Matricas kalkulators

Matemātikā, lai kompakti rakstītu lineāro vienādojumu sistēmas, bieži izmanto matricas, kas rakstītas taisnstūra tabulu veidā. Šajās tabulās rindu skaits atbilst vienādojumu skaitam, bet kolonnu skaits - nezināmo. Ir arī matricas gredzenu un lauku formā: komplekso un reālo skaitļu rakstīšanai.

Ar matricu tabulu palīdzību jūs varat atrisināt algebriskos un diferenciālvienādojumus, reducējot aprēķinus līdz operācijām ar matricām, kas ievērojami paātrina procesu. Turklāt tas vienkāršo lielu datu masīvu sistematizēšanu, tostarp to, kas atrodas elektroniskajās skaitļošanas ierīcēs.

Notikumu vēsture

Vēsturnieki pirmo matricu izgudrošanu attiecina uz senajiem ķīniešiem. Pirms vairāk nekā 4000 gadiem, imperatora Ju Lielā valdīšanas laikā, šos matemātiskos objektus sauca par burvju kvadrātiem, un tie ļāva veikt sarežģītus aprēķinus, veicot dažas vienkāršas darbības.

Saskaņā ar seno ķīniešu leģendu pirmais maģiskais kvadrāts ar hieroglifiem tika atklāts uz svētā bruņurupuča čaumalas, kas 2200. gadā pirms mūsu ēras parādījās no Dzeltenās upes. Matrica atrada pielietojumu tirdzniecībā un inženierzinātnēs, un pēc tam izplatījās daudzās Seno Austrumu valstīs. Agro viduslaikos viņi par to uzzināja arābu valstīs, 11. gadsimtā - Indijā, 15.-16. gadsimtā - Japānā.

Eiropā maģiskais laukums bija zināms tikai 15.–16. gadsimta mijā, pateicoties bizantiešu rakstniekam Manuelam Moskopulam, kurš to aprakstīja savos rakstos. 1514. gadā vācu gleznotājs Albrehts Dīrers savā gravējumā "Melanholija" iekļāva burvju kvadrātu. Uz tā, starp citiem priekšmetiem, ir attēlots kvadrāts, kura centrālajās šūnās ir ierakstīts gravējuma tapšanas datums.

16. gadsimtā skaitliskās matricas kļuva plaši izplatītas zīlnieku un astrologu vidū, kas piešķīra burvju kvadrātam mistiskas un ārstnieciskas īpašības. To bieži var atrast uz miniatūrām tā laika sudraba gravējumiem, kas it kā pasargāja to īpašniekus no mēra. Tad, 16. gadsimtā, Eiropā tika atrasts praktisks pielietojums matricām. Vācu filozofs Kornēlijs Heinrihs Agripa tos izmantoja, lai aprakstītu 7 planētu kustību, veidojot kvadrātus no 3. līdz 9. secībai.

17. un 18. gadsimtā pētījumi turpinājās, un 1751. gadā Šveices matemātiķis Gabriels Krāmers publicēja jaunu veidu, kā atrisināt algebriskos vienādojumus, izmantojot matricas ar nulles galveno determinantu, pie kuras viņš bija strādājis vairākus gadu desmitus.

Apmēram tajā pašā laikā tika publicēta Gausa metode lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas atrisināšanai. Lai gan mūsdienās tā nosaukums ir nesaraujami saistīts ar vācu matemātiķa vārdu, autorība, pēc vēsturnieku domām, viņam nepieder. Tātad šī matricu aprēķināšanas metode bija zināma 2000 gadus pirms Kārļa Frīdriha Gausa dzīves un tika prezentēta senās Ķīnas “Matemātika deviņās grāmatās” 2. gadsimtā pirms mūsu ēras.

Attīstoties algebrai un operatīvajiem aprēķiniem, interese par matricām 19. un 20. gadsimtā uzliesmoja ar jaunu sparu. Viņu pētījumu veica ievērojami sava laika zinātnieki: Viljams Hamiltons, Arturs Keilijs un Džeimss Džozefs Silvestrs.

Līdz 19. gadsimta vidum viņi beidzot formulēja matricu tabulu saskaitīšanas un reizināšanas noteikumus, un līdz 20. gadsimta sākumam teorētisko bāzi paplašināja Karla Veierštrāsa un Ferdinanda Georga Frobeniusa pētījumi. Zīmīgi, ka matrica savu mūsdienu nosaukumu un apzīmējumu saņēma tikai 1841. gadā – pateicoties angļu matemātiķim Artūram Keilijam.

Matricu šķirnes

Standarta taisnstūra matrica ir skaitļu sērija ar m rindu skaitu un n kolonnu skaitu. Visi elementi tajā ir numurēti no kreisās uz labo un no augšas uz leju. Augšējo rindu var attēlot kā (a₁ a₂ a₃ ... aₙ) un apakšējo rindu kā (aₘ₁ aₘ₂ aₘ₃ ... aₘₙ). Matricas lielums ir norādīts kā m × n, kur m un n ir naturāli skaitļi.

Attiecīgi, lai uzzinātu kopējo elementu skaitu tabulā, pietiek ar m reizināšanu ar n: rindu skaitu ar kolonnu skaitu. Kādas citas matricas pastāv, izņemot taisnstūrveida?

Kvadrāts. Tiem ir vienāds rindu un kolonnu skaits, tas ir, m = n.
Kā kolonnas vektors. Šādai matricai ir n = 1, un izmērs ir norādīts kā "m × 1". Visi tajā esošie skaitļi ir numurēti no augšas uz leju: kols (a₁ a₂ ... aₘ).
Kā rindas vektors. Matrica, kas līdzīga iepriekšējai, bet ar m = 1 un izmēru "1 × n". Tajā esošie skaitļi ir numurēti no kreisās puses uz labo: rinda (a₁ a₂ ... aₙ).

Slejas un rindas ir apzīmētas ar lielajiem burtiem (m, n), bet kopumā katru matricu var attēlot kā K = M × N, pat ja viena no vērtībām ir vienāda ar vienu.

Ir arī transponētās, diagonālās, identitātes un nulles matricas. Identitātes matricā visi elementi ir vienības; reizinot ar to, jebkura matrica paliek nemainīga. Ja ir nulle, visas rindas un kolonnas sastāv no nullēm, katra matrica paliek nemainīga, kad tā tiek pievienota.

Matricas reizināšanas kalkulators

Tāpat kā ar lielāko daļu citu matemātisko objektu, ar matricām var manipulēt ar saskaitīšanu un atņemšanu, reizināšanu un dalīšanu. Šim nolūkam ir noteikumi un formulas, ko 17.–19. gadsimtā radījuši zinātnieki.

Matricas darbības

Papildināšanas darbības

Jebkuru matricu ar m rindām un n kolonnām var attēlot kā K = m × n. Ja operācijā tiek iesaistītas vairākas matricas vienlaikus, tām tiek piešķirti lielie alfabētiskie burti: A, B, C utt. Lai viena otrai pievienotu vienādas secības matricas tabulas A un B, ir jāpievieno visi to elementi rindās. m un kolonnas n savukārt . Tas nozīmē, ka galīgajā matricā C katrs elements būs vienāds ar:

сₘₙ = aₘₙ + bₘₙ.

Tā kā papildus tiek izmantotas lineārās telpas aksiomas, spēkā kļūst teorēma, saskaņā ar kuru visu vienāda izmēra matricu kopa ar elementiem no lauka P veido lineāru telpu virs lauka P. Citiem vārdiem sakot, katra šāda matrica ir šīs telpas (P) virzīts vektors. Veicot saskaitīšanas darbības, jāņem vērā divas galvenās matricu īpašības:

Komutativitāte — A + B = B + A.
Asociativitāte — (A + B) + C = A + (B + C).

Ja pievienojam parastu matricu ar nulles vienu (kurā visi elementi ir nulles), mēs iegūstam izteiksmi: A + Ø = Ø + A = A. Un, pievienojot to pretējai matricai, mēs iegūstam nulle viens: A + (−A) = Ø.

Ciparu reizināšana

Matricu var reizināt ar skaitli un citu matricu. Pirmajā gadījumā katrs elements no m rindām un n kolonnām tiek reizināts ar skaitli. Ja apzīmējam skaitli ar burtu λ un matricu ar burtu A, iegūstam izteiksmi:

A × λ = λ × aₘₙ.

Reizināšanas laikā tiek ņemtas vērā šādas matricu īpašības:

Asociativitāte — λ × β × A = λ × (β × A).
Ciparu sadalījums — (λ + β) × A = λ × A + β × A.
Matricas sadalījums — λ × (A + B) = λ × A + λ × B.

Reizinot ar vienu, visi tabulas elementi paliek nemainīgi, un, reizinot ar nulli, tie pārvēršas par nullēm.

Matricas reizināšana

Otrais reizināšanas variants - viena matrica ar citu, piemēram - A × B. Matricā C, kas iegūta pēc to reizināšanas, katrs elements būs vienāds ar atbilstošās rindas elementu reizinājumu summu. pirmais faktors un otrā sleja. Šis noteikums ir spēkā tikai tad, ja A un B ir proporcionāli, tas ir, tiem ir vienāds m rindu un n kolonnu skaits. Ja m × n un n × k matricas tiek reizinātas, galīgās matricas C izmērs būs m × k. Tāpat kā skaitļu gadījumā, reizinot, jāņem vērā matricu īpašības:

Asociativitāte — (A × B) × C = A × (B × C).
Nekommutativitāte — A × B ≠ B × A;
Sadales — (A + B) × C = A × C + B × C.

Komutativitāte tiek saglabāta tikai tad, ja to reizina ar identitātes matricu I: A × I = I × A = A. Un, reizinot ar skaitli λ, identitāte tiek saglabāta: (λ × A) × B = A × (λ × B) = λ × (A × B). Taisnstūra/kvadrātveida matricu var arī reizināt ar rindas vektoru un kolonnu vektoru. Pirmais ir rakstīts pa kreisi no tā, bet otrais ir rakstīts pa labi: ar sekojošu elementu reizināšanu.

Kur tiek izmantotas matricas

Visredzamākais matricu izmantošanas piemērs matemātikā (un ikdienas dzīvē) ir reizināšanas tabula. Tas nav nekas vairāk kā vektoru matricu reizinājums ar elementiem no 1 līdz 9. Šis princips ir raksturīgs visu skaitļošanas ierīču darbībai, kas strādā ar plakanām un trīsdimensiju figūrām.

Šķidro kristālu monitora matrica ir tāda tiešā nozīmē, un katrs elements tajā ir pikselis ar skaitlisku vērtību, no kuras ir atkarīgs tā nokrāsa un spilgtums. Plaši tiek izmantotas arī matricas:

Fizikā kā līdzeklis datu un to transformāciju reģistrēšanai.
Programmēšanā, lai aprakstītu un sakārtotu datu masīvus.
Psiholoģijā testu rakstīšanai par psiholoģisko objektu savietojamību.

Mūsdienās matricas tabulas tiek izmantotas pat ekonomikā un mārketingā, kā arī ķīmijā un bioloģijā. Lai veiktu darbības ar augstas kārtas matricām, ir nepieciešama liela skaitļošanas jauda. Domā vai uz papīra šādu aprēķinu veikšana ir pārāk sarežģīta un laikietilpīga, tāpēc ir izstrādāti ērti un ērti lietojami tiešsaistes kalkulatori.

Tie ļaus tiešsaistē veikt visas pamata darbības: reizināšanu, determinantu atrašanu, transponēšanu, paaugstināšanu līdz pakāpei, rangu atrašanu, apgriezto matricu atrašanu utt. Vienkārši ievadiet vērtības tabulas tukšajos laukos. , nospiediet vajadzīgo pogu, un aprēķins tiks veikts sekunžu daļās.

Matricas kalkulators

Citi rīki