数学では、一次方程式系をコンパクトに記述するために、長方形の表の形式で記述された行列がよく使用されます。 これらの表では、行の数は方程式の数に対応し、列の数は未知数の数に対応します。 複素数や実数を書き込むための、リングやフィールドの形式の行列もあります。
行列テーブルを使用すると、代数方程式や微分方程式を解くことができ、計算が行列の演算に減り、プロセスが大幅に高速化されます。 さらに、電子コンピューティング デバイス内のデータ配列を含む大規模なデータ配列の体系化が簡素化されます。
発生履歴
歴史家は、最初の行列の発明は古代中国人によるものであると考えています。 4000 年以上前、禹大帝の治世中に、これらの数学的オブジェクトは魔方陣と呼ばれ、複雑な計算をいくつかの簡単な手順で実行できるようになりました。
古代中国の伝説によると、紀元前 2200 年に黄河から浮上した神聖な亀の甲羅から象形文字を含む最初の魔方陣が発見されました。 このマトリックスは貿易と工学に応用され、その後古代東の多くの国に広がりました。 中世初期、彼らはアラブ諸国、11 世紀にインド、15 ～ 16 世紀に日本でそれについて学びました。
ヨーロッパで魔方陣が知られるようになったのは、ビザンチンの作家マヌエル・モスコプルの著作のおかげで、15 世紀から 16 世紀の変わり目になってからです。 1514年、ドイツの画家アルブレヒト・デューラーは、版画「メランコリア」に魔方陣を含めました。 その上には、とりわけ正方形が描かれており、その中央のセルには彫刻の作成日が刻まれています。
16 世紀には、数値行列が占い師や占星術師の間で普及し、魔方陣に神秘的で治癒的な特性が与えられました。 所有者を疫病から守ったとされる、当時の銀製のミニチュア彫刻によく見られます。 その後、16 世紀にヨーロッパで行列の実用的な応用が見つかりました。 ドイツの哲学者コルネリウス ハインリヒ アグリッパは、3 次から 9 次までの正方形を構築することによって 7 つの惑星の動きを記述するためにこれらを使用しました。
17 世紀と 18 世紀にも研究は続けられ、1751 年にスイスの数学者ガブリエル クラマーは、数十年にわたって取り組んできた主行列式がゼロの行列を使用して代数方程式を解く新しい方法を発表しました。
ほぼ同時に、線形代数方程式系を解くためのガウス法が発表されました。 今日、その名前はドイツの数学者の名前と密接に関連付けられていますが、歴史家によると、著者は彼に属していません。 つまり、行列を計算するこの方法は、カール フリードリッヒ ガウスの生涯の 2000 年前に知られており、紀元前 2 世紀の古代中国の「九書の数学」で紹介されていました。
代数と演算微積分の発展に伴い、19 世紀から 20 世紀にかけて行列への関心が新たな勢いで燃え上がりました。 彼らの研究は、ウィリアム・ハミルトン、アーサー・ケイリー、ジェームズ・ジョセフ・シルベスターといった当時の著名な科学者によって行われました。
19 世紀半ばまでに、行列テーブルの加算と乗算のルールが最終的に定式化され、20 世紀初頭までに、カール ヴァイエルシュトラスとフェルディナント ゲオルグ フロベニウスの研究によって理論的基礎が拡張されました。 この行列が現代の名前と指定を受けたのは 1841 年になってからであることは注目に値します。これは英国の数学者アーサー ケイリーのおかげです。
さまざまな行列
標準的な長方形行列は、m 行、n 列の数値系列です。 その中のすべての要素には、左から右、上から下の順に番号が付けられます。 上の行は (a₁ a₂ a₃ ... aₙ) と表すことができ、下の行は (aₘ₁ aₘ₂ aₘ₃ ... aₘₙ) と表すことができます。 行列のサイズは m × n として指定されます。ここで、m と n は自然数です。
したがって、テーブル内の要素の合計数を調べるには、行数と列数の m と n を乗算するだけで十分です。 長方形以外にどのような行列が存在しますか?
- 正方形。行と列の数は同じです。つまり、m = n です。
- 列ベクトルとして。 このような行列は n = 1 であり、サイズは「m × 1」として指定されます。 その中のすべての数字は上から下に番号付けされます: コロン (a₁ a₂ ... aₘ)。
- 行ベクトルとして。 前の行列と似ていますが、m = 1 でサイズが「1 × n」の行列です。 その中の数字は左から右に番号が付けられています: row (a₁ a₂ ... aₙ)。
列と行は大文字 (m, n) で表されますが、一般的に、値の 1 つが 1 に等しい場合でも、各行列は K = M × N として表すことができます。
転置行列、対角行列、恒等行列、ゼロ行列もあります。 単位行列では、すべての要素が単位であり、単位を乗算しても、行列は変化しません。 ゼロでは、すべての行と列がゼロで構成され、各行列は追加されても変更されません。
