Kalkulator macierzy

W matematyce, aby zwięźle zapisać układy równań liniowych, często stosuje się macierze zapisane w postaci prostokątnych tabel. W tych tabelach liczba wierszy odpowiada liczbie równań, a liczba kolumn odpowiada liczbie niewiadomych. Istnieją również macierze w postaci pierścieni i pól: do zapisu liczb zespolonych i rzeczywistych.

Za pomocą tablic macierzowych możesz rozwiązywać równania algebraiczne i różniczkowe, redukując obliczenia do operacji na macierzach, co znacznie przyspiesza ten proces. Ponadto upraszcza systematyzację dużych tablic danych, w tym w elektronicznych urządzeniach komputerowych.

Historia występowania

Historycy przypisują wynalezienie pierwszych matryc starożytnym Chińczykom. Ponad 4000 lat temu, za panowania cesarza Yu Wielkiego, te obiekty matematyczne nazywano magicznymi kwadratami i umożliwiały przeprowadzanie skomplikowanych obliczeń w kilku prostych krokach.

Według starożytnej chińskiej legendy pierwszy magiczny kwadrat z hieroglifami odkryto na skorupie świętego żółwia, który wynurzył się z Żółtej Rzeki w 2200 rpne. Matryca znalazła zastosowanie w handlu i inżynierii, a następnie rozprzestrzeniła się na wiele krajów starożytnego Wschodu. We wczesnym średniowieczu dowiadywali się o tym w krajach arabskich, w XI wieku - w Indiach, w XV-XVI wieku - w Japonii.

W Europie magiczny kwadrat był znany dopiero na przełomie XV-XVI wieku - dzięki bizantyńskiemu pisarzowi Manuelowi Moskhopulowi, który opisał go w swoich pismach. W 1514 roku niemiecki malarz Albrecht Dürer umieścił magiczny kwadrat na swoim rycinie „Melancholia”. Na nim między innymi przedstawiony jest kwadrat, w centralnych komórkach którego wpisana jest data powstania ryciny.

W XVI wieku matryce liczbowe rozpowszechniły się wśród wróżbitów i astrologów, którzy nadali magicznemu kwadratowi właściwości mistyczne i lecznicze. Często można go znaleźć na ówczesnych miniaturowych srebrnych sztychach, które rzekomo chroniły ich właścicieli przed zarazą. Następnie, w XVI wieku, znaleziono praktyczne zastosowania matryc w Europie. Niemiecki filozof Cornelius Heinrich Agryppa użył ich do opisania ruchu 7 planet, konstruując kwadraty od 3. do 9. rzędu.

W XVII i XVIII wieku badania były kontynuowane, aw 1751 roku szwajcarski matematyk Gabriel Cramer opublikował nowy sposób rozwiązywania równań algebraicznych za pomocą macierzy z zerowym wyznacznikiem głównym, nad którym pracował przez kilka dziesięcioleci.

Mniej więcej w tym samym czasie opublikowano metodę Gaussa służącą do rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych. Choć dziś jego nazwa jest nierozerwalnie związana z nazwiskiem niemieckiego matematyka, to według historyków autorstwo nie należy do niego. Tak więc ta metoda obliczania macierzy była znana 2000 lat przed życiem Carla Friedricha Gaussa i została przedstawiona w starożytnej chińskiej „Matematyka w dziewięciu księgach” w II wieku pne.

W miarę rozwoju algebry i rachunku operacyjnego w XIX i XX wieku zainteresowanie macierzami wzrosło z nową energią. Ich badania zostały przeprowadzone przez wybitnych naukowców swoich czasów: Williama Hamiltona, Arthura Cayleya i Jamesa Josepha Sylvestra.

W połowie XIX wieku ostatecznie sformułowali zasady dodawania i mnożenia tablic macierzowych, a na początku XX wieku baza teoretyczna została poszerzona o badania Karla Weierstrassa i Ferdinanda Georga Frobeniusa. Warto zauważyć, że matryca otrzymała swoją współczesną nazwę i oznaczenie dopiero w 1841 roku – za sprawą angielskiego matematyka Arthura Cayleya.

Odmiany macierzy

Standardowa macierz prostokątna to szereg liczb o m liczbie wierszy i n liczbie kolumn. Wszystkie elementy w nim zawarte są ponumerowane od lewej do prawej i od góry do dołu. Górny rząd można przedstawić jako (a₁ a₂ a₃ ... aₙ), a dolny jako (aₘ₁ aₘ₂ aₘ₃ ... aₘₙ). Rozmiar macierzy jest określony jako m × n, gdzie m i n to liczby naturalne.

W związku z tym, aby znaleźć całkowitą liczbę elementów w tabeli, wystarczy pomnożyć m przez n: liczbę wierszy przez liczbę kolumn. Jakie inne macierze istnieją oprócz prostokątnych?

• Kwadrat. Mają taką samą liczbę wierszy i kolumn, czyli m = n.
• Jako wektor kolumnowy. Taka macierz ma n = 1, a rozmiar jest określony jako „m × 1”. Wszystkie liczby w nim są ponumerowane od góry do dołu: dwukropek (a₁ a₂ ... aₘ).
• Jako wektor wierszowy. Macierz podobna do poprzedniej, ale z m = 1 i rozmiarem „1 × n”. Liczby w nim są ponumerowane od lewej do prawej: rząd (a₁ a₂ ... aₙ).

Kolumny i wiersze są oznaczane dużymi literami (m, n), ale ogólnie każdą macierz można przedstawić jako K = M × N, nawet jeśli jedna z wartości jest równa jeden.

Istnieją również macierze transponowane, diagonalne, tożsamościowe i zerowe. W macierzy tożsamości wszystkie elementy są jednostkami; po pomnożeniu przez nią dowolna macierz pozostaje niezmieniona. W przypadku zera wszystkie wiersze i kolumny składają się z zer, każda macierz pozostaje niezmieniona po dodaniu do niej.