आव्यूह गणना

गणित में, रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को संक्षिप्त रूप से लिखने के लिए, आयताकार तालिकाओं के रूप में लिखे गए आव्यूहों का अक्सर उपयोग किया जाता है। इन तालिकाओं में, पंक्तियों की संख्या समीकरणों की संख्या से मेल खाती है, और स्तंभों की संख्या अज्ञात की संख्या से मेल खाती है। रिंग और फ़ील्ड के रूप में भी मैट्रिक्स हैं: जटिल और वास्तविक संख्याएँ लिखने के लिए।

मैट्रिक्स तालिकाओं की मदद से, आप बीजगणितीय और अंतर समीकरणों को हल कर सकते हैं, जिससे गणनाओं को मैट्रिक्स पर संचालन तक कम किया जा सकता है, जो प्रक्रिया को काफी तेज कर देता है। इसके अलावा, यह इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटिंग उपकरणों सहित बड़े डेटा सरणियों के व्यवस्थितकरण को सरल बनाता है।

घटना का इतिहास

इतिहासकार प्रथम मैट्रिक्स के आविष्कार का श्रेय प्राचीन चीनी को देते हैं। 4000 साल से भी पहले, सम्राट यू द ग्रेट के शासनकाल के दौरान, इन गणितीय वस्तुओं को जादुई वर्ग कहा जाता था, और जटिल गणनाओं को कुछ सरल चरणों में पूरा करने की अनुमति दी जाती थी।

प्राचीन चीनी किंवदंती के अनुसार, चित्रलिपि वाला पहला जादुई वर्ग 2200 ईसा पूर्व में पीली नदी से निकले एक पवित्र कछुए के खोल पर खोजा गया था। मैट्रिक्स को व्यापार और इंजीनियरिंग में आवेदन मिला, और बाद में प्राचीन पूर्व के कई देशों में फैल गया। प्रारंभिक मध्य युग के दौरान, उन्होंने इसके बारे में अरब देशों में, 11वीं शताब्दी में - भारत में, 15वीं-16वीं शताब्दी में - जापान में सीखा।

यूरोप में, मैजिक स्क्वायर केवल 15वीं-16वीं शताब्दी के अंत में जाना जाता था - बीजान्टिन लेखक मैनुअल मोस्खोपुल के लिए धन्यवाद, जिन्होंने अपने लेखन में इसका वर्णन किया था। 1514 में, जर्मन चित्रकार अल्ब्रेक्ट ड्यूरर ने अपने उत्कीर्णन "मेलानचोलिया" में एक जादुई वर्ग शामिल किया। इस पर, अन्य वस्तुओं के अलावा, एक वर्ग को दर्शाया गया है, जिसके केंद्रीय कक्षों में उत्कीर्णन के निर्माण की तारीख अंकित है।

16वीं शताब्दी में, भविष्यवक्ताओं और ज्योतिषियों के बीच संख्यात्मक मैट्रिक्स व्यापक हो गए, जिन्होंने जादुई वर्ग को रहस्यमय और उपचारात्मक गुण प्रदान किए। यह अक्सर उस समय की लघु चांदी की नक्काशी पर पाया जा सकता है, जो कथित तौर पर उनके मालिकों को प्लेग से बचाता था। फिर, 16वीं शताब्दी में, यूरोप में मैट्रिक्स के लिए व्यावहारिक अनुप्रयोग पाए गए। जर्मन दार्शनिक कॉर्नेलियस हेनरिक अग्रिप्पा ने तीसरे से नौवें क्रम तक वर्गों का निर्माण करके 7 ग्रहों की गति का वर्णन करने के लिए उनका उपयोग किया।

17वीं और 18वीं शताब्दी में, अनुसंधान जारी रहा, और 1751 में स्विस गणितज्ञ गेब्रियल क्रैमर ने शून्य प्रमुख निर्धारक वाले मैट्रिक्स का उपयोग करके बीजीय समीकरणों को हल करने का एक नया तरीका प्रकाशित किया, जिस पर वह कई दशकों से काम कर रहे थे।

लगभग उसी समय, रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए गॉस विधि प्रकाशित की गई थी। हालाँकि आज इसका नाम एक जर्मन गणितज्ञ के नाम के साथ अटूट रूप से जुड़ा हुआ है, लेकिन इतिहासकारों के अनुसार, इसका लेखकत्व उसका नहीं है। तो, मैट्रिक्स की गणना करने की यह विधि कार्ल फ्रेडरिक गॉस के जीवन से 2000 साल पहले ज्ञात थी, और दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व में प्राचीन चीनी "नौ पुस्तकों में गणित" में प्रस्तुत की गई थी।

जैसे-जैसे बीजगणित और परिचालन कलन का विकास हुआ, 19वीं और 20वीं शताब्दी में आव्यूहों में रुचि नए जोश के साथ बढ़ी। उनका अध्ययन उनके समय के प्रमुख वैज्ञानिकों द्वारा किया गया था: विलियम हैमिल्टन, आर्थर केली और जेम्स जोसेफ सिल्वेस्टर।

19वीं शताब्दी के मध्य तक, उन्होंने अंततः मैट्रिक्स तालिकाओं को जोड़ने और गुणा करने के नियम तैयार किए, और 20वीं शताब्दी की शुरुआत तक, कार्ल वीयरस्ट्रैस और फर्डिनेंड जॉर्ज फ्रोबेनियस के अध्ययन द्वारा सैद्धांतिक आधार का विस्तार किया गया। यह उल्लेखनीय है कि मैट्रिक्स को अपना आधुनिक नाम और पदनाम केवल 1841 में प्राप्त हुआ - अंग्रेजी गणितज्ञ आर्थर केली के लिए धन्यवाद।

मैट्रिसेस की किस्में

एक मानक आयताकार मैट्रिक्स एक संख्या श्रृंखला है जिसमें m पंक्तियों की संख्या और n स्तंभों की संख्या होती है। इसमें सभी तत्वों को बाएं से दाएं और ऊपर से नीचे तक क्रमांकित किया गया है। शीर्ष पंक्ति को (a₁ a₂ a₃ ... aₙ) के रूप में और निचली पंक्ति को (aₘ₁ aₘ₂ aₘ₃ ... aₘₙ) के रूप में दर्शाया जा सकता है। मैट्रिक्स का आकार m × n के रूप में निर्दिष्ट है, जहां m और n प्राकृतिक संख्याएं हैं।

तदनुसार, तालिका में तत्वों की कुल संख्या जानने के लिए, m को n से गुणा करना पर्याप्त है: पंक्तियों की संख्या को स्तंभों की संख्या से। आयताकार के अलावा अन्य कौन से मैट्रिक्स मौजूद हैं?

वर्ग। उनमें पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान है, अर्थात m = n।
एक कॉलम वेक्टर के रूप में। ऐसे मैट्रिक्स में n = 1 होता है, और आकार "m × 1" के रूप में निर्दिष्ट होता है। इसमें सभी संख्याएँ ऊपर से नीचे तक क्रमांकित हैं: कोलन (a₁ a₂ ... aₘ).
एक पंक्ति वेक्टर के रूप में। पिछले वाले के समान एक मैट्रिक्स, लेकिन m = 1 और आकार "1 × n" के साथ। इसमें संख्याओं को बाएँ से दाएँ क्रमांकित किया गया है: पंक्ति (a₁ a₂ ... aₙ)।

कॉलम और पंक्तियों को बड़े अक्षरों (एम, एन) द्वारा दर्शाया जाता है, लेकिन सामान्य शब्दों में, प्रत्येक मैट्रिक्स को के = एम × एन के रूप में दर्शाया जा सकता है, भले ही इनमें से एक मान एक के बराबर हो।

स्थानांतरित, विकर्ण, सर्वसमिका और शून्य आव्यूह भी होते हैं। पहचान मैट्रिक्स में, सभी तत्व इकाइयाँ हैं; जब इसे गुणा किया जाता है, तो कोई भी मैट्रिक्स अपरिवर्तित रहता है। शून्य में, सभी पंक्तियों और स्तंभों में शून्य होते हैं, इसमें जोड़े जाने पर प्रत्येक मैट्रिक्स अपरिवर्तित रहता है।

अधिकांश अन्य गणितीय वस्तुओं की तरह, मैट्रिक्स को जोड़ और घटाव, गुणा और भाग के साथ हेरफेर किया जा सकता है। इसके लिए, 17वीं-19वीं शताब्दी में वैज्ञानिकों द्वारा निकाले गए नियम और सूत्र हैं।

मैट्रिक्स संचालन

अतिरिक्त संचालन

एम पंक्तियों और एन कॉलम वाले किसी भी मैट्रिक्स को K = m × n के रूप में दर्शाया जा सकता है। यदि कई मैट्रिक्स एक साथ ऑपरेशन में शामिल होते हैं, तो उन्हें वर्णमाला के बड़े अक्षर दिए जाते हैं: ए, बी, सी, आदि। एक ही क्रम के मैट्रिक्स टेबल ए और बी को एक दूसरे में जोड़ने के लिए, आपको उनके सभी तत्वों को पंक्तियों में जोड़ना होगा एम और कॉलम एन बदले में। अर्थात्, अंतिम मैट्रिक्स C में, प्रत्येक तत्व इसके बराबर होगा:

сₘₙ = aₘₙ + bₘₙ.

चूंकि रैखिक स्थान के अभिगृहीतों का उपयोग अतिरिक्त रूप से किया जाता है, इसलिए प्रमेय मान्य हो जाता है, जिसके अनुसार फ़ील्ड P के तत्वों के साथ समान आकार के सभी आव्यूहों का सेट फ़ील्ड P पर एक रैखिक स्थान बनाता है। दूसरे शब्दों में, ऐसा प्रत्येक मैट्रिक्स इस स्थान (पी) का एक निर्देशित वेक्टर है। अतिरिक्त संचालन करते समय, मैट्रिक्स के दो मुख्य गुणों को ध्यान में रखा जाना चाहिए:

कम्यूटेटिविटी - ए + बी = बी + ए.
सहयोगिता - (ए + बी) + सी = ए + (बी + सी).

यदि हम एक साधारण मैट्रिक्स को शून्य के साथ जोड़ते हैं (जिसमें सभी तत्व शून्य हैं), तो हमें अभिव्यक्ति मिलती है: A + Ø = Ø + A = A. और जब हम इसे विपरीत मैट्रिक्स में जोड़ते हैं, तो हमें एक मिलता है शून्य एक: ए + (−ए) = Ø.

संख्या गुणन

एक मैट्रिक्स को एक संख्या से और दूसरे मैट्रिक्स से गुणा किया जा सकता है। पहले मामले में, m पंक्तियों और n स्तंभों के प्रत्येक तत्व को बारी-बारी से एक संख्या से गुणा किया जाता है। यदि हम संख्या को अक्षर λ से और मैट्रिक्स को अक्षर A से निरूपित करते हैं, तो हमें अभिव्यक्ति मिलती है:

A × λ = λ × aₘₙ.

गुणन के दौरान आव्यूहों के निम्नलिखित गुणों को ध्यान में रखा जाता है:

सहयोगिता - λ × β × A = λ × (β × A).
संख्यात्मक वितरण - (λ + β) × A = λ × A + β × A.
मैट्रिक्स वितरण - λ × (ए + बी) = λ × ए + λ × बी।

जब एक से गुणा किया जाता है, तो तालिका के सभी तत्व अपरिवर्तित रहते हैं, और जब शून्य से गुणा किया जाता है, तो वे शून्य में बदल जाते हैं।

मैट्रिक्स गुणन

गुणन का दूसरा प्रकार - एक मैट्रिक्स से दूसरे मैट्रिक्स, उदाहरण के लिए - ए × बी। उनके गुणन के बाद प्राप्त मैट्रिक्स सी में, प्रत्येक तत्व संबंधित पंक्ति में तत्वों के उत्पादों के योग के बराबर होगा पहला कारक और दूसरे का कॉलम। यह नियम केवल तभी मान्य है जब A और B आनुपातिक हों, अर्थात उनमें m पंक्तियों और n स्तंभों की संख्या समान हो। यदि m × n और n × k आव्यूहों को गुणा किया जाए, तो अंतिम मैट्रिक्स C का आयाम m × k होगा। जैसा कि संख्याओं के मामले में होता है, गुणा करते समय, आपको आव्यूहों के गुणों को ध्यान में रखना होगा:

सहयोगिता - (ए × बी) × सी = ए × (बी × सी).
नॉनकम्यूटेटिविटी - ए × बी ≠ बी × ए;
वितरक - (ए + बी) × सी = ए × सी + बी × सी।

कम्यूटेटिविटी केवल तब संरक्षित होती है जब पहचान मैट्रिक्स I से गुणा किया जाता है: A × I = I × A = A. और जब संख्या λ से गुणा किया जाता है, तो पहचान संरक्षित होती है: (λ × A) × B = A × (λ × बी) = λ × (ए×बी). एक आयताकार/वर्ग मैट्रिक्स को एक पंक्ति वेक्टर और एक कॉलम वेक्टर से भी गुणा किया जा सकता है। पहला इसके बाईं ओर लिखा गया है, और दूसरा दाईं ओर लिखा गया है: तत्वों के बाद के गुणन के साथ।

जहां मैट्रिक्स का उपयोग किया जाता है

गणित में (और रोजमर्रा की जिंदगी में) मैट्रिक्स के उपयोग का सबसे स्पष्ट उदाहरण गुणन तालिका है। यह 1 से 9 तक तत्वों वाले वेक्टर मैट्रिक्स के उत्पाद से ज्यादा कुछ नहीं है। यह सिद्धांत सभी कंप्यूटिंग उपकरणों के संचालन में अंतर्निहित है जो फ्लैट और त्रि-आयामी आंकड़ों के साथ काम करते हैं।

लिक्विड क्रिस्टल मॉनिटर का मैट्रिक्स शाब्दिक अर्थ में ऐसा होता है, और इसमें प्रत्येक तत्व एक संख्यात्मक मान वाला एक पिक्सेल होता है, जिस पर इसका रंग और चमक निर्भर करती है। मैट्रिक्स का भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है:

भौतिकी में, डेटा और उनके परिवर्तनों को रिकॉर्ड करने के साधन के रूप में।
प्रोग्रामिंग में, डेटा सरणियों का वर्णन और व्यवस्थित करने के लिए।
मनोविज्ञान में, मनोवैज्ञानिक वस्तुओं की अनुकूलता पर परीक्षण लिखने के लिए।

आज, मैट्रिक्स तालिकाओं का उपयोग अर्थशास्त्र और विपणन के साथ-साथ रसायन विज्ञान और जीव विज्ञान में भी किया जाता है। उच्च-क्रम मैट्रिक्स के साथ संचालन करने के लिए, बहुत अधिक कंप्यूटिंग शक्ति की आवश्यकता होती है। मन में या कागज पर, ऐसी गणना करना बहुत कठिन और समय लेने वाला है, इसलिए सुविधाजनक और उपयोग में आसान ऑनलाइन कैलकुलेटर विकसित किए गए हैं।

वे आपको सभी बुनियादी कार्यों को ऑनलाइन करने की अनुमति देंगे: गुणन, निर्धारक ढूंढना, ट्रांसपोज़ करना, एक घात तक बढ़ाना, रैंक ढूंढना, व्युत्क्रम आव्यूह खोजना, आदि। बस तालिका के खाली क्षेत्रों में मान दर्ज करें , वांछित बटन दबाएं और गणना भिन्न सेकंड में पूरी हो जाएगी।

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आव्यूह गणना