Matrični kalkulator

U matematici se za kompaktno pisanje sustava linearnih jednadžbi često koriste matrice napisane u obliku pravokutnih tablica. U tim tablicama broj redaka odgovara broju jednadžbi, a broj stupaca broju nepoznanica. Postoje i matrice u obliku prstena i polja: za pisanje kompleksnih i realnih brojeva.

Uz pomoć matričnih tablica možete rješavati algebarske i diferencijalne jednadžbe, smanjujući izračune na operacije na matricama, što uvelike ubrzava proces. Osim toga, pojednostavljuje sistematizaciju velikih nizova podataka, uključujući one u elektroničkim računalnim uređajima.

Povijest pojavljivanja

Povjesničari pripisuju izum prvih matrica drevnim Kinezima. Prije više od 4000 godina, za vrijeme vladavine cara Yua Velikog, ti su se matematički objekti nazivali magični kvadrati i omogućavali su izvođenje složenih izračuna u nekoliko jednostavnih koraka.

Prema drevnoj kineskoj legendi, prvi magični kvadrat s hijeroglifima otkriven je na oklopu svete kornjače koja je izronila iz Žute rijeke 2200. godine prije Krista. Matrica je pronašla primjenu u trgovini i inženjerstvu, a potom se proširila u mnoge zemlje Starog istoka. U ranom srednjem vijeku o tome su saznali u arapskim zemljama, u 11. stoljeću - u Indiji, u 15.-16. stoljeću - u Japanu.

U Europi je magični kvadrat bio poznat tek na prijelazu iz 15. u 16. stoljeće - zahvaljujući bizantskom piscu Manuelu Moskopulu, koji ga je opisao u svojim spisima. Godine 1514. njemački slikar Albrecht Dürer uključio je magični kvadrat u svoju gravuru "Melankolija". Na njemu je, među ostalim predmetima, prikazan kvadrat u čijim je središnjim ćelijama upisan datum nastanka gravure.

U 16. stoljeću numeričke matrice postale su raširene među proricateljima i astrolozima, koji su čarobnom kvadratu davali mistična i ljekovita svojstva. Često se može naći na tadašnjim minijaturnim srebrnim gravurama koje su navodno štitile svoje vlasnike od kuge. Zatim, u 16. stoljeću, pronađene su praktične primjene za matrice u Europi. Njemački filozof Cornelius Heinrich Agrippa upotrijebio ih je za opisivanje gibanja 7 planeta konstruirajući kvadrate od 3. do 9. reda.

U 17. i 18. stoljeću istraživanja su nastavljena, a 1751. švicarski matematičar Gabriel Cramer objavio je novi način rješavanja algebarskih jednadžbi pomoću matrica s glavnom determinantom nula, na čemu je radio nekoliko desetljeća.

Otprilike u isto vrijeme objavljena je Gaussova metoda za rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi. Iako je danas njegovo ime neraskidivo povezano s imenom njemačkog matematičara, autorstvo, prema povjesničarima, ne pripada njemu. Dakle, ova metoda izračunavanja matrica bila je poznata 2000 godina prije života Carla Friedricha Gaussa, a predstavljena je u staroj kineskoj “Matematici u devet knjiga” u 2. stoljeću prije Krista.

Kako su se algebra i operacijski račun razvijali, zanimanje za matrice rasplamsalo se novom snagom u 19. i 20. stoljeću. Njihovo istraživanje proveli su istaknuti znanstvenici svog vremena: William Hamilton, Arthur Cayley i James Joseph Sylvester.

Do sredine 19. stoljeća konačno su formulirali pravila za zbrajanje i množenje matričnih tablica, a do početka 20. stoljeća teorijska baza je proširena studijama Karla Weierstrassa i Ferdinanda Georga Frobeniusa. Važno je napomenuti da je matrica dobila svoje moderno ime i oznaku tek 1841. godine - zahvaljujući engleskom matematičaru Arthuru Cayleyu.

Različite matrice

Standardna pravokutna matrica je brojčani niz s m brojem redaka i n brojem stupaca. Svi elementi u njemu su numerirani s lijeva na desno i odozgo prema dolje. Gornji red može se prikazati kao (a₁ a₂ a₃ ... aₙ), a donji red kao (aₘ₁ aₘ₂ aₘ₃ ... aₘₙ). Veličina matrice navedena je kao m × n, gdje su m i n prirodni brojevi.

Sukladno tome, da biste saznali ukupan broj elemenata u tablici, dovoljno je pomnožiti m s n: broj redaka s brojem stupaca. Koje još matrice postoje osim pravokutnih?

• Kvadrat. Imaju isti broj redaka i stupaca, odnosno m = n.
• Kao vektor stupac. Takva matrica ima n = 1, a veličina je navedena kao "m × 1". Svi brojevi u njemu numerirani su odozgo prema dolje: dvotočka (a₁ a₂ ... aₘ).
• Kao vektor retka. Matrica slična prethodnoj, ali s m = 1 i veličinom "1 × n". Brojevi u njemu numerirani su s lijeva na desno: red (a₁ a₂ ... aₙ).

Stupci i redovi označeni su velikim slovima (m, n), ali općenito se svaka matrica može prikazati kao K = M × N, čak i ako je jedna od vrijednosti jednaka jedan.

Također postoje transponirane, dijagonalne, identične i nulte matrice. U matrici identiteta svi elementi su jedinice; kada se pomnože s njom, svaka matrica ostaje nepromijenjena. U nuli, svi redovi i stupci sastoje se od nula, svaka matrica ostaje nepromijenjena kada joj se doda.