Matricų skaičiuoklė

Matematikoje, norint kompaktiškai parašyti tiesinių lygčių sistemas, dažnai naudojamos matricos, parašytos stačiakampių lentelių pavidalu. Šiose lentelėse eilučių skaičius atitinka lygčių skaičių, o stulpelių skaičius – nežinomųjų skaičių. Taip pat yra žiedų ir laukų formos matricų: kompleksiniams ir realiiesiems skaičiams rašyti.

Matricinių lentelių pagalba galite išspręsti algebrines ir diferencialines lygtis, sumažindami skaičiavimus iki operacijų su matricomis, o tai labai pagreitina procesą. Be to, tai supaprastina didelių duomenų masyvų, įskaitant esančius elektroniniuose skaičiavimo įrenginiuose, sisteminimą.

Įvykio istorija

Istorikai priskiria pirmųjų matricų išradimą senovės kinams. Daugiau nei prieš 4000 metų, valdant imperatoriui Yu Didžiajam, šie matematiniai objektai buvo vadinami stebuklingais kvadratais ir leido atlikti sudėtingus skaičiavimus keliais paprastais žingsniais.

Pagal senovės kinų legendą, pirmasis stebuklingas kvadratas su hieroglifais buvo aptiktas ant švento vėžlio kiauto, iškilusio iš Geltonosios upės 2200 m. prieš Kristų. Matrica buvo pritaikyta prekyboje ir inžinerijoje, o vėliau išplito daugelyje Senovės Rytų šalių. Ankstyvaisiais viduramžiais jie apie tai sužinojo arabų šalyse, XI amžiuje - Indijoje, 15-16 a. - Japonijoje.

Europoje stebuklinga aikštė buvo žinoma tik XV–XVI amžių sandūroje – dėka Bizantijos rašytojo Manuelio Moskhopulio, kuris ją aprašė savo raštuose. 1514 metais vokiečių tapytojas Albrechtas Diureris į savo graviūrą „Melancholija“ įtraukė magišką kvadratą. Ant jo, be kitų objektų, pavaizduotas kvadratas, kurio centrinėse ląstelėse įrašyta graviūros sukūrimo data.

XVI amžiuje skaitinės matricos plačiai paplito tarp būrėjų ir astrologų, kurios suteikė magiškam kvadratui mistinių ir gydomųjų savybių. Jį dažnai galima rasti ant miniatiūrinių to meto sidabro graviūrų, kurios tariamai saugojo savininkus nuo maro. Tada, XVI amžiuje, Europoje buvo rasti praktiniai matricų pritaikymai. Vokiečių filosofas Kornelijus Heinrichas Agrippa juos panaudojo apibūdindamas 7 planetų judėjimą, sukonstruodamas kvadratus nuo 3 iki 9 eilės.

XVII ir XVIII amžiais tyrimai buvo tęsiami, o 1751 m. šveicarų matematikas Gabrielis Crameris paskelbė naują algebrinių lygčių sprendimo būdą, naudodamas matricas su nuliniu pagrindiniu determinantu, kurį jis dirbo kelis dešimtmečius.

Maždaug tuo pačiu metu buvo paskelbtas Gauso metodas, skirtas tiesinių algebrinių lygčių sistemai išspręsti. Nors šiandien jos pavadinimas neatsiejamai siejamas su vokiečių matematiko vardu, autorystė, pasak istorikų, jam nepriklauso. Taigi, šis matricų skaičiavimo metodas buvo žinomas 2000 metų prieš Carlo Friedricho Gauso gyvenimą ir buvo pristatytas senovės kinų „Matematika devyniose knygose“ II amžiuje prieš Kristų.

Tobulėjant algebrai ir operaciniam skaičiavimui, XIX ir XX amžiais susidomėjimas matricomis suaktyvėjo. Jų tyrimą atliko žymūs savo laiko mokslininkai: Williamas Hamiltonas, Arthuras Cayley ir Jamesas Josephas Sylvesteris.

XIX amžiaus viduryje jie pagaliau suformulavo matricinių lentelių sudėties ir dauginimo taisykles, o XX amžiaus pradžioje teorinę bazę išplėtė Karlo Weierstrasso ir Ferdinando Georgo Frobeniaus studijos. Pastebėtina, kad šiuolaikinį pavadinimą ir pavadinimą matrica gavo tik 1841 m. – dėka anglų matematiko Arthuro Cayley.

Matricų atmainos

Standartinė stačiakampė matrica yra skaičių serija su m eilučių ir n stulpelių skaičiumi. Visi jame esantys elementai sunumeruoti iš kairės į dešinę ir iš viršaus į apačią. Viršutinę eilutę galima pavaizduoti kaip (a₁ a₂ a₃ ... aₙ), o apatinę - kaip (aₘ₁ aₘ₂ aₘ₃ ... aₘₙ). Matricos dydis nurodomas kaip m × n, kur m ir n yra natūralūs skaičiai.

Atitinkamai, norint sužinoti bendrą lentelės elementų skaičių, pakanka m padauginti iš n: eilučių skaičių iš stulpelių skaičiaus. Kokios kitos matricos, be stačiakampės, egzistuoja?

Kvadratas. Juose yra tiek pat eilučių ir stulpelių, ty m = n.
Kaip stulpelio vektorius. Tokios matricos n = 1, o dydis nurodytas kaip "m × 1". Visi jame esantys skaičiai sunumeruoti iš viršaus į apačią: dvitaškis (a₁ a₂ ... aₘ).
Kaip eilutės vektorius. Matrica, panaši į ankstesnę, bet kurios m = 1 ir dydis "1 × n". Jame esantys skaičiai sunumeruoti iš kairės į dešinę: eilutė (a₁ a₂ ... aₙ).

Stulpeliai ir eilutės žymimos didžiosiomis raidėmis (m, n), tačiau paprastai kiekviena matrica gali būti pavaizduota kaip K = M × N, net jei viena iš reikšmių yra lygi vienetui.

Taip pat yra transponuotos, įstrižainės, tapatybės ir nulinės matricos. Tapatybės matricoje visi elementai yra vienetai, iš jos padauginus bet kuri matrica lieka nepakitusi. Nulis visos eilutės ir stulpeliai susideda iš nulių, kiekviena matrica lieka nepakitusi, kai pridedama prie jos.

Matricos daugybos skaičiuoklė

Kaip ir su daugeliu kitų matematinių objektų, matricomis galima manipuliuoti sudėjus ir atimant, dauginant ir dalijant. Tam yra taisyklės ir formulės, kurias išvedė XVII–XIX a. mokslininkai.

Matricos operacijos

Papildymo operacijos

Bet kuri matrica su m eilučių ir n stulpelių gali būti pavaizduota kaip K = m × n. Jei operacijoje vienu metu dalyvauja kelios matricos, joms priskiriamos abėcėlės didžiosios raidės: A, B, C ir tt Norėdami pridėti viena prie kitos tos pačios eilės matricų lenteles A ir B, turite pridėti visus jų elementus eilutėse m ir n stulpeliai paeiliui . Tai reiškia, kad galutinėje matricoje C kiekvienas elementas bus lygus:

сₘₙ = aₘₙ + bₘₙ.

Kadangi tiesinės erdvės aksiomos naudojamos papildomai, galioja teorema, pagal kurią visų vienodo dydžio matricų aibė su elementais iš lauko P sudaro tiesinę erdvę virš lauko P. Kitaip tariant, kiekviena tokia matrica yra šios erdvės (P) nukreiptas vektorius. Atliekant sudėjimo operacijas, reikia atsižvelgti į dvi pagrindines matricų savybes:

Komutaciškumas – A + B = B + A.
Asociatyvumas – (A + B) + C = A + (B + C).

Jei pridėsime įprastą matricą su nuliu vienetu (kurioje visi elementai yra nuliai), gausime išraišką: A + Ø = Ø + A = A. Ir pridėję ją prie priešingos matricos, gausime nulis vienas: A + (−A) = Ø.

Skaičių daugyba

Matricą galima padauginti iš skaičiaus ir kitos matricos. Pirmuoju atveju kiekvienas elementas iš m eilučių ir n stulpelių paeiliui padauginamas iš skaičiaus. Jei skaičių pažymėsime raide λ, o matricą – raide A, gausime išraišką:

A × λ = λ × aₘₙ.

Dauginant atsižvelgiama į šias matricų savybes:

Asociatyvumas – λ × β × A = λ × (β × A).
Skaičių pasiskirstymas – (λ + β) × A = λ × A + β × A.
Matricos pasiskirstymas – λ × (A + B) = λ × A + λ × B.

Padauginus iš vieneto, visi lentelės elementai lieka nepakitę, o padauginus iš nulio, jie virsta nuliais.

Matricos daugyba

Antrasis daugybos variantas – viena matrica iš kitos, pavyzdžiui – A × B. Matricoje C, gautoje po jų padauginimo, kiekvienas elementas bus lygus atitinkamos eilutės elementų sandaugų sumai. pirmasis veiksnys ir antrojo stulpelis. Ši taisyklė galioja tik tuo atveju, jei A ir B yra proporcingi, tai yra, jie turi tiek pat m eilučių ir n stulpelių. Padauginus m × n ir n × k matricas, galutinės matricos C matmuo bus m × k. Kaip ir skaičių atveju, dauginant reikia atsižvelgti į matricų savybes:

Asociatyvumas – (A × B) × C = A × (B × C).
Nekomutatyvumas – A × B ≠ B × A;
Paskirstymas – (A + B) × C = A × C + B × C.

Komutatyvumas išsaugomas tik padauginus iš tapatybės matricos I: A × I = I × A = A. O padauginus iš skaičiaus λ, tapatybė išsaugoma: (λ × A) × B = A × (λ × B) = λ × (A × B). Stačiakampę/kvadratinę matricą taip pat galima padauginti iš eilutės vektoriaus ir stulpelio vektoriaus. Pirmasis rašomas jo kairėje, o antrasis – dešinėje: su vėlesniu elementų dauginimu.

Kur naudojamos matricos

Akivaizdžiausias matricų naudojimo matematikoje (ir kasdieniame gyvenime) pavyzdys yra daugybos lentelė. Tai ne kas kita, kaip vektorinių matricų su elementais nuo 1 iki 9 sandauga. Šis principas būdingas visų skaičiavimo įrenginių, kurie dirba su plokščiomis ir trimatėmis figūromis, veikimui.

Skystųjų kristalų monitoriaus matrica yra tokia tiesiogine prasme, o kiekvienas jos elementas yra pikselis su skaitine verte, nuo kurios priklauso jo atspalvis ir ryškumas. Taip pat plačiai naudojamos matricos:

Fizikoje, kaip duomenų ir jų transformacijų įrašymo priemonė.
Programuojant, apibūdinti ir tvarkyti duomenų masyvus.
Psichologijoje už psichologinių objektų suderinamumo testų rašymą.

Šiandien matricos lentelės naudojamos net ekonomikoje ir rinkodaroje, taip pat chemijoje ir biologijoje. Norint atlikti operacijas su aukštos eilės matricomis, reikia daug skaičiavimo galios. Mintyse ar popieriuje atlikti tokius skaičiavimus yra per sunku ir atima daug laiko, todėl buvo sukurti patogūs ir lengvai naudojami internetiniai skaičiuotuvai.

Jie leis atlikti visas pagrindines operacijas internete: daugyba, determinantų paieška, perkėlimas, kėlimas į laipsnį, rangų paieška, atvirkštinių matricų radimas ir kt. Tiesiog įveskite reikšmes tuščiuose lentelės laukeliuose. , paspauskite norimą mygtuką ir skaičiavimas bus atliktas sekundžių dalimis.

Matricų skaičiuoklė

Kiti įrankiai