Kalkulator matriks

Dalam matematik, untuk menulis padat sistem persamaan linear, matriks sering digunakan, ditulis dalam bentuk jadual segi empat tepat. Dalam jadual ini, bilangan baris sepadan dengan bilangan persamaan, dan bilangan lajur sepadan dengan bilangan yang tidak diketahui. Terdapat juga matriks dalam bentuk cincin dan medan: untuk menulis nombor kompleks dan nyata.

Dengan bantuan jadual matriks, anda boleh menyelesaikan persamaan algebra dan pembezaan, mengurangkan pengiraan kepada operasi pada matriks, yang sangat mempercepatkan proses. Selain itu, ia memudahkan pensisteman tatasusunan data yang besar, termasuk yang terdapat dalam peranti pengkomputeran elektronik.

Sejarah kejadian

Ahli sejarah mengaitkan penciptaan matriks pertama kepada orang Cina purba. Lebih daripada 4000 tahun yang lalu, semasa pemerintahan Maharaja Yu the Great, objek matematik ini dipanggil petak ajaib, dan membenarkan pengiraan yang rumit dilakukan dalam beberapa langkah mudah.

Menurut lagenda Cina purba, dataran ajaib pertama dengan hieroglif ditemui pada kulit kura-kura suci yang muncul dari Sungai Kuning pada 2200 SM. Matriks itu menemui aplikasi dalam perdagangan dan kejuruteraan, dan seterusnya merebak ke banyak negara di Timur Purba. Semasa awal Zaman Pertengahan, mereka mempelajarinya di negara-negara Arab, pada abad ke-11 - di India, pada abad ke-15-16 - di Jepun.

Di Eropah, dataran ajaib itu hanya diketahui pada permulaan abad ke-15-16 - terima kasih kepada penulis Byzantine Manuel Moskhopul, yang menerangkannya dalam tulisannya. Pada tahun 1514, pelukis Jerman Albrecht Dürer memasukkan persegi ajaib dalam ukirannya "Melancholia". Di atasnya, antara objek lain, segi empat sama digambarkan, di dalam sel tengah yang mana tarikh penciptaan ukiran itu tertulis.

Pada abad ke-16, matriks berangka telah tersebar luas di kalangan ahli nujum dan ahli nujum, yang memberikan sifat mistik dan penyembuhan kuasa dua ajaib. Ia sering dijumpai pada ukiran perak kecil pada masa itu, yang kononnya melindungi pemiliknya daripada wabak. Kemudian, pada abad ke-16, aplikasi praktikal ditemui untuk matriks di Eropah. Ahli falsafah Jerman Cornelius Heinrich Agrippa menggunakannya untuk menerangkan gerakan 7 planet dengan membina segi empat sama dari urutan ke-3 hingga ke-9.

Pada abad ke-17 dan ke-18, penyelidikan diteruskan, dan pada tahun 1751 ahli matematik Switzerland Gabriel Cramer menerbitkan cara baharu untuk menyelesaikan persamaan algebra menggunakan matriks dengan penentu utama sifar, yang telah diusahakannya selama beberapa dekad.

Pada masa yang sama, kaedah Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear telah diterbitkan. Walaupun hari ini namanya tidak dapat dipisahkan dengan nama ahli matematik Jerman, kepengarangan, menurut ahli sejarah, bukan miliknya. Jadi, kaedah pengiraan matriks ini diketahui 2000 tahun sebelum hayat Carl Friedrich Gauss, dan telah dibentangkan dalam bahasa Cina kuno "Matematik dalam Sembilan Buku" pada abad ke-2 SM.

Apabila algebra dan kalkulus operasi berkembang, minat terhadap matriks meningkat dengan semangat yang diperbaharui pada abad ke-19 dan ke-20. Kajian mereka telah dijalankan oleh saintis terkemuka pada zaman mereka: William Hamilton, Arthur Cayley dan James Joseph Sylvester.

Menjelang pertengahan abad ke-19, mereka akhirnya merumuskan peraturan untuk menambah dan mendarab jadual matriks, dan pada awal abad ke-20, asas teori telah diperluaskan oleh kajian Karl Weierstrass dan Ferdinand Georg Frobenius. Perlu diperhatikan bahawa matriks menerima nama moden dan penunjukannya hanya pada tahun 1841 - terima kasih kepada ahli matematik Inggeris Arthur Cayley.

Kepelbagaian matriks

Matriks segi empat tepat piawai ialah siri nombor dengan bilangan baris dan n bilangan lajur. Semua elemen di dalamnya dinomborkan dari kiri ke kanan dan dari atas ke bawah. Baris atas boleh diwakili sebagai (a₁ a₂ a₃ ... aₙ) dan baris bawah sebagai (aₘ₁ aₘ₂ aₘ₃ ... aₘₙ). Saiz matriks ditentukan sebagai m × n, dengan m dan n ialah nombor asli.

Oleh itu, untuk mengetahui jumlah bilangan elemen dalam jadual, cukup untuk mendarab m dengan n: bilangan baris dengan bilangan lajur. Apakah matriks lain yang wujud selain segi empat tepat?

• Petak. Mereka mempunyai bilangan baris dan lajur yang sama, iaitu, m = n.
• Sebagai vektor lajur. Matriks sedemikian mempunyai n = 1, dan saiznya ditentukan sebagai "m × 1". Semua nombor di dalamnya dinomborkan dari atas ke bawah: titik bertindih (a₁ a₂ ... aₘ).
• Sebagai vektor baris. Matriks yang serupa dengan yang sebelumnya, tetapi dengan m = 1 dan saiz "1 × n". Nombor di dalamnya dinomborkan dari kiri ke kanan: baris (a₁ a₂ ... aₙ).

Lajur dan baris dilambangkan dengan huruf besar (m, n), tetapi secara umum, setiap matriks boleh diwakili sebagai K = M × N, walaupun jika salah satu nilai sama dengan satu.

Terdapat juga matriks terpindah, pepenjuru, identiti dan sifar. Dalam matriks identiti, semua elemen adalah unit; apabila didarab dengannya, sebarang matriks kekal tidak berubah. Dalam sifar, semua baris dan lajur terdiri daripada sifar, setiap matriks kekal tidak berubah apabila ditambahkan padanya.