Calculadora de matriz

Na matemática, para escrever sistemas de equações lineares de forma compacta, as matrizes são frequentemente usadas, escritas na forma de tabelas retangulares. Nessas tabelas, o número de linhas corresponde ao número de equações e o número de colunas corresponde ao número de incógnitas. Existem também matrizes na forma de anéis e campos: para escrever números complexos e reais.

Com a ajuda de tabelas matriciais, você pode resolver equações algébricas e diferenciais, reduzindo os cálculos a operações sobre matrizes, o que agiliza muito o processo. Além disso, simplifica a sistematização de grandes matrizes de dados, inclusive em dispositivos eletrônicos de computação.

Histórico de ocorrência

Os historiadores atribuem a invenção das primeiras matrizes aos antigos chineses. Há mais de 4.000 anos, durante o reinado do imperador Yu, o Grande, esses objetos matemáticos eram chamados de quadrados mágicos e permitiam que cálculos complexos fossem realizados em algumas etapas simples.

De acordo com uma antiga lenda chinesa, o primeiro quadrado mágico com hieróglifos foi descoberto no casco de uma tartaruga sagrada que emergiu do rio Amarelo em 2200 AC. A matriz encontrou aplicação no comércio e na engenharia e, posteriormente, se espalhou para muitos países do Antigo Oriente. Durante o início da Idade Média, eles aprenderam sobre isso nos países árabes, no século 11 - na Índia, nos séculos 15 a 16 - no Japão.

Na Europa, o quadrado mágico era conhecido apenas na virada dos séculos 15 para 16 - graças ao escritor bizantino Manuel Moskhopul, que o descreveu em seus escritos. Em 1514, o pintor alemão Albrecht Dürer incluiu um quadrado mágico em sua gravura "Melancolia". Nele, entre outros objetos, está representado um quadrado, em cujas células centrais está inscrita a data de criação da gravura.

No século 16, as matrizes numéricas se espalharam entre adivinhos e astrólogos, que deram ao quadrado mágico propriedades místicas e curativas. Muitas vezes pode ser encontrado em gravuras de prata em miniatura da época, que supostamente protegiam seus proprietários da peste. Então, no século 16, foram encontradas aplicações práticas para matrizes na Europa. O filósofo alemão Cornelius Heinrich Agrippa os usou para descrever o movimento dos 7 planetas construindo quadrados da 3ª à 9ª ordem.

Nos séculos 17 e 18, a pesquisa continuou e, em 1751, o matemático suíço Gabriel Cramer publicou uma nova maneira de resolver equações algébricas usando matrizes com determinante principal zero, na qual ele vinha trabalhando há várias décadas.

Na mesma época, o método de Gauss para resolver um sistema de equações algébricas lineares foi publicado. Embora hoje seu nome esteja indissociavelmente associado ao nome de um matemático alemão, a autoria, segundo historiadores, não lhe pertence. Portanto, esse método de cálculo de matrizes era conhecido 2.000 anos antes da vida de Carl Friedrich Gauss e foi apresentado no antigo chinês “Matemática em Nove Livros” no século II aC.

Com o desenvolvimento da álgebra e do cálculo operacional, o interesse pelas matrizes aumentou com vigor renovado nos séculos XIX e XX. Seu estudo foi realizado por cientistas proeminentes de seu tempo: William Hamilton, Arthur Cayley e James Joseph Sylvester.

Em meados do século 19, eles finalmente formularam as regras para adicionar e multiplicar tabelas de matrizes e, no início do século 20, a base teórica foi expandida pelos estudos de Karl Weierstrass e Ferdinand Georg Frobenius. Vale ressaltar que a matriz recebeu seu nome e designação modernos apenas em 1841 - graças ao matemático inglês Arthur Cayley.

Variedades de matrizes

Uma matriz retangular padrão é uma série numérica com m número de linhas e n número de colunas. Todos os elementos nele são numerados da esquerda para a direita e de cima para baixo. A linha superior pode ser representada como (a₁ a₂ a₃ ... aₙ) e a linha inferior como (aₘ₁ aₘ₂ aₘ₃ ... aₘₙ). O tamanho da matriz é especificado como m × n, onde m e n são números naturais.

Portanto, para saber o número total de elementos da tabela, basta multiplicar m por n: o número de linhas pelo número de colunas. Que outras matrizes existem além da retangular?

Quadrado. Eles têm o mesmo número de linhas e colunas, ou seja, m = n.
Como um vetor coluna. Essa matriz tem n = 1 e o tamanho é especificado como "m × 1". Todos os números são numerados de cima para baixo: dois pontos (a₁ a₂ ... aₘ).
Como um vetor linha. Uma matriz semelhante à anterior, mas com m = 1 e tamanho "1 × n". Os números são numerados da esquerda para a direita: linha (a₁ a₂ ... aₙ).

As colunas e linhas são indicadas por letras maiúsculas (m, n), mas em termos gerais, cada matriz pode ser representada como K = M × N, mesmo que um dos valores seja igual a um.

Também existem matrizes transpostas, diagonais, identidade e zero. Na matriz identidade, todos os elementos são unidades; quando multiplicados por ela, qualquer matriz permanece inalterada. Em zero, todas as linhas e colunas consistem em zeros, cada matriz permanece inalterada quando adicionada a ela.

Calculadora de multiplicação de matrizes

Assim como a maioria dos outros objetos matemáticos, as matrizes podem ser manipuladas com adição e subtração, multiplicação e divisão. Para isso, existem regras e fórmulas, derivadas por cientistas nos séculos XVII-XIX.

Operações de matriz

Operações de adição

Qualquer matriz com m linhas e n colunas pode ser representada como K = m × n. Se várias matrizes estiverem envolvidas na operação ao mesmo tempo, elas receberão letras maiúsculas alfabéticas: A, B, C, etc. Para adicionar tabelas de matrizes A e B da mesma ordem umas às outras, você precisa adicionar todos os seus elementos em linhas m e colunas n por sua vez. Ou seja, na matriz final C, cada elemento será igual a:

сₘₙ = aₘₙ + bₘₙ.

Como os axiomas do espaço linear são usados além disso, o teorema torna-se válido, segundo o qual o conjunto de todas as matrizes de mesmo tamanho com elementos do corpo P forma um espaço linear sobre o corpo P. Em outras palavras, cada uma dessas matrizes é um vetor direcionado desse espaço (P). Ao realizar operações de adição, duas propriedades principais das matrizes devem ser levadas em consideração:

Comutatividade - A + B = B + A.
Associatividade - (A + B) + C = A + (B + C).

Se adicionarmos uma matriz comum com zero um (na qual todos os elementos são zeros), obtemos a expressão: A + Ø = Ø + A = A. E quando a adicionamos à matriz oposta, obtemos um zero um: A + (−A) = Ø.

Multiplicação de números

Uma matriz pode ser multiplicada por um número e por outra matriz. No primeiro caso, cada elemento de m linhas e n colunas é multiplicado por um número de cada vez. Se denotarmos o número pela letra λ e a matriz pela letra A, obtemos a expressão:

A × λ = λ × aₘₙ.

As seguintes propriedades das matrizes são levadas em consideração durante a multiplicação:

Associatividade - λ × β × A = λ × (β × A).
Distributividade numérica - (λ + β) × A = λ × A + β × A.
Distributividade da matriz - λ × (A + B) = λ × A + λ × B.

Quando multiplicados por um, todos os elementos da tabela permanecem inalterados, e quando multiplicados por zero, eles se transformam em zeros.

Multiplicação de matrizes

A segunda variante da multiplicação - uma matriz por outra, por exemplo - A × B. Na matriz C obtida após sua multiplicação, cada elemento será igual à soma dos produtos dos elementos na linha correspondente do primeiro fator e a coluna do segundo. Essa regra só é válida se A e B forem proporcionais, ou seja, tiverem o mesmo número de m linhas e n colunas. Se as matrizes m × n e n × k forem multiplicadas, a dimensão da matriz final C será m × k. Como no caso dos números, ao multiplicar, você precisa levar em consideração as propriedades das matrizes:

Associatividade - (A × B) × C = A × (B × C).
Não comutatividade - A × B ≠ B × A;
Distributiva - (A + B) × C = A × C + B × C.

A comutatividade é preservada apenas quando multiplicada pela matriz identidade I: A × I = I × A = A. E quando multiplicada pelo número λ, a identidade é preservada: (λ × A) × B = A × (λ × B) = λ × (A × B). Uma matriz retangular/quadrada também pode ser multiplicada por um vetor linha e um vetor coluna. O primeiro está escrito à esquerda dele e o segundo está escrito à direita: com subsequente multiplicação de elementos.

Onde as matrizes são usadas

O exemplo mais óbvio do uso de matrizes na matemática (e na vida cotidiana) é a tabuada de multiplicação. Nada mais é do que o produto de matrizes vetoriais com elementos de 1 a 9. Esse princípio é inerente ao funcionamento de todos os dispositivos de computação que trabalham com figuras planas e tridimensionais.

A matriz de um monitor de cristal líquido é tal no sentido literal, e cada elemento nela é um pixel com um valor numérico, do qual dependem sua tonalidade e brilho. As matrizes também são amplamente utilizadas:

Na física, como meio de registro de dados e suas transformações.
Na programação, para descrever e organizar matrizes de dados.
Em psicologia, para escrever testes sobre a compatibilidade de objetos psicológicos.

Atualmente, as tabelas matriciais são usadas até mesmo em economia e marketing, bem como em química e biologia. Para realizar operações com matrizes de alta ordem, é necessário muito poder computacional. Em mente ou no papel, é muito difícil e demorado realizar tais cálculos, por isso foram desenvolvidas calculadoras on-line convenientes e fáceis de usar.

Eles permitirão que você realize todas as operações básicas online: multiplicação, encontrar determinantes, transpor, elevar a uma potência, encontrar fileiras, encontrar matrizes inversas, etc. Basta inserir os valores nos campos vazios da tabela , pressione o botão desejado e o cálculo será realizado em frações de segundos.

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