolele al XVII-lea și al XVIII-lea, cercetările au continuat, iar în 1751, matematicianul elvețian Gabriel Cramer a publicat o nouă modalitate de rezolvare a ecuațiilor algebrice folosind matrici cu determinant principal zero, la care lucra de câteva decenii.

În același timp, a fost publicată metoda Gauss pentru rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice liniare. Deși astăzi numele său este indisolubil asociat cu numele unui matematician german, paternitatea, potrivit istoricilor, nu îi aparține. Așadar, această metodă de calcul a matricilor a fost cunoscută cu 2000 de ani înainte de viața lui Carl Friedrich Gauss și a fost prezentată în vechiul chinez „Matematica în nouă cărți” în secolul al II-lea î.Hr.

Pe măsură ce algebra și calculul operațional s-au dezvoltat, interesul pentru matrici a crescut cu o vigoare reînnoită în secolele al XIX-lea și al XX-lea. Oameni de știință remarcabili ai vremii lor au fost implicați în cercetările lor: William Hamilton, Arthur Cayley și James Joseph Sylvester.

Până la mijlocul secolului al XIX-lea, ei au formulat în cele din urmă regulile pentru adăugarea și înmulțirea tabelelor matriceale, iar până la începutul secolului al XX-lea, baza teoretică a fost extinsă prin studiile lui Karl Weierstrass și Ferdinand Georg Frobenius. Este de remarcat faptul că matricea și-a primit numele și denumirea modernă abia în 1841 - datorită matematicianului englez Arthur Cayley.

Soiuri de matrice

O matrice dreptunghiulară standard este o serie de numere cu m număr de rânduri și n număr de coloane. Toate elementele din acesta sunt numerotate de la stânga la dreapta și de sus în jos. Rândul de sus poate fi reprezentat ca (a₁ a₂ a₃ ... aₙ) iar rândul de jos ca (aₘ₁ aₘ₂ aₘ₃ ... aₘₙ). Mărimea matricei este specificată ca m × n, unde m și n sunt numere naturale.

În consecință, pentru a afla numărul total de elemente din tabel, este suficient să înmulțim m cu n: numărul de rânduri cu numărul de coloane. Ce alte matrici există în afară de dreptunghiular?

• Pătrat. Au același număr de rânduri și coloane, adică m = n.
• Ca un vector coloană. O astfel de matrice are n = 1, iar dimensiunea este specificată ca „m × 1”. Toate numerele din el sunt numerotate de sus în jos: două puncte (a₁ a₂ ... aₘ).
• Ca un vector rând. O matrice similară cu cea anterioară, dar cu m = 1 și dimensiunea „1 × n”. Numerele din el sunt numerotate de la stânga la dreapta: rând (a₁ a₂ ... aₙ).

Coloanele și rândurile sunt notate cu majuscule (m, n), dar în termeni generali, fiecare matrice poate fi reprezentată ca K = M × N, chiar dacă una dintre valori este egală cu una.

Există și matrici transpuse, diagonale, identitare și zero. În matricea de identitate, toate elementele sunt unități; atunci când sunt înmulțite cu aceasta, orice matrice rămâne neschimbată. În zero, toate rândurile și coloanele constau din zerouri, fiecare matrice rămâne neschimbată atunci când este adăugată la ea.