Kalkulator matriks

Dalam matematika, untuk menulis sistem persamaan linier secara ringkas, matriks sering digunakan, ditulis dalam bentuk tabel persegi panjang. Dalam tabel ini, jumlah baris sesuai dengan jumlah persamaan, dan jumlah kolom sesuai dengan jumlah yang tidak diketahui. Ada juga matriks dalam bentuk cincin dan bidang: untuk menulis bilangan kompleks dan bilangan real.

Dengan bantuan tabel matriks, Anda dapat menyelesaikan persamaan aljabar dan diferensial, mengurangi perhitungan menjadi operasi pada matriks, yang sangat mempercepat proses. Selain itu, ini menyederhanakan sistematisasi larik data besar, termasuk yang ada di perangkat komputasi elektronik.

Riwayat kejadian

Sejarawan mengaitkan penemuan matriks pertama dengan Tiongkok kuno. Lebih dari 4000 tahun yang lalu, pada masa pemerintahan Kaisar Yu Agung, objek matematika ini disebut kotak ajaib, dan memungkinkan perhitungan rumit dilakukan dalam beberapa langkah sederhana.

Menurut legenda Tiongkok kuno, kotak ajaib pertama dengan hieroglif ditemukan pada cangkang kura-kura suci yang muncul dari Sungai Kuning pada tahun 2200 SM. Matriks tersebut menemukan aplikasi dalam perdagangan dan teknik, dan kemudian menyebar ke banyak negara di Timur Kuno. Selama awal Abad Pertengahan, mereka mempelajarinya di negara-negara Arab, pada abad ke-11 - di India, pada abad ke-15 hingga ke-16 - di Jepang.

Di Eropa, alun-alun ajaib hanya dikenal pada pergantian abad ke-15 hingga ke-16 - berkat penulis Bizantium Manuel Moskhopul, yang mendeskripsikannya dalam tulisannya. Pada tahun 1514, pelukis Jerman Albrecht Dürer memasukkan bujur sangkar ajaib dalam ukirannya "Melancholia". Di atasnya, di antara objek-objek lain, sebuah bujur sangkar digambarkan, di sel-sel tengahnya tertulis tanggal pembuatan ukiran.

Pada abad ke-16, matriks numerik tersebar luas di kalangan peramal dan astrolog, yang memberikan sifat mistis dan penyembuhan pada kotak ajaib. Ini sering ditemukan pada ukiran perak mini pada masa itu, yang konon melindungi pemiliknya dari wabah penyakit. Kemudian, pada abad ke-16, aplikasi praktis ditemukan untuk matriks di Eropa. Filsuf Jerman Cornelius Heinrich Agrippa menggunakan mereka untuk menggambarkan gerakan 7 planet dengan membangun kotak dari urutan ke-3 hingga ke-9.

Pada abad ke-17 dan ke-18, penelitian berlanjut, dan pada tahun 1751 ahli matematika Swiss Gabriel Cramer menerbitkan cara baru untuk menyelesaikan persamaan aljabar menggunakan matriks dengan determinan utama nol, yang telah dia kerjakan selama beberapa dekade.

Pada waktu yang hampir bersamaan, metode Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier diterbitkan. Meskipun saat ini namanya terkait erat dengan nama ahli matematika Jerman, penulisnya, menurut sejarawan, bukan miliknya. Jadi, metode penghitungan matriks ini dikenal 2000 tahun sebelum kehidupan Carl Friedrich Gauss, dan disajikan dalam "Matematika dalam Sembilan Buku" Tiongkok kuno pada abad ke-2 SM.

Seiring berkembangnya aljabar dan kalkulus operasional, minat terhadap matriks berkobar dengan semangat baru pada abad ke-19 dan ke-20. Ilmuwan terkemuka pada masanya terlibat dalam penelitian mereka: William Hamilton, Arthur Cayley, dan James Joseph Sylvester.

Pada pertengahan abad ke-19, mereka akhirnya merumuskan aturan untuk menjumlahkan dan mengalikan tabel matriks, dan pada awal abad ke-20, landasan teoretis diperluas oleh studi Karl Weierstrass dan Ferdinand Georg Frobenius. Patut dicatat bahwa matriks menerima nama dan sebutan modernnya hanya pada tahun 1841 - terima kasih kepada matematikawan Inggris Arthur Cayley.

Varietas matriks

Matriks persegi panjang standar adalah deret bilangan dengan m banyaknya baris dan n banyaknya kolom. Semua elemen di dalamnya diberi nomor dari kiri ke kanan dan dari atas ke bawah. Baris atas dapat direpresentasikan sebagai (a₁ a₂ a₃ ... aₙ) dan baris bawah sebagai (aₘ₁ aₘ₂ aₘ₃ ... aₘₙ). Ukuran matriks ditetapkan sebagai m × n, dengan m dan n adalah bilangan asli.

Oleh karena itu, untuk mengetahui jumlah total elemen dalam tabel, cukup dengan mengalikan m dengan n: jumlah baris dengan jumlah kolom. Apa matriks lain yang ada selain persegi panjang?

• Persegi. Mereka memiliki jumlah baris dan kolom yang sama, yaitu m = n.
• Sebagai vektor kolom. Matriks tersebut memiliki n = 1, dan ukurannya ditentukan sebagai "m × 1". Semua angka di dalamnya diberi nomor dari atas ke bawah: titik dua (a₁ a₂ ... aₘ).
• Sebagai vektor baris. Matriks yang mirip dengan matriks sebelumnya, tetapi dengan m = 1 dan berukuran "1 × n". Angka-angka di dalamnya diberi nomor dari kiri ke kanan: baris (a₁ a₂ ... aₙ).

Kolom dan baris dilambangkan dengan huruf kapital (m, n), tetapi secara umum, setiap matriks dapat direpresentasikan sebagai K = M × N, meskipun salah satu nilainya sama dengan satu.

Ada juga matriks transposisi, diagonal, identitas, dan nol. Dalam matriks identitas, semua elemen adalah unit, ketika dikalikan dengannya, matriks apa pun tetap tidak berubah. Dalam nol, semua baris dan kolom terdiri dari nol, setiap matriks tetap tidak berubah saat ditambahkan.