מחשבון מטריצות

במתמטיקה, כדי לכתוב בצורה קומפקטית מערכות של משוואות ליניאריות, משתמשים לעתים קרובות במטריצות, הכתובות בצורה של טבלאות מלבניות. בטבלאות אלו, מספר השורות מתאים למספר המשוואות, ומספר העמודות מתאים למספר הלא ידועים. יש גם מטריצות בצורת טבעות ושדות: לכתיבת מספרים מרוכבים וממשיים.

בעזרת טבלאות מטריצות, ניתן לפתור משוואות אלגבריות ודיפרנציאליות, תוך הפחתת חישובים לפעולות על מטריצות, מה שמזרז מאוד את התהליך. בנוסף, זה מפשט את השיטתיות של מערכי נתונים גדולים, כולל אלה במכשירי מחשוב אלקטרוניים.

היסטוריה של התרחשות

היסטוריונים מייחסים את המצאת המטריצות הראשונות לסינים הקדומים. לפני יותר מ-4000 שנה, בתקופת שלטונו של הקיסר יו הגדול, העצמים המתמטיים הללו נקראו ריבועי קסם, ואפשרו לבצע חישובים מורכבים בכמה שלבים פשוטים.

לפי אגדה סינית עתיקה, ריבוע הקסם הראשון עם הירוגליפים התגלה על שריון של צב קדוש שעלה מהנהר הצהוב בשנת 2200 לפני הספירה. המטריצה מצאה יישום במסחר ובהנדסה, ולאחר מכן התפשטה למדינות רבות במזרח העתיק. במהלך ימי הביניים המוקדמים למדו על כך בארצות ערב, במאה ה-11 - בהודו, במאות ה-15-16 - ביפן.

באירופה, כיכר הקסם הייתה מוכרת רק בתחילת המאות ה-15-16 - הודות לסופר הביזנטי מנואל מוסקופול, שתיאר אותה בכתביו. בשנת 1514, הצייר הגרמני אלברכט דירר כלל ריבוע קסם בתחריט שלו "מלנכוליה". עליו, בין יתר החפצים, מתואר ריבוע שבתאיו המרכזיים רשום תאריך יצירת החריטה.

במאה ה-16, מטריצות מספריות הפכו נפוצות בקרב מגידי עתידות ואסטרולוגים, שהעניקו לכיכר הקסם תכונות מיסטיות ומרפאות. לעתים קרובות ניתן למצוא אותו על חריטות כסף מיניאטוריות של אותה תקופה, שכביכול הגנו על בעליהם מהמגפה. ואז, במאה ה-16, נמצאו יישומים מעשיים למטריצות באירופה. הפילוסוף הגרמני קורנליוס היינריך אגריפס השתמש בהם כדי לתאר את תנועת 7 כוכבי הלכת על ידי בניית ריבועים מהסדר ה-3 עד ה-9.

במאות ה-17 וה-18, המחקר נמשך, ובשנת 1751 פרסם המתמטיקאי השוויצרי גבריאל קראמר דרך חדשה לפתרון משוואות אלגבריות באמצעות מטריצות עם אפס קביעה עיקרית, עליה עבד במשך כמה עשורים.

בערך באותו זמן פורסמה שיטת גאוס לפתרון מערכת של משוואות אלגבריות ליניאריות. למרות שכיום שמו קשור באופן בל יינתק עם שמו של מתמטיקאי גרמני, הסופר, על פי היסטוריונים, אינו שייך לו. לכן, שיטה זו לחישוב מטריצות הייתה ידועה 2000 שנה לפני חייו של קרל פרידריך גאוס, והוצגה בסינית העתיקה "מתמטיקה בתשעה ספרים" במאה השנייה לפני הספירה.

ככל שהתפתחו האלגברה והחשבון התפעולי, העניין במטריצות התלקח במרץ מחודש במאות ה-19 וה-20. המחקר שלהם בוצע על ידי מדענים בולטים בתקופתם: וויליאם המילטון, ארתור קיילי וג'יימס ג'וזף סילבסטר.

באמצע המאה ה-19, הם גיבשו סוף סוף את הכללים לחיבור והכפלה של טבלאות מטריצות, ועד תחילת המאה ה-20 הורחב הבסיס התיאורטי על ידי מחקריהם של קארל ויירשטראס ופרדיננד גאורג פרובניוס. ראוי לציין כי המטריצה קיבלה את שמה ואת ייעודה המודרניים רק בשנת 1841 - הודות למתמטיקאי האנגלי ארתור קיילי.

זנים של מטריצות

מטריצה מלבנית סטנדרטית היא סדרת מספרים עם מספר m של שורות ומספר n של עמודות. כל האלמנטים בו ממוספרים משמאל לימין ומלמעלה למטה. השורה העליונה יכולה להיות מיוצגת בתור (a₁ a₂ a₃ ... aₙ) ואת השורה התחתונה בתור (aₘ₁ aₘ₂ aₘ₃ ... aₘₙ). גודל המטריצה מצוין כ-m × n, כאשר m ו-n הם מספרים טבעיים.

לפיכך, כדי לגלות את המספר הכולל של האלמנטים בטבלה, מספיק להכפיל את m ב-n: מספר השורות במספר העמודות. אילו עוד מטריצות קיימות מלבד מלבניות?

ריבוע. יש להם אותו מספר של שורות ועמודות, כלומר, m = n.
כווקטור עמודה. למטריצה כזו יש n = 1, והגודל מצוין כ- "m × 1". כל המספרים בו ממוספרים מלמעלה למטה: נקודתיים (a₁ a₂ ... aₘ).
כווקטור שורה. מטריצה דומה לקודמתה, אך עם m = 1 וגודל "1 × n". המספרים שבו ממוספרים משמאל לימין: שורה (a₁ a₂ ... aₙ).

עמודות ושורות מסומנות באותיות גדולות (m, n), אך במונחים כלליים, כל מטריצה יכולה להיות מיוצגת כ-K = M × N, גם אם אחד מהערכים שווה לאחד.

יש גם מטריצות טרנספוזיות, אלכסוניות, זהות ואפס. במטריצת הזהות, כל האלמנטים הם יחידות; כאשר מכפילים אותה, כל מטריצה נשארת ללא שינוי. באפס, כל השורות והעמודות מורכבות מאפסים, כל מטריצה נשארת ללא שינוי כאשר מוסיפים לה.

מחשבון כפל מטריצות

כמו ברוב האובייקטים המתמטיים האחרים, ניתן לתפעל מטריצות באמצעות חיבור וחיסור, כפל וחילוק. לשם כך, ישנם כללים ונוסחאות, שנגזרו על ידי מדענים עוד במאות ה-17-19.

פעולות מטריצה

פעולות הוספה

כל מטריצה עם m שורות ו-n עמודות יכולה להיות מיוצגת כ-K = m × n. אם מספר מטריצות מעורבות בפעולה בו-זמנית, מוקצות להן אותיות גדולות אלפביתיות: A, B, C וכו'. כדי להוסיף טבלאות מטריצות A ו-B באותו סדר אחת לשנייה, עליך להוסיף את כל האלמנטים שלהן בשורות m ועמודות n בתורו . כלומר, במטריצה הסופית C, כל אלמנט יהיה שווה ל:

сₘₙ = aₘₙ + bₘₙ.

מאחר ובנוסף נעשה שימוש באקסיומות של המרחב הליניארי, המשפט מקבל תוקף, לפיו קבוצת כל המטריצות בגודל זהה עם אלמנטים מהשדה P יוצרת מרחב ליניארי מעל השדה P. במילים אחרות, כל מטריצה כזו היא וקטור מכוון של המרחב הזה (P). בעת ביצוע פעולות הוספה, יש לקחת בחשבון שני מאפיינים עיקריים של מטריצות:

קומוטטיביות - A + B = B + A.
אסוציאטיביות - (A + B) + C = A + (B + C).

אם נוסיף מטריצה רגילה עם אפס אחד (שכל האלמנטים בה הם אפסים), נקבל את הביטוי: A + Ø = Ø + A = A. וכאשר נוסיף אותה למטריצה ההפוכה, נקבל א. אפס אחד: A + (−A) = Ø.

כפל מספרים

ניתן להכפיל מטריצה במספר ובמטריקס אחר. במקרה הראשון, כל אלמנט מ-m שורות ו-n עמודות מוכפל במספר בתורו. אם נסמן את המספר באות λ, ואת המטריצה באות A, נקבל את הביטוי:

A × λ = λ × aₘₙ.

התכונות הבאות של מטריצות נלקחות בחשבון במהלך הכפל:

אסוציאטיביות - λ × β × A = λ × (β × A).
התפלגות מספרית - (λ + β) × A = λ × A + β × A.
התפלגות מטריצה - λ × (A + B) = λ × A + λ × B.

כאשר מכפילים באחד, כל רכיבי הטבלה נשארים ללא שינוי, וכאשר מכפילים אותם באפס, הם הופכים לאפסים.

כפל מטריצת

הגרסה השנייה של הכפל - מטריצה אחת באחרת, למשל - A × B. במטריצה C המתקבלת לאחר הכפל שלהם, כל אלמנט יהיה שווה לסכום מכפלת היסודות בשורה המתאימה של ה- הגורם הראשון והעמוד של השני. כלל זה תקף רק אם A ו-B פרופורציונליים, כלומר, יש להם אותו מספר של m שורות ו-n עמודות. אם מטריצות m × n ו-n × k מוכפלות, הממד של המטריצה הסופית C יהיה m × k. כמו במקרה של מספרים, בעת הכפלה, עליך לקחת בחשבון את המאפיינים של מטריצות:

אסוציאטיביות - (A × B) × C = A × (B × C).
אי-קוממוטטיביות - A × B ≠ B × A;
חלוקה - (A + B) × C = A × C + B × C.

הקומוטטיביות נשמרת רק כאשר מכפילים את מטריצת הזהות I: A × I = I × A = A. וכאשר מכפילים את המספר λ, הזהות נשמרת: (λ × A) × B = A × (λ × B) = λ × (A×B). ניתן להכפיל מטריצה מלבנית/מרובעת גם בוקטור שורה ובוקטור עמודה. הראשון כתוב משמאלו, והשני כתוב מימין: עם הכפלה של אלמנטים לאחר מכן.

היכן נעשה שימוש במטריצות

הדוגמה הברורה ביותר לשימוש במטריצות במתמטיקה (ובחיי היומיום) היא לוח הכפל. זה לא יותר מאשר מכפלה של מטריצות וקטוריות עם אלמנטים מ-1 עד 9. עיקרון זה טבוע בפעולה של כל מכשירי המחשוב שעובדים עם דמויות שטוחות ותלת מימדיות.

המטריקס של צג גביש נוזלי הוא כזה במובן המילולי, וכל אלמנט בו הוא פיקסל בעל ערך מספרי, שבו תלויים הגוון והבהירות שלו. מטריצות נמצאות גם בשימוש נרחב:

בפיסיקה, כאמצעי לרישום נתונים והטרנספורמציות שלהם.
בתכנות, לתיאור ולארגן מערכי נתונים.
בפסיכולוגיה, לכתיבת מבחנים על תאימות של אובייקטים פסיכולוגיים.

היום, טבלאות מטריצות משמשות אפילו בכלכלה ושיווק, כמו גם בכימיה וביולוגיה. כדי לבצע פעולות עם מטריצות מסדר גבוה, יש צורך בכוח מחשוב רב. במחשבה או על הנייר, קשה מדי וגוזל זמן לבצע חישובים כאלה, ולכן פותחו מחשבונים מקוונים נוחים וקלים לשימוש.

הם יאפשרו לך לבצע את כל הפעולות הבסיסיות באינטרנט: כפל, מציאת קובעים, טרנספוזיציה, העלאה לחזקה, מציאת דרגות, מציאת מטריצות הפוכות וכו'. פשוט הזן את הערכים בשדות הריקים של הטבלה , לחץ על הכפתור הרצוי והחישוב יתבצע בשברירי שניות.

מחשבון מטריצות

כלים אחרים