Matematikoje, norint kompaktiškai parašyti tiesinių lygčių sistemas, dažnai naudojamos matricos, parašytos stačiakampių lentelių pavidalu. Šiose lentelėse eilučių skaičius atitinka lygčių skaičių, o stulpelių skaičius – nežinomųjų skaičių. Taip pat yra žiedų ir laukų formos matricų: kompleksiniams ir realiiesiems skaičiams rašyti.
Matricinių lentelių pagalba galite išspręsti algebrines ir diferencialines lygtis, sumažindami skaičiavimus iki operacijų su matricomis, o tai labai pagreitina procesą. Be to, tai supaprastina didelių duomenų masyvų, įskaitant esančius elektroniniuose skaičiavimo įrenginiuose, sisteminimą.
Įvykio istorija
Istorikai priskiria pirmųjų matricų išradimą senovės kinams. Daugiau nei prieš 4000 metų, valdant imperatoriui Yu Didžiajam, šie matematiniai objektai buvo vadinami stebuklingais kvadratais ir leido atlikti sudėtingus skaičiavimus keliais paprastais žingsniais.
Pagal senovės kinų legendą, pirmasis stebuklingas kvadratas su hieroglifais buvo aptiktas ant švento vėžlio kiauto, iškilusio iš Geltonosios upės 2200 m. prieš Kristų. Matrica buvo pritaikyta prekyboje ir inžinerijoje, o vėliau išplito daugelyje Senovės Rytų šalių. Ankstyvaisiais viduramžiais jie apie tai sužinojo arabų šalyse, XI amžiuje - Indijoje, 15-16 a. - Japonijoje.
Europoje stebuklinga aikštė buvo žinoma tik XV–XVI amžių sandūroje – dėka Bizantijos rašytojo Manuelio Moskhopulio, kuris ją aprašė savo raštuose. 1514 metais vokiečių tapytojas Albrechtas Diureris į savo graviūrą „Melancholija“ įtraukė magišką kvadratą. Ant jo, be kitų objektų, pavaizduotas kvadratas, kurio centrinėse ląstelėse įrašyta graviūros sukūrimo data.
XVI amžiuje skaitinės matricos plačiai paplito tarp būrėjų ir astrologų, kurios suteikė magiškam kvadratui mistinių ir gydomųjų savybių. Jį dažnai galima rasti ant miniatiūrinių to meto sidabro graviūrų, kurios tariamai saugojo savininkus nuo maro. Tada, XVI amžiuje, Europoje buvo rasti praktiniai matricų pritaikymai. Vokiečių filosofas Kornelijus Heinrichas Agrippa juos panaudojo apibūdindamas 7 planetų judėjimą, sukonstruodamas kvadratus nuo 3 iki 9 eilės.
XVII ir XVIII amžiais tyrimai buvo tęsiami, o 1751 m. šveicarų matematikas Gabrielis Crameris paskelbė naują algebrinių lygčių sprendimo būdą, naudodamas matricas su nuliniu pagrindiniu determinantu, kurį jis dirbo kelis dešimtmečius.
Maždaug tuo pačiu metu buvo paskelbtas Gauso metodas, skirtas tiesinių algebrinių lygčių sistemai išspręsti. Nors šiandien jos pavadinimas neatsiejamai siejamas su vokiečių matematiko vardu, autorystė, pasak istorikų, jam nepriklauso. Taigi, šis matricų skaičiavimo metodas buvo žinomas 2000 metų prieš Carlo Friedricho Gauso gyvenimą ir buvo pristatytas senovės kinų „Matematika devyniose knygose“ II amžiuje prieš Kristų.
Tobulėjant algebrai ir operaciniam skaičiavimui, XIX ir XX amžiais susidomėjimas matricomis suaktyvėjo. Jų tyrimą atliko žymūs savo laiko mokslininkai: Williamas Hamiltonas, Arthuras Cayley ir Jamesas Josephas Sylvesteris.
XIX amžiaus viduryje jie pagaliau suformulavo matricinių lentelių sudėties ir dauginimo taisykles, o XX amžiaus pradžioje teorinę bazę išplėtė Karlo Weierstrasso ir Ferdinando Georgo Frobeniaus studijos. Pastebėtina, kad šiuolaikinį pavadinimą ir pavadinimą matrica gavo tik 1841 m. – dėka anglų matematiko Arthuro Cayley.
Matricų atmainos
Standartinė stačiakampė matrica yra skaičių serija su m eilučių ir n stulpelių skaičiumi. Visi jame esantys elementai sunumeruoti iš kairės į dešinę ir iš viršaus į apačią. Viršutinę eilutę galima pavaizduoti kaip (a₁ a₂ a₃ ... aₙ), o apatinę - kaip (aₘ₁ aₘ₂ aₘ₃ ... aₘₙ). Matricos dydis nurodomas kaip m × n, kur m ir n yra natūralūs skaičiai.
Atitinkamai, norint sužinoti bendrą lentelės elementų skaičių, pakanka m padauginti iš n: eilučių skaičių iš stulpelių skaičiaus. Kokios kitos matricos, be stačiakampės, egzistuoja?
- Kvadratas. Juose yra tiek pat eilučių ir stulpelių, ty m = n.
- Kaip stulpelio vektorius. Tokios matricos n = 1, o dydis nurodytas kaip "m × 1". Visi jame esantys skaičiai sunumeruoti iš viršaus į apačią: dvitaškis (a₁ a₂ ... aₘ).
- Kaip eilutės vektorius. Matrica, panaši į ankstesnę, bet kurios m = 1 ir dydis "1 × n". Jame esantys skaičiai sunumeruoti iš kairės į dešinę: eilutė (a₁ a₂ ... aₙ).
Stulpeliai ir eilutės žymimos didžiosiomis raidėmis (m, n), tačiau paprastai kiekviena matrica gali būti pavaizduota kaip K = M × N, net jei viena iš reikšmių yra lygi vienetui.
Taip pat yra transponuotos, įstrižainės, tapatybės ir nulinės matricos. Tapatybės matricoje visi elementai yra vienetai, iš jos padauginus bet kuri matrica lieka nepakitusi. Nulis visos eilutės ir stulpeliai susideda iš nulių, kiekviena matrica lieka nepakitusi, kai pridedama prie jos.
