במתמטיקה, כדי לכתוב בצורה קומפקטית מערכות של משוואות ליניאריות, משתמשים לעתים קרובות במטריצות, הכתובות בצורה של טבלאות מלבניות. בטבלאות אלו, מספר השורות מתאים למספר המשוואות, ומספר העמודות מתאים למספר הלא ידועים. יש גם מטריצות בצורת טבעות ושדות: לכתיבת מספרים מרוכבים וממשיים.
בעזרת טבלאות מטריצות, ניתן לפתור משוואות אלגבריות ודיפרנציאליות, תוך הפחתת חישובים לפעולות על מטריצות, מה שמזרז מאוד את התהליך. בנוסף, זה מפשט את השיטתיות של מערכי נתונים גדולים, כולל אלה במכשירי מחשוב אלקטרוניים.
היסטוריה של התרחשות
היסטוריונים מייחסים את המצאת המטריצות הראשונות לסינים הקדומים. לפני יותר מ-4000 שנה, בתקופת שלטונו של הקיסר יו הגדול, העצמים המתמטיים הללו נקראו ריבועי קסם, ואפשרו לבצע חישובים מורכבים בכמה שלבים פשוטים.
לפי אגדה סינית עתיקה, ריבוע הקסם הראשון עם הירוגליפים התגלה על שריון של צב קדוש שעלה מהנהר הצהוב בשנת 2200 לפני הספירה. המטריצה מצאה יישום במסחר ובהנדסה, ולאחר מכן התפשטה למדינות רבות במזרח העתיק. במהלך ימי הביניים המוקדמים למדו על כך בארצות ערב, במאה ה-11 - בהודו, במאות ה-15-16 - ביפן.
באירופה, כיכר הקסם הייתה מוכרת רק בתחילת המאות ה-15-16 - הודות לסופר הביזנטי מנואל מוסקופול, שתיאר אותה בכתביו. בשנת 1514, הצייר הגרמני אלברכט דירר כלל ריבוע קסם בתחריט שלו "מלנכוליה". עליו, בין יתר החפצים, מתואר ריבוע שבתאיו המרכזיים רשום תאריך יצירת החריטה.
במאה ה-16, מטריצות מספריות הפכו נפוצות בקרב מגידי עתידות ואסטרולוגים, שהעניקו לכיכר הקסם תכונות מיסטיות ומרפאות. לעתים קרובות ניתן למצוא אותו על חריטות כסף מיניאטוריות של אותה תקופה, שכביכול הגנו על בעליהם מהמגפה. ואז, במאה ה-16, נמצאו יישומים מעשיים למטריצות באירופה. הפילוסוף הגרמני קורנליוס היינריך אגריפס השתמש בהם כדי לתאר את תנועת 7 כוכבי הלכת על ידי בניית ריבועים מהסדר ה-3 עד ה-9.
במאות ה-17 וה-18, המחקר נמשך, ובשנת 1751 פרסם המתמטיקאי השוויצרי גבריאל קראמר דרך חדשה לפתרון משוואות אלגבריות באמצעות מטריצות עם אפס קביעה עיקרית, עליה עבד במשך כמה עשורים.
בערך באותו זמן פורסמה שיטת גאוס לפתרון מערכת של משוואות אלגבריות ליניאריות. למרות שכיום שמו קשור באופן בל יינתק עם שמו של מתמטיקאי גרמני, הסופר, על פי היסטוריונים, אינו שייך לו. לכן, שיטה זו לחישוב מטריצות הייתה ידועה 2000 שנה לפני חייו של קרל פרידריך גאוס, והוצגה בסינית העתיקה "מתמטיקה בתשעה ספרים" במאה השנייה לפני הספירה.
ככל שהתפתחו האלגברה והחשבון התפעולי, העניין במטריצות התלקח במרץ מחודש במאות ה-19 וה-20. המחקר שלהם בוצע על ידי מדענים בולטים בתקופתם: וויליאם המילטון, ארתור קיילי וג'יימס ג'וזף סילבסטר.
באמצע המאה ה-19, הם גיבשו סוף סוף את הכללים לחיבור והכפלה של טבלאות מטריצות, ועד תחילת המאה ה-20 הורחב הבסיס התיאורטי על ידי מחקריהם של קארל ויירשטראס ופרדיננד גאורג פרובניוס. ראוי לציין כי המטריצה קיבלה את שמה ואת ייעודה המודרניים רק בשנת 1841 - הודות למתמטיקאי האנגלי ארתור קיילי.
זנים של מטריצות
מטריצה מלבנית סטנדרטית היא סדרת מספרים עם מספר m של שורות ומספר n של עמודות. כל האלמנטים בו ממוספרים משמאל לימין ומלמעלה למטה. השורה העליונה יכולה להיות מיוצגת בתור (a₁ a₂ a₃ ... aₙ) ואת השורה התחתונה בתור (aₘ₁ aₘ₂ aₘ₃ ... aₘₙ). גודל המטריצה מצוין כ-m × n, כאשר m ו-n הם מספרים טבעיים.
לפיכך, כדי לגלות את המספר הכולל של האלמנטים בטבלה, מספיק להכפיל את m ב-n: מספר השורות במספר העמודות. אילו עוד מטריצות קיימות מלבד מלבניות?
- ריבוע. יש להם אותו מספר של שורות ועמודות, כלומר, m = n.
- כווקטור עמודה. למטריצה כזו יש n = 1, והגודל מצוין כ- "m × 1". כל המספרים בו ממוספרים מלמעלה למטה: נקודתיים (a₁ a₂ ... aₘ).
- כווקטור שורה. מטריצה דומה לקודמתה, אך עם m = 1 וגודל "1 × n". המספרים שבו ממוספרים משמאל לימין: שורה (a₁ a₂ ... aₙ).
עמודות ושורות מסומנות באותיות גדולות (m, n), אך במונחים כלליים, כל מטריצה יכולה להיות מיוצגת כ-K = M × N, גם אם אחד מהערכים שווה לאחד.
יש גם מטריצות טרנספוזיות, אלכסוניות, זהות ואפס. במטריצת הזהות, כל האלמנטים הם יחידות; כאשר מכפילים אותה, כל מטריצה נשארת ללא שינוי. באפס, כל השורות והעמודות מורכבות מאפסים, כל מטריצה נשארת ללא שינוי כאשר מוסיפים לה.
