In de wiskunde worden vaak matrices gebruikt, geschreven in de vorm van rechthoekige tabellen, om systemen van lineaire vergelijkingen compact te schrijven. In deze tabellen komt het aantal rijen overeen met het aantal vergelijkingen en het aantal kolommen met het aantal onbekenden. Er zijn ook matrices in de vorm van ringen en velden: voor het schrijven van complexe en reële getallen.
Met behulp van matrixtabellen kunt u algebraïsche en differentiaalvergelijkingen oplossen, waardoor berekeningen worden gereduceerd tot bewerkingen op matrices, wat het proces enorm versnelt. Bovendien vereenvoudigt het de systematisering van grote data-arrays, inclusief die in elektronische computerapparatuur.
Geschiedenis van voorkomen
Historici schrijven de uitvinding van de eerste matrices toe aan de oude Chinezen. Meer dan 4000 jaar geleden, tijdens het bewind van keizer Yu de Grote, werden deze wiskundige objecten magische vierkanten genoemd, waarmee complexe berekeningen in een paar eenvoudige stappen konden worden uitgevoerd.
Volgens een oude Chinese legende werd het eerste magische vierkant met hiërogliefen ontdekt op het schild van een heilige schildpad die in 2200 voor Christus opdook uit de Gele Rivier. De matrix vond toepassing in handel en techniek en verspreidde zich vervolgens naar vele landen van het Oude Oosten. Tijdens de vroege middeleeuwen leerden ze erover in de Arabische landen, in de 11e eeuw - in India, in de 15e-16e eeuw - in Japan.
In Europa was het magische vierkant pas bekend aan het begin van de 15e-16e eeuw - dankzij de Byzantijnse schrijver Manuel Moskhopul, die het in zijn geschriften beschreef. In 1514 nam de Duitse schilder Albrecht Dürer een magisch vierkant op in zijn gravure "Melancholia". Hierop is onder andere een vierkant afgebeeld, in de centrale cellen waarvan de datum van creatie van de gravure is gegraveerd.
In de 16e eeuw raakten numerieke matrices wijdverspreid onder waarzeggers en astrologen, die het magische vierkant mystieke en helende eigenschappen gaven. Het is vaak te vinden op miniatuur zilvergravures uit die tijd, die hun eigenaars zogenaamd beschermden tegen de pest. Toen, in de 16e eeuw, werden er praktische toepassingen gevonden voor matrices in Europa. De Duitse filosoof Cornelius Heinrich Agrippa gebruikte ze om de beweging van de 7 planeten te beschrijven door vierkanten te construeren van de 3e tot de 9e orde.
In de 17e en 18e eeuw ging het onderzoek door en in 1751 publiceerde de Zwitserse wiskundige Gabriel Cramer een nieuwe manier om algebraïsche vergelijkingen op te lossen met behulp van matrices met nul hoofddeterminant, waaraan hij al tientallen jaren werkte.
Ongeveer tegelijkertijd werd de Gauss-methode voor het oplossen van een systeem van lineaire algebraïsche vergelijkingen gepubliceerd. Hoewel de naam tegenwoordig onlosmakelijk verbonden is met de naam van een Duitse wiskundige, is het auteurschap volgens historici niet van hem. Deze methode voor het berekenen van matrices was dus al 2000 jaar vóór het leven van Carl Friedrich Gauss bekend en werd in de 2e eeuw voor Christus gepresenteerd in het oude Chinese "Wiskunde in negen boeken".
Naarmate algebra en operationele calculus zich ontwikkelden, laaide de belangstelling voor matrices in de 19e en 20e eeuw met hernieuwde kracht op. Hun studie werd uitgevoerd door vooraanstaande wetenschappers van hun tijd: William Hamilton, Arthur Cayley en James Joseph Sylvester.
Tegen het midden van de 19e eeuw formuleerden ze eindelijk de regels voor het optellen en vermenigvuldigen van matrixtabellen, en tegen het begin van de 20e eeuw werd de theoretische basis uitgebreid door de studies van Karl Weierstrass en Ferdinand Georg Frobenius. Het is opmerkelijk dat de matrix pas in 1841 zijn moderne naam en aanduiding kreeg - dankzij de Engelse wiskundige Arthur Cayley.
Verschillende matrices
Een standaard rechthoekige matrix is een getallenreeks met m aantal rijen en n aantal kolommen. Alle elementen daarin zijn genummerd van links naar rechts en van boven naar beneden. De bovenste rij kan worden weergegeven als (a₁ a₂ a₃ ... aₙ) en de onderste rij als (aₘ₁ aₘ₂ aₘ₃ ... aₘₙ). De matrixgrootte wordt gespecificeerd als m × n, waarbij m en n natuurlijke getallen zijn.
Om het totale aantal elementen in de tabel te vinden, volstaat het om m te vermenigvuldigen met n: het aantal rijen met het aantal kolommen. Welke andere matrices bestaan er naast rechthoekig?
- Vierkant. Ze hebben hetzelfde aantal rijen en kolommen, dat wil zeggen m = n.
- Als een kolomvector. Zo'n matrix heeft n = 1, en de grootte wordt gespecificeerd als "m × 1". Alle getallen daarin zijn van boven naar beneden genummerd: dubbele punt (a₁ a₂ ... aₘ).
- Als een rijvector. Een matrix vergelijkbaar met de vorige, maar met m = 1 en grootte "1 × n". De cijfers daarin zijn genummerd van links naar rechts: rij (a₁ a₂ ... aₙ).
Kolommen en rijen worden aangeduid met hoofdletters (m, n), maar over het algemeen kan elke matrix worden weergegeven als K = M × N, zelfs als een van de waarden gelijk is aan één.
Er zijn ook getransponeerde, diagonale, identiteits- en nulmatrices. In de identiteitsmatrix zijn alle elementen eenheden; wanneer ze daarmee worden vermenigvuldigd, blijft elke matrix ongewijzigd. In nul bestaan alle rijen en kolommen uit nullen, elke matrix blijft onveranderd wanneer deze eraan wordt toegevoegd.
