მატრიცის კალკულატორი

მათემატიკაში, ხაზოვანი განტოლების სისტემების კომპაქტურად დასაწერად, ხშირად გამოიყენება მატრიცები, რომლებიც იწერება მართკუთხა ცხრილების სახით. ამ ცხრილებში რიგების რაოდენობა შეესაბამება განტოლებების რაოდენობას, ხოლო სვეტების რაოდენობას - უცნობის რაოდენობას. ასევე არსებობს მატრიცები რგოლებისა და ველების სახით: რთული და რეალური რიცხვების დასაწერად.

მატრიცული ცხრილების დახმარებით შეგიძლიათ ალგებრული და დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნა, გამოთვლების შემცირება მატრიცებზე მოქმედებებამდე, რაც მნიშვნელოვნად აჩქარებს პროცესს. გარდა ამისა, ის ამარტივებს მონაცემთა დიდი მასივების სისტემატიზაციას, მათ შორის ელექტრონულ გამოთვლით მოწყობილობებში.

შემთხვევის ისტორია

ისტორიკოსები პირველი მატრიცების გამოგონებას ძველ ჩინელებს მიაწერენ. 4000 წელზე მეტი ხნის წინ, იმპერატორ იუ დიდის მეფობის დროს, ამ მათემატიკურ ობიექტებს ეწოდა ჯადოსნური კვადრატები და საშუალებას აძლევდა რთული გამოთვლების განხორციელებას რამდენიმე მარტივი ნაბიჯით.

ძველი ჩინური ლეგენდის თანახმად, პირველი ჯადოსნური მოედანი იეროგლიფებით აღმოაჩინეს წმინდა კუს ნაჭუჭზე, რომელიც გამოჩნდა ყვითელ მდინარიდან ჩვენს წელთაღრიცხვამდე 2200 წელს. მატრიცამ იპოვა გამოყენება ვაჭრობაში და ინჟინერიაში და შემდგომში გავრცელდა ძველი აღმოსავლეთის ბევრ ქვეყანაში. ადრეულ შუა საუკუნეებში მათ ამის შესახებ შეიტყვეს არაბულ ქვეყნებში, მე-11 საუკუნეში - ინდოეთში, მე-15-16 საუკუნეებში - იაპონიაში.

ევროპაში ჯადოსნური მოედანი ცნობილი იყო მხოლოდ მე-15-მე-16 საუკუნეების მიჯნაზე - ბიზანტიელი მწერლის მანუელ მოსხოპულის წყალობით, რომელმაც აღწერა იგი თავის თხზულებებში. 1514 წელს გერმანელმა მხატვარმა ალბრეხტ დიურერმა თავის გრავიურაში „მელანქოლია“ ჩართო ჯადოსნური კვადრატი. მასზე სხვა საგნებთან ერთად გამოსახულია კვადრატი, რომლის ცენტრალურ უჯრებში გრავიურის შექმნის თარიღია ჩაწერილი.

მე-16 საუკუნეში რიცხვითი მატრიცები ფართოდ გავრცელდა მეოცეებსა და ასტროლოგებს შორის, რომლებმაც ჯადოსნურ მოედანს მისტიური და სამკურნალო თვისებები მისცეს. ის ხშირად გვხვდება იმ დროის მინიატურულ ვერცხლის გრავიურებზე, რომლებიც, სავარაუდოდ, იცავდნენ მათ მფლობელებს ჭირისგან. შემდეგ, მე-16 საუკუნეში, ევროპაში მატრიცების პრაქტიკული გამოყენება იქნა ნაპოვნი. გერმანელმა ფილოსოფოსმა კორნელიუს ჰაინრიხ აგრიპამ გამოიყენა ისინი 7 პლანეტის მოძრაობის აღსაწერად მე-3-დან მე-9 რიგის კვადრატების აგებით.

მე-17 და მე-18 საუკუნეებში კვლევები გაგრძელდა და 1751 წელს შვეიცარიელმა მათემატიკოსმა გაბრიელ კრამერმა გამოაქვეყნა ალგებრული განტოლებების ამოხსნის ახალი გზა ნულოვანი ძირითადი განმსაზღვრელი მატრიცების გამოყენებით, რომელზეც მუშაობდა რამდენიმე ათეული წლის განმავლობაში.

დაახლოებით ამავე დროს გამოქვეყნდა გაუსის მეთოდი ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამოხსნისთვის. მიუხედავად იმისა, რომ დღეს მისი სახელი განუყოფლად არის დაკავშირებული გერმანელი მათემატიკოსის სახელთან, ავტორი, ისტორიკოსების აზრით, მას არ ეკუთვნის. ასე რომ, მატრიცების გამოთვლის ეს მეთოდი ცნობილი იყო კარლ ფრიდრიხ გაუსის სიცოცხლემდე 2000 წლით ადრე და წარმოდგენილი იყო ძველ ჩინურ "მათემატიკა ცხრა წიგნში" ჩვენს წელთაღრიცხვამდე II საუკუნეში.

როგორც ალგებრა და ოპერაციული გამოთვლები განვითარდა, მატრიცებისადმი ინტერესი განახლებული ენერგიით გაიზარდა მე-19 და მე-20 საუკუნეებში. მათი კვლევა ჩატარდა თავისი დროის გამოჩენილმა მეცნიერებმა: უილიამ ჰამილტონი, არტურ კეილი და ჯეიმს ჯოზეფ სილვესტერი.

მე-19 საუკუნის შუა წლებში მათ საბოლოოდ ჩამოაყალიბეს მატრიცული ცხრილების დამატებისა და გამრავლების წესები, ხოლო მე-20 საუკუნის დასაწყისისთვის თეორიული ბაზა გაფართოვდა კარლ ვაიერშტრასის და ფერდინანდ გეორგ ფრობენიუსის კვლევებით. აღსანიშნავია, რომ მატრიცამ მიიღო თავისი თანამედროვე სახელი და აღნიშვნა მხოლოდ 1841 წელს - ინგლისელი მათემატიკოსის არტურ კეილის წყალობით.

მატრიცების ჯიშები

სტანდარტული მართკუთხა მატრიცა არის რიცხვების სერია m სტრიქონების და n სვეტების რაოდენობით. მასში შემავალი ყველა ელემენტი დანომრილია მარცხნიდან მარჯვნივ და ზემოდან ქვემოდან. ზედა მწკრივი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც (a1 a₂ a3 ... aₙ), ხოლო ქვედა მწკრივი როგორც (aₘ1 aₘ2 aₘ3 ... aₘₙ). მატრიცის ზომა მითითებულია როგორც m × n, სადაც m და n ნატურალური რიცხვებია.

შესაბამისად, ცხრილში ელემენტების საერთო რაოდენობის გასარკვევად საკმარისია m გავამრავლოთ n-ზე: სტრიქონების რაოდენობა სვეტების რაოდენობაზე. რა მატრიცები არსებობს მართკუთხა გარდა?

კვადრატი. მათ აქვთ მწკრივების და სვეტების იგივე რაოდენობა, ანუ m = n.
როგორც სვეტის ვექტორი. ასეთ მატრიცას აქვს n = 1 და ზომა მითითებულია როგორც "m × 1". მასში შემავალი ყველა რიცხვი დანომრილია ზემოდან ქვევით: ორწერტილი (a1 a₂ ... aₘ).
როგორც მწკრივის ვექტორი. მატრიცა წინას მსგავსი, მაგრამ m = 1 და ზომა "1 × n". მასში არსებული რიცხვები დანომრილია მარცხნიდან მარჯვნივ: მწკრივი (a1 a₂ ... aₙ).

სვეტები და რიგები აღინიშნება დიდი ასოებით (m, n), მაგრამ ზოგადად, თითოეული მატრიცა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც K = M × N, მაშინაც კი, თუ ერთ-ერთი მნიშვნელობა უდრის ერთს.

ასევე არის ტრანსპონირებული, დიაგონალური, იდენტურობის და ნულოვანი მატრიცები. იდენტურობის მატრიცაში ყველა ელემენტი ერთეულია; მასზე გამრავლებისას ნებისმიერი მატრიცა უცვლელი რჩება. ნულში, ყველა მწკრივი და სვეტი შედგება ნულებისაგან, ყოველი მატრიცა უცვლელი რჩება მასში დამატებისას.

მატრიცის გამრავლების კალკულატორი

როგორც სხვა მათემატიკური ობიექტების უმეტესობის შემთხვევაში, მატრიცებით მანიპულირება შესაძლებელია შეკრებით და გამოკლებით, გამრავლებით და გაყოფით. ამისთვის არსებობს წესები და ფორმულები, რომლებიც მიღებული იქნა მეცნიერების მიერ ჯერ კიდევ მე-17-19 საუკუნეებში.

მატრიცული ოპერაციები

დამატების ოპერაციები

ნებისმიერი მატრიცა m მწკრივით და n სვეტით შეიძლება წარმოდგენილი იყოს K = m × n სახით. თუ ოპერაციაში ერთდროულად რამდენიმე მატრიცაა ჩართული, მათ ენიჭებათ ანბანური ასოები: A, B, C და ა.შ. ერთი და იმავე რიგის მატრიცული ცხრილების A და B ერთმანეთთან დასამატებლად, თქვენ უნდა დაამატოთ მათი ყველა ელემენტი რიგებში. m და სვეტები n თავის მხრივ. ანუ C საბოლოო მატრიცაში თითოეული ელემენტი ტოლი იქნება:

сₘₙ = aₘₙ + bₘₙ.

რადგან წრფივი სივრცის აქსიომები გამოიყენება დამატებით, თეორემა ხდება ძალაში, რომლის მიხედვითაც, ყველა ერთი და იგივე ზომის მატრიცების სიმრავლე ელემენტებით P ველიდან ქმნის წრფივ სივრცეს P ველზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თითოეული ასეთი მატრიცა არის ამ სივრცის მიმართული ვექტორი (P). შეკრების ოპერაციების შესრულებისას მხედველობაში უნდა იქნას მიღებული მატრიცების ორი ძირითადი თვისება:

კომუტატიურობა - A + B = B + A.
ასოციაციურობა - (A + B) + C = A + (B + C).

თუ ჩვეულებრივ მატრიცას დავუმატებთ ნულოვან ერთს (რომელშიც ყველა ელემენტი არის ნული), მივიღებთ გამონათქვამს: A + Ø = Ø + A = A. ხოლო როდესაც მას დავუმატებთ საპირისპირო მატრიცას, მივიღებთ ნულოვანი ერთი: A + (−A) = Ø.

რიცხვების გამრავლება

მატრიცა შეიძლება გამრავლდეს რიცხვზე და სხვა მატრიცზე. პირველ შემთხვევაში, m სტრიქონიდან და n სვეტიდან თითოეული ელემენტი თავის მხრივ მრავლდება რიცხვზე. თუ რიცხვს აღვნიშნავთ ასო λ-ით, ხოლო მატრიცას ასო A-ით, მივიღებთ გამონათქვამს:

A × λ = λ × aₘₙ.

გამრავლებისას გათვალისწინებულია მატრიცების შემდეგი თვისებები:

ასოციაციურობა - λ × β × A = λ × (β × A).
რიცხობრივი განაწილება - (λ + β) × A = λ × A + β × A.
მატრიცის განაწილება - λ × (A + B) = λ × A + λ × B.

ერთზე გამრავლებისას ცხრილის ყველა ელემენტი უცვლელი რჩება და ნულზე გამრავლებისას ისინი გადაიქცევა ნულებად.

მატრიცული გამრავლება

გამრავლების მეორე ვარიანტი - ერთი მატრიცა მეორეზე, მაგალითად - A × B. მათი გამრავლების შემდეგ მიღებულ C მატრიცაში თითოეული ელემენტი ტოლი იქნება ელემენტების ნამრავლების ჯამის შესაბამისი მწკრივის. პირველი ფაქტორი და სვეტი მეორე. ეს წესი მოქმედებს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ A და B პროპორციულია, ანუ მათ აქვთ იგივე რაოდენობის m რიგები და n სვეტი. თუ m × n და n × k მატრიცები გამრავლებულია, C საბოლოო მატრიცის განზომილება იქნება m × k. როგორც რიცხვების შემთხვევაში, გამრავლებისას თქვენ უნდა გაითვალისწინოთ მატრიცების თვისებები:

ასოციაციურობა - (A × B) × C = A × (B × C).
არაკომუტატიურობა - A × B ≠ B × A;
გამანაწილებელი - (A + B) × C = A × C + B × C.

კომუტატიურობა შენარჩუნებულია მხოლოდ იდენტობის I მატრიცზე გამრავლებისას: A × I = I × A = A. ხოლო როდესაც მრავლდება λ რიცხვზე, იდენტურობა შენარჩუნებულია: (λ × A) × B = A × (λ × B) = λ × (A×B). მართკუთხა/კვადრატული მატრიცა ასევე შეიძლება გამრავლდეს მწკრივის ვექტორზე და სვეტის ვექტორზე. პირველი იწერება მის მარცხნივ, ხოლო მეორე იწერება მარჯვნივ: ელემენტების შემდგომი გამრავლებით.

სადაც გამოიყენება მატრიცები

მატრიცების გამოყენების ყველაზე თვალსაჩინო მაგალითი მათემატიკაში (და ყოველდღიურ ცხოვრებაში) არის გამრავლების ცხრილი. ეს სხვა არაფერია, თუ არა ვექტორული მატრიცების ნამრავლი ელემენტებით 1-დან 9-მდე. ეს პრინციპი თანდაყოლილია ყველა გამოთვლითი მოწყობილობის მუშაობაში, რომელიც მუშაობს ბრტყელ და სამგანზომილებიან ფიგურებთან.

თხევადკრისტალური მონიტორის მატრიცა ასეთია პირდაპირი გაგებით და მასში არსებული თითოეული ელემენტი არის პიქსელი რიცხობრივი მნიშვნელობით, რომელზეც დამოკიდებულია მისი ელფერი და სიკაშკაშე. მატრიცები ასევე ფართოდ გამოიყენება:

ფიზიკაში, როგორც მონაცემების ჩაწერისა და მათი გარდაქმნების საშუალება.
პროგრამაში, მონაცემთა მასივების აღწერა და ორგანიზება.
ფსიქოლოგიაში, ფსიქოლოგიური ობიექტების თავსებადობაზე ტესტების დასაწერად.

დღეს მატრიცული ცხრილები გამოიყენება ეკონომიკასა და მარკეტინგში, ასევე ქიმიასა და ბიოლოგიაში. მაღალი რიგის მატრიცებით ოპერაციების შესასრულებლად საჭიროა დიდი გამოთვლითი ძალა. გონებაში თუ ქაღალდზე, ძალიან რთული და შრომატევადია ასეთი გამოთვლების განხორციელება, ამიტომ შემუშავებულია მოსახერხებელი და ადვილად გამოსაყენებელი ონლაინ კალკულატორები.

ისინი საშუალებას მოგცემთ განახორციელოთ ყველა ძირითადი ოპერაცია ონლაინ: გამრავლება, დეტერმინანტების პოვნა, ტრანსპოზირება, ხარისხზე აწევა, რიგების პოვნა, ინვერსიული მატრიცების პოვნა და ა.შ. უბრალოდ შეიყვანეთ მნიშვნელობები ცხრილის ცარიელ ველებში. , დააჭირეთ სასურველ ღილაკს და გამოთვლა განხორციელდება გაზიარების წამებში.

მატრიცის კალკულატორი

სხვა ინსტრუმენტები