Mátrix kalkulátor

A matematikában a lineáris egyenletrendszerek kompakt felírásához gyakran használnak mátrixokat, amelyeket téglalap alakú táblázatok formájában írnak le. Ezekben a táblázatokban a sorok száma az egyenletek számának, az oszlopok száma pedig az ismeretlenek számának felel meg. Vannak gyűrűk és mezők formájú mátrixok is: komplex és valós számok írásához.

A mátrixtáblázatok segítségével algebrai és differenciálegyenleteket oldhat meg, a számításokat mátrixokon végzett műveletekre redukálva, ami nagyban felgyorsítja a folyamatot. Ezenkívül leegyszerűsíti a nagy adattömbök rendszerezését, beleértve az elektronikus számítástechnikai eszközökben lévőket is.

Az előfordulás története

A történészek az első mátrixok feltalálását az ókori kínaiaknak tulajdonítják. Több mint 4000 évvel ezelőtt, Nagy Yu császár uralkodása idején ezeket a matematikai objektumokat mágikus négyzeteknek nevezték, és lehetővé tették néhány egyszerű lépésben összetett számítások elvégzését.

Az ősi kínai legenda szerint az első hieroglifákkal ellátott varázslatos négyzetet egy szent teknősbéka héján fedezték fel, amely a Sárga-folyóból bukkant fel ie 2200-ban. A mátrixot a kereskedelemben és a mérnöki munkákban alkalmazták, majd az ókori Kelet számos országában elterjedt. A kora középkorban az arab országokban, a 11. században - Indiában, a 15-16. században - Japánban tanultak róla.

Európában a varázsteret csak a 15-16. század fordulóján ismerték – Manuel Moskhopul bizánci írónak köszönhetően, aki leírta írásaiban. 1514-ben Albrecht Dürer német festő „Melankólia” metszetében egy varázsnégyzetet vett fel. Rajta az egyéb tárgyak mellett egy négyzet látható, melynek központi celláiba a metszet keletkezésének dátuma van beírva.

A 16. században a numerikus mátrixok széles körben elterjedtek a jósok és asztrológusok körében, akik misztikus és gyógyító tulajdonságokat adtak a varázsnégyzetnek. Gyakran megtalálható a korabeli miniatűr ezüstmetszeteken, amelyek állítólag megvédték tulajdonosaikat a pestistől. A 16. században aztán Európában is találtak gyakorlati alkalmazásokat a mátrixokra. Cornelius Heinrich Agrippa német filozófus a 7 bolygó mozgásának leírására használta őket úgy, hogy 3–9. rendű négyzeteket szerkesztett.

A 17. és 18. században a kutatás folytatódott, és 1751-ben Gabriel Cramer svájci matematikus új módszert adott ki az algebrai egyenletek megoldására nulla fődeterminánsú mátrixok segítségével, amelyen több évtizede dolgozott.

Körülbelül ugyanebben az időben jelent meg a Gauss-módszer lineáris algebrai egyenletrendszer megoldására. Bár ma már a neve elválaszthatatlanul egy német matematikus nevéhez fűződik, a szerzőség a történészek szerint nem az övé. Tehát a mátrixszámításnak ezt a módszerét 2000 évvel Carl Friedrich Gauss élete előtt ismerték, és az ókori kínai „Matematika kilenc könyvben” című könyvében a Kr.e. 2. században mutatták be.

Az algebra és a műveleti számítások fejlődésével a mátrixok iránti érdeklődés újult erővel tört fel a 19. és 20. században. Vizsgálatukat koruk kiemelkedő tudósai végezték: William Hamilton, Arthur Cayley és James Joseph Sylvester.

A 19. század közepére végül megfogalmazták a mátrixtáblázatok összeadásának és szorzásának szabályait, a 20. század elejére pedig Karl Weierstrass és Ferdinand Georg Frobenius tanulmányaival bővült az elméleti bázis. Figyelemre méltó, hogy a mátrix csak 1841-ben kapta mai nevét és elnevezését – Arthur Cayley angol matematikusnak köszönhetően.

A mátrixok változatai

A szabványos téglalap alakú mátrix egy m sorból és n számú oszlopból álló számsor. Ebben az összes elem balról jobbra és felülről lefelé számozott. A felső sor ábrázolható mint (a₁ a₂ a₃ ... aₙ), az alsó pedig mint (aₘ₁ aₘ₂ aₘ₃ ... aₘₙ). A mátrix mérete m × n, ahol m és n természetes számok.

Ennek megfelelően a táblázat elemeinek teljes számának megállapításához elegendő m-t megszorozni n-nel: a sorok számát az oszlopok számával. Milyen más mátrixok léteznek a téglalapon kívül?

• Négyzet. Ugyanannyi soruk és oszlopuk van, azaz m = n.
• Oszlopvektorként. Egy ilyen mátrixban n = 1, a méret pedig "m × 1" lesz. A benne szereplő összes szám felülről lefelé van számozva: kettőspont (a₁ a₂ ... aₘ).
• Sorvektorként. Az előzőhöz hasonló mátrix, de m = 1 és "1 × n" méretű. A benne lévő számok balról jobbra vannak számozva: sor (a₁ a₂ ... aₙ).

Az oszlopokat és sorokat nagybetűkkel (m, n) jelöljük, de általánosságban minden mátrix ábrázolható K = M × N, még akkor is, ha az egyik érték egyenlő eggyel.

Léteznek transzponált, átlós, azonossági és nulla mátrixok is. Az identitásmátrixban minden elem egység, vele szorozva bármely mátrix változatlan marad. A nullánál minden sor és oszlop nullákból áll, és minden mátrix változatlan marad, ha hozzáadjuk őket.