행렬 계산기

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행렬 계산기

수학에서 선형 방정식 시스템을 간결하게 작성하기 위해 직사각형 테이블 형식으로 작성된 행렬이 자주 사용됩니다. 이 표에서 행의 수는 방정식의 수에 해당하고 열의 수는 미지수의 수에 해당합니다. 복소수 및 실수를 작성하기 위한 링 및 필드 형태의 행렬도 있습니다.

행렬 테이블의 도움으로 대수 및 미분 방정식을 풀 수 있어 계산을 행렬 연산으로 줄여 프로세스 속도를 크게 높일 수 있습니다. 또한 전자 컴퓨팅 장치를 포함하여 대규모 데이터 배열의 체계화를 단순화합니다.

발생 이력

역사가들은 첫 번째 매트릭스의 발명을 고대 중국인들에게 돌립니다. 4,000여 년 전 우대제(Yu the Great) 통치 기간에 이러한 수학적 대상을 마방진이라고 불렀으며 몇 가지 간단한 단계로 복잡한 계산을 수행할 수 있었습니다.

고대 중국 전설에 따르면 기원전 2200년 황하에서 수면 위로 올라온 성스러운 거북의 껍데기에서 상형문자가 있는 최초의 마방진이 발견되었습니다. 이 매트릭스는 무역 및 공학에 적용되었으며 이후 고대 동양의 많은 국가로 퍼졌습니다. 중세 초기에 그들은 아랍 국가, 11세기, 인도, 15-16세기, 일본에서 그것에 대해 배웠습니다.

유럽에서 마방진은 15~16세기 초에야 알려졌다. 1514년 독일 화가 Albrecht Dürer는 그의 판화 "Melancholia"에 마방진을 포함시켰습니다. 그 위에는 다른 물체들 사이에 사각형이 그려져 있으며 중앙 셀에는 판화 제작 날짜가 새겨져 있습니다.

16세기에 수치 행렬은 점쟁이와 점성가들 사이에서 널리 퍼지게 되었으며, 이들은 마법진에 신비롭고 치유적인 속성을 부여했습니다. 전염병으로부터 주인을 보호했다고 추정되는 당시의 미니어처 은화에서 종종 찾을 수 있습니다. 그런 다음 16세기에 유럽에서 매트릭스에 대한 실용적인 응용 프로그램이 발견되었습니다. 독일 철학자 Cornelius Heinrich Agrippa는 3차에서 9차까지의 정사각형을 구성하여 7개 행성의 운동을 설명하는 데 이를 사용했습니다.

17세기와 18세기에도 연구가 계속되었고, 1751년 스위스 수학자 가브리엘 크레이머는 수십 년 동안 연구해 온 제로 주결정 행렬을 사용하여 대수 방정식을 푸는 새로운 방법을 발표했습니다.

거의 동시에 선형 대수 방정식 시스템을 풀기 위한 가우스 방법이 발표되었습니다. 오늘날 그 이름은 독일 수학자의 이름과 불가분의 관계가 있지만 역사가에 따르면 저자는 그에게 속하지 않습니다. 따라서 이 행렬 계산 방법은 칼 프리드리히 가우스보다 2000년 전에 알려졌으며 기원전 2세기 고대 중국의 "9권의 수학"에 제시되었습니다.

대수학 및 연산 미적분학이 발전함에 따라 행렬에 대한 관심이 19세기와 20세기에 다시 활기를 띠며 불타올랐습니다. 그들의 연구는 당대의 저명한 과학자인 윌리엄 해밀턴, 아서 케일리, 제임스 조셉 실베스터에 의해 수행되었습니다.

19세기 중반까지 그들은 마침내 행렬 표의 덧셈과 곱셈에 대한 규칙을 공식화했고, 20세기 초에는 Karl Weierstrass와 Ferdinand Georg Frobenius의 연구에 의해 이론적 기반이 확장되었습니다. 영국 수학자 Arthur Cayley 덕분에 매트릭스가 1841년에야 현대적인 이름과 지정을 받았다는 점은 주목할 만합니다.

다양한 행렬

표준 직사각형 행렬은 m개의 행과 n개의 열을 갖는 숫자 시리즈입니다. 그 안의 모든 요소는 왼쪽에서 오른쪽으로, 위에서 아래로 번호가 매겨집니다. 상단 행은 (a₁ a₂ a₃ ... aₙ)로, 하단 행은 (aₘ₁ aₘ₂ aₘ₃ ... aₘₙ)로 나타낼 수 있습니다. 행렬 크기는 m × n으로 지정되며, 여기서 m과 n은 자연수입니다.

따라서 테이블의 총 요소 수를 알아보려면 m에 n(행 수 x 열 수)을 곱하면 됩니다. 직사각형 외에 어떤 다른 행렬이 있습니까?

정사각형. 동일한 수의 행과 열을 가집니다. 즉, m = n입니다.
열 벡터로. 이러한 행렬은 n = 1이고 크기는 "m × 1"로 지정됩니다. 모든 숫자는 콜론(a₁ a₂ ... aₘ)과 같이 위에서 아래로 번호가 매겨집니다.
행 벡터로. 이전 행렬과 유사하지만 m = 1이고 크기는 "1 × n"인 행렬입니다. 그 안의 숫자는 왼쪽에서 오른쪽으로 번호가 매겨집니다: 행(a₁ a₂ ... aₙ).

열과 행은 대문자(m, n)로 나타내지만, 일반적으로 각 행렬은 값 중 하나가 1과 같더라도 K=M×N으로 나타낼 수 있습니다.

전치행렬, 대각선행렬, 항등행렬, 영행렬도 있습니다. 항등 행렬에서 모든 요소는 단위이며 곱하면 모든 행렬이 변경되지 않습니다. 0에서 모든 행과 열은 0으로 구성되며 각 매트릭스는 추가될 때 변경되지 않습니다.

행렬 곱셈 계산기

대부분의 다른 수학적 객체와 마찬가지로 행렬도 덧셈과 뺄셈, 곱셈과 나눗셈으로 조작할 수 있습니다. 이를 위해 17~19세기 과학자들이 도출한 규칙과 공식이 있습니다.

매트릭스 작업

추가 작업

m개의 행과 n개의 열을 가진 행렬은 K = m × n으로 나타낼 수 있습니다. 여러 행렬이 한 번에 작업에 관련된 경우 A, B, C 등의 알파벳 대문자가 할당됩니다. 동일한 순서의 행렬 테이블 A와 B를 서로 추가하려면 모든 요소를 행에 추가해야 합니다. m 및 열 n 차례로 . 즉, 최종 행렬 C에서 각 요소는 다음과 같습니다.

сₘₙ = aₘₙ + bₘₙ.

선형 공간의 공리가 추가로 사용되기 때문에, 필드 P의 요소를 포함하는 동일한 크기의 모든 행렬 집합이 필드 P에 선형 공간을 형성한다는 정리가 유효해집니다. 즉, 이러한 각 행렬은 이 공간(P)의 방향 벡터입니다. 덧셈 연산을 수행할 때 행렬의 두 가지 주요 속성을 고려해야 합니다.

교환성 - A + B = B + A.
연관성 - (A + B) + C = A + (B + C).

0이 1인 일반 행렬(모든 요소가 0인)을 추가하면 A + Ø = Ø + A = A라는 식을 얻습니다. 그리고 반대 행렬에 추가하면 영일: A + (−A) = Ø.

숫자 곱셈

행렬은 숫자와 다른 행렬로 곱해질 수 있습니다. 첫 번째 경우 m행 n열의 각 요소에 차례로 숫자를 곱합니다. 문자 λ로 숫자를 표시하고 문자 A로 행렬을 표시하면 다음과 같은 표현식을 얻습니다.

A × λ = λ × aₘₙ.

곱하기 동안 행렬의 다음 속성이 고려됩니다.

결합성 - λ × β × A = λ × (β × A).
숫자 분포 - (λ + β) × A = λ × A + β × A.
행렬 분포 - λ × (A + B) = λ × A + λ × B.

1을 곱하면 테이블의 모든 요소가 변경되지 않고 0을 곱하면 0이 됩니다.

행렬 곱셈

곱셈의 두 번째 변형 - 하나의 행렬을 다른 행렬로, 예를 들어 - A × B. 곱셈 후 얻은 행렬 C에서 각 요소는 해당 행의 요소 곱의 합과 같습니다. 첫 번째 요소와 두 번째 열. 이 규칙은 A와 B가 비례하는 경우에만 유효합니다. 즉, m행과 n열의 수가 같은 경우에만 유효합니다. m × n 및 n × k 행렬을 곱하면 최종 행렬 C의 차원은 m × k가 됩니다. 숫자의 경우와 마찬가지로 곱셈을 할 때는 행렬의 속성을 고려해야 합니다.

연관성 - (A × B) × C = A × (B × C).
비교환성 - A × B ≠ B × A;
분배 - (A + B) × C = A × C + B × C.

교환성은 항등행렬 I를 곱할 때만 보존됩니다: A × I = I × A = A. 그리고 숫자 λ를 곱하면 항등성이 보존됩니다: (λ × A) × B = A × (λ × B) = λ × (A×B). 직사각형/정사각 행렬은 행 벡터와 열 벡터로 곱할 수도 있습니다. 첫 번째는 왼쪽에 기록되고 두 번째는 오른쪽에 기록됩니다. 이후에 요소가 곱해집니다.

행렬이 사용되는 곳

수학(및 일상 생활)에서 행렬을 사용하는 가장 분명한 예는 구구단입니다. 그것은 1에서 9까지의 요소를 가진 벡터 행렬의 곱에 지나지 않습니다. 이 원칙은 평면 및 3차원 도형을 다루는 모든 컴퓨팅 장치의 작동에 내재되어 있습니다.

액정 모니터의 매트릭스는 말 그대로 그 안에 있는 각 요소는 색상과 밝기가 좌우되는 수치가 있는 픽셀입니다. 행렬도 널리 사용됩니다.

물리학에서 데이터와 변환을 기록하는 수단으로 사용
프로그래밍에서 데이터 배열을 설명하고 구성합니다.
심리학에서 심리적 대상의 호환성에 대한 테스트 작성

오늘날 화학과 생물학뿐만 아니라 경제학과 마케팅에서도 매트릭스 테이블이 사용됩니다. 고차 행렬로 작업을 수행하려면 많은 컴퓨팅 성능이 필요합니다. 머리로든 종이로든 그런 계산을 하기에는 너무 어렵고 시간이 많이 걸리기 때문에 편리하고 사용하기 쉬운 온라인 계산기가 개발되었습니다.

곱셈, 행렬식 찾기, 전치, 거듭제곱, 순위 찾기, 역행렬 찾기 등 모든 기본 작업을 온라인으로 수행할 수 있습니다. 테이블의 빈 필드에 값을 입력하기만 하면 됩니다. , 원하는 버튼을 누르면 분수 초 단위로 계산이 수행됩니다.