Calcolatrice a matrice

In matematica, per scrivere in modo compatto sistemi di equazioni lineari, vengono spesso utilizzate matrici, scritte sotto forma di tabelle rettangolari. In queste tabelle, il numero di righe corrisponde al numero di equazioni e il numero di colonne corrisponde al numero di incognite. Esistono anche matrici sotto forma di anelli e campi: per scrivere numeri complessi e reali.

Con l'aiuto delle tabelle di matrici, puoi risolvere equazioni algebriche e differenziali, riducendo i calcoli alle operazioni sulle matrici, il che accelera notevolmente il processo. Inoltre, semplifica la sistematizzazione di grandi array di dati, inclusi quelli nei dispositivi informatici elettronici.

Storia dell'occorrenza

Gli storici attribuiscono l'invenzione delle prime matrici agli antichi cinesi. Più di 4000 anni fa, durante il regno dell'imperatore Yu il Grande, questi oggetti matematici erano chiamati quadrati magici e permettevano di eseguire calcoli complessi in pochi semplici passi.

Secondo un'antica leggenda cinese, il primo quadrato magico con geroglifici fu scoperto sul guscio di una tartaruga sacra emersa dal Fiume Giallo nel 2200 a.C. La matrice trovò applicazione nel commercio e nell'ingegneria e successivamente si diffuse in molti paesi dell'Antico Oriente. Durante l'alto medioevo se ne venne a conoscenza nei paesi arabi, nell'XI secolo - in India, nei secoli XV-XVI - in Giappone.

In Europa, il quadrato magico era conosciuto solo a cavallo tra il XV e il XVI secolo, grazie allo scrittore bizantino Manuel Moskhopul, che lo descrisse nei suoi scritti. Nel 1514, il pittore tedesco Albrecht Dürer incluse un quadrato magico nella sua incisione "Melancholia". Su di esso, tra gli altri oggetti, è raffigurato un quadrato, nelle cui celle centrali è incisa la data di realizzazione dell'incisione.

Nel XVI secolo le matrici numeriche si diffusero tra indovini e astrologi, che conferivano al quadrato magico proprietà mistiche e curative. Si trova spesso su incisioni in argento in miniatura dell'epoca, che presumibilmente proteggevano i loro proprietari dalla peste. Poi, nel XVI secolo, furono trovate applicazioni pratiche per le matrici in Europa. Il filosofo tedesco Cornelius Heinrich Agrippa li usò per descrivere il moto dei 7 pianeti costruendo quadrati dal 3° al 9° ordine.

Nel XVII e XVIII secolo la ricerca continuò e nel 1751 il matematico svizzero Gabriel Cramer pubblicò un nuovo modo di risolvere equazioni algebriche utilizzando matrici con determinante principale zero, su cui aveva lavorato per diversi decenni.

Più o meno nello stesso periodo fu pubblicato il metodo Gauss per la risoluzione di un sistema di equazioni algebriche lineari. Sebbene oggi il suo nome sia indissolubilmente associato al nome di un matematico tedesco, la paternità, secondo gli storici, non gli appartiene. Quindi, questo metodo di calcolo delle matrici era noto 2000 anni prima della vita di Carl Friedrich Gauss, ed è stato presentato nell'antico cinese "Matematica in nove libri" nel II secolo a.C..

Con lo sviluppo dell'algebra e del calcolo operativo, l'interesse per le matrici divampò con rinnovato vigore nel XIX e XX secolo. Il loro studio è stato condotto da eminenti scienziati del loro tempo: William Hamilton, Arthur Cayley e James Joseph Sylvester.

Entro la metà del 19° secolo, hanno finalmente formulato le regole per l'addizione e la moltiplicazione delle tabelle di matrici, e all'inizio del 20° secolo, la base teorica è stata ampliata dagli studi di Karl Weierstrass e Ferdinand Georg Frobenius. È interessante notare che la matrice ha ricevuto il nome e la designazione moderni solo nel 1841, grazie al matematico inglese Arthur Cayley.

Varietà di matrici

Una matrice rettangolare standard è una serie numerica con m numero di righe e n numero di colonne. Tutti gli elementi in esso contenuti sono numerati da sinistra a destra e dall'alto verso il basso. La riga superiore può essere rappresentata come (a₁ a₂ a₃ ... aₙ) e quella inferiore come (aₘ₁ aₘ₂ aₘ₃ ... aₘₙ). La dimensione della matrice è specificata come m × n, dove m e n sono numeri naturali.

Di conseguenza, per scoprire il numero totale di elementi nella tabella, è sufficiente moltiplicare m per n: il numero di righe per il numero di colonne. Quali altre matrici esistono oltre a quelle rettangolari?

Quadrato. Hanno lo stesso numero di righe e colonne, ovvero m = n.
Come vettore colonna. Tale matrice ha n = 1 e la dimensione è specificata come "m × 1". Tutti i numeri in esso contenuti sono numerati dall'alto verso il basso: due punti (a₁ a₂ ... aₘ).
Come vettore riga. Una matrice simile alla precedente, ma con m = 1 e dimensione "1 × n". I numeri in esso sono numerati da sinistra a destra: riga (a₁ a₂ ... aₙ).

Le colonne e le righe sono indicate con lettere maiuscole (m, n), ma in termini generali ogni matrice può essere rappresentata come K = M × N, anche se uno dei valori è uguale a uno.

Esistono anche matrici trasposte, diagonali, identità e zero. Nella matrice identità, tutti gli elementi sono unità; quando moltiplicato per essa, qualsiasi matrice rimane invariata. In zero, tutte le righe e le colonne sono costituite da zeri, ogni matrice rimane invariata quando viene aggiunta ad essa.

Moltiplicazione di matrici

Come con la maggior parte degli altri oggetti matematici, le matrici possono essere manipolate con addizioni e sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni. Per questo, ci sono regole e formule, derivate dagli scienziati nei secoli XVII-XIX.

Operazioni con matrici

Operazioni di addizione

Qualsiasi matrice con m righe e n colonne può essere rappresentata come K = m × n. Se più matrici sono coinvolte contemporaneamente nell'operazione, vengono assegnate lettere maiuscole alfabetiche: A, B, C, ecc. Per aggiungere tra loro le tabelle di matrici A e B dello stesso ordine, è necessario aggiungere tutti i loro elementi nelle righe m e colonne n a turno . Cioè, nella matrice finale C, ogni elemento sarà uguale a:

сₘₙ = aₘₙ + bₘₙ.

Poiché si utilizzano in aggiunta gli assiomi dello spazio lineare, diventa valido il teorema, secondo il quale l'insieme di tutte le matrici della stessa dimensione con elementi del campo P forma uno spazio lineare sul campo P. In altre parole, ciascuna di queste matrici è un vettore diretto di questo spazio (P). Quando si eseguono operazioni di addizione, è necessario tenere conto di due proprietà principali delle matrici:

Commutatività - A + B = B + A.
Associatività - (A + B) + C = A + (B + C).

Se aggiungiamo una matrice ordinaria con uno zero (in cui tutti gli elementi sono zeri), otteniamo l'espressione: A + Ø = Ø + A = A. E quando la aggiungiamo alla matrice opposta, otteniamo un zero uno: A + (−A) = Ø.

Moltiplicazione di numeri

Una matrice può essere moltiplicata per un numero e per un'altra matrice. Nel primo caso, ogni elemento di m righe e n colonne viene a sua volta moltiplicato per un numero. Se indichiamo il numero con la lettera λ e la matrice con la lettera A, otteniamo l'espressione:

A × λ = λ × aₘₙ.

Durante la moltiplicazione vengono prese in considerazione le seguenti proprietà delle matrici:

Associatività - λ × β × A = λ × (β × A).
Distributività numerica - (λ + β) × A = λ × A + β × A.
Distributività della matrice - λ × (A + B) = λ × A + λ × B.

Se moltiplicati per uno, tutti gli elementi della tabella rimangono invariati e se moltiplicati per zero diventano zeri.

Moltiplicazione di matrici

La seconda variante della moltiplicazione - una matrice per un'altra, ad esempio - A × B. Nella matrice C ottenuta dopo la loro moltiplicazione, ciascun elemento sarà uguale alla somma dei prodotti degli elementi nella riga corrispondente del primo fattore e la colonna del secondo. Questa regola è valida solo se A e B sono proporzionate, cioè hanno lo stesso numero di m righe e n colonne. Se si moltiplicano le matrici m × n e n × k, la dimensione della matrice finale C sarà m × k. Come nel caso dei numeri, durante la moltiplicazione è necessario tenere conto delle proprietà delle matrici:

Associatività - (A × B) × C = A × (B × C).
Non commutatività - A × B ≠ B × A;
Distributiva - (A + B) × C = A × C + B × C.

La commutatività è preservata solo quando moltiplicata per la matrice identità I: A × I = I × A = A. E quando moltiplicata per il numero λ, l'identità è preservata: (λ × A) × B = A × (λ × B) = λ × (A × B). Una matrice rettangolare/quadrata può anche essere moltiplicata per un vettore riga e un vettore colonna. Il primo è scritto a sinistra di esso, e il secondo è scritto a destra: con successiva moltiplicazione di elementi.

Dove vengono utilizzate le matrici

L'esempio più ovvio dell'uso delle matrici in matematica (e nella vita di tutti i giorni) è la tavola pitagorica. Non è altro che il prodotto di matrici vettoriali con elementi da 1 a 9. Questo principio è insito nel funzionamento di tutti i dispositivi informatici che lavorano con figure piatte e tridimensionali.

La matrice di un monitor a cristalli liquidi è tale in senso letterale, e ogni elemento in essa contenuto è un pixel con un valore numerico, da cui dipendono la sua tonalità e luminosità. Anche le matrici sono ampiamente utilizzate:

In fisica, come mezzo per registrare i dati e le loro trasformazioni.
Nella programmazione, per descrivere e organizzare array di dati.
In psicologia, per scrivere test sulla compatibilità degli oggetti psicologici.

Oggi le tabelle a matrice vengono utilizzate anche in economia e marketing, oltre che in chimica e biologia. Per eseguire operazioni con matrici di ordine elevato, è necessaria molta potenza di calcolo. In mente o sulla carta, è troppo difficile e dispendioso in termini di tempo eseguire tali calcoli, quindi sono stati sviluppati calcolatori online convenienti e facili da usare.

Ti permetteranno di svolgere online tutte le operazioni di base: moltiplicazione, ricerca di determinanti, trasposizione, elevazione a potenza, ricerca di ranghi, ricerca di matrici inverse, ecc. Basta inserire i valori nei campi vuoti della tabella , premere il pulsante desiderato e il calcolo verrà eseguito in frazioni di secondo.

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