In matematica, per scrivere in modo compatto sistemi di equazioni lineari, vengono spesso utilizzate matrici, scritte sotto forma di tabelle rettangolari. In queste tabelle, il numero di righe corrisponde al numero di equazioni e il numero di colonne corrisponde al numero di incognite. Esistono anche matrici sotto forma di anelli e campi: per scrivere numeri complessi e reali.
Con l'aiuto delle tabelle di matrici, puoi risolvere equazioni algebriche e differenziali, riducendo i calcoli alle operazioni sulle matrici, il che accelera notevolmente il processo. Inoltre, semplifica la sistematizzazione di grandi array di dati, inclusi quelli nei dispositivi informatici elettronici.
Storia dell'occorrenza
Gli storici attribuiscono l'invenzione delle prime matrici agli antichi cinesi. Più di 4000 anni fa, durante il regno dell'imperatore Yu il Grande, questi oggetti matematici erano chiamati quadrati magici e permettevano di eseguire calcoli complessi in pochi semplici passi.
Secondo un'antica leggenda cinese, il primo quadrato magico con geroglifici fu scoperto sul guscio di una tartaruga sacra emersa dal Fiume Giallo nel 2200 a.C. La matrice trovò applicazione nel commercio e nell'ingegneria e successivamente si diffuse in molti paesi dell'Antico Oriente. Durante l'alto medioevo se ne venne a conoscenza nei paesi arabi, nell'XI secolo - in India, nei secoli XV-XVI - in Giappone.
In Europa, il quadrato magico era conosciuto solo a cavallo tra il XV e il XVI secolo, grazie allo scrittore bizantino Manuel Moskhopul, che lo descrisse nei suoi scritti. Nel 1514, il pittore tedesco Albrecht Dürer incluse un quadrato magico nella sua incisione "Melancholia". Su di esso, tra gli altri oggetti, è raffigurato un quadrato, nelle cui celle centrali è incisa la data di realizzazione dell'incisione.
Nel XVI secolo le matrici numeriche si diffusero tra indovini e astrologi, che conferivano al quadrato magico proprietà mistiche e curative. Si trova spesso su incisioni in argento in miniatura dell'epoca, che presumibilmente proteggevano i loro proprietari dalla peste. Poi, nel XVI secolo, furono trovate applicazioni pratiche per le matrici in Europa. Il filosofo tedesco Cornelius Heinrich Agrippa li usò per descrivere il moto dei 7 pianeti costruendo quadrati dal 3° al 9° ordine.
Nel XVII e XVIII secolo la ricerca continuò e nel 1751 il matematico svizzero Gabriel Cramer pubblicò un nuovo modo di risolvere equazioni algebriche utilizzando matrici con determinante principale zero, su cui aveva lavorato per diversi decenni.
Più o meno nello stesso periodo fu pubblicato il metodo Gauss per la risoluzione di un sistema di equazioni algebriche lineari. Sebbene oggi il suo nome sia indissolubilmente associato al nome di un matematico tedesco, la paternità, secondo gli storici, non gli appartiene. Quindi, questo metodo di calcolo delle matrici era noto 2000 anni prima della vita di Carl Friedrich Gauss, ed è stato presentato nell'antico cinese "Matematica in nove libri" nel II secolo a.C..
Con lo sviluppo dell'algebra e del calcolo operativo, l'interesse per le matrici divampò con rinnovato vigore nel XIX e XX secolo. Il loro studio è stato condotto da eminenti scienziati del loro tempo: William Hamilton, Arthur Cayley e James Joseph Sylvester.
Entro la metà del 19° secolo, hanno finalmente formulato le regole per l'addizione e la moltiplicazione delle tabelle di matrici, e all'inizio del 20° secolo, la base teorica è stata ampliata dagli studi di Karl Weierstrass e Ferdinand Georg Frobenius. È interessante notare che la matrice ha ricevuto il nome e la designazione moderni solo nel 1841, grazie al matematico inglese Arthur Cayley.
Varietà di matrici
Una matrice rettangolare standard è una serie numerica con m numero di righe e n numero di colonne. Tutti gli elementi in esso contenuti sono numerati da sinistra a destra e dall'alto verso il basso. La riga superiore può essere rappresentata come (a₁ a₂ a₃ ... aₙ) e quella inferiore come (aₘ₁ aₘ₂ aₘ₃ ... aₘₙ). La dimensione della matrice è specificata come m × n, dove m e n sono numeri naturali.
Di conseguenza, per scoprire il numero totale di elementi nella tabella, è sufficiente moltiplicare m per n: il numero di righe per il numero di colonne. Quali altre matrici esistono oltre a quelle rettangolari?
- Quadrato. Hanno lo stesso numero di righe e colonne, ovvero m = n.
- Come vettore colonna. Tale matrice ha n = 1 e la dimensione è specificata come "m × 1". Tutti i numeri in esso contenuti sono numerati dall'alto verso il basso: due punti (a₁ a₂ ... aₘ).
- Come vettore riga. Una matrice simile alla precedente, ma con m = 1 e dimensione "1 × n". I numeri in esso sono numerati da sinistra a destra: riga (a₁ a₂ ... aₙ).
Le colonne e le righe sono indicate con lettere maiuscole (m, n), ma in termini generali ogni matrice può essere rappresentata come K = M × N, anche se uno dei valori è uguale a uno.
Esistono anche matrici trasposte, diagonali, identità e zero. Nella matrice identità, tutti gli elementi sono unità; quando moltiplicato per essa, qualsiasi matrice rimane invariata. In zero, tutte le righe e le colonne sono costituite da zeri, ogni matrice rimane invariata quando viene aggiunta ad essa.