En mathématiques, pour écrire de manière compacte des systèmes d'équations linéaires, on utilise souvent des matrices, écrites sous la forme de tableaux rectangulaires. Dans ces tableaux, le nombre de lignes correspond au nombre d'équations, et le nombre de colonnes correspond au nombre d'inconnues. Il existe aussi des matrices sous forme d'anneaux et de champs : pour écrire des nombres complexes et réels.
Avec l'aide de tableaux matriciels, vous pouvez résoudre des équations algébriques et différentielles, en réduisant les calculs à des opérations sur des matrices, ce qui accélère considérablement le processus. En outre, il simplifie la systématisation de grands tableaux de données, y compris ceux des appareils informatiques électroniques.
Historique des occurrences
Les historiens attribuent l'invention des premières matrices aux anciens Chinois. Il y a plus de 4000 ans, sous le règne de l'empereur Yu le Grand, ces objets mathématiques étaient appelés carrés magiques et permettaient d'effectuer des calculs complexes en quelques étapes simples.
Selon une ancienne légende chinoise, le premier carré magique avec des hiéroglyphes a été découvert sur la carapace d'une tortue sacrée qui a fait surface depuis le fleuve Jaune en 2200 av. La matrice a trouvé une application dans le commerce et l'ingénierie, puis s'est répandue dans de nombreux pays de l'Orient ancien. Au haut Moyen Âge, ils l'ont appris dans les pays arabes, au XIe siècle - en Inde, aux XVe-XVIe siècles - au Japon.
En Europe, le carré magique n'était connu qu'au tournant des XVe et XVIe siècles - grâce à l'écrivain byzantin Manuel Moskhopul, qui l'a décrit dans ses écrits. En 1514, le peintre allemand Albrecht Dürer inclut un carré magique dans sa gravure "Melancholia". Sur celui-ci, entre autres objets, un carré est représenté, dans les cellules centrales duquel est inscrite la date de création de la gravure.
Au XVIe siècle, les matrices numériques se sont répandues parmi les devins et les astrologues, qui ont donné au carré magique des propriétés mystiques et curatives. On le retrouve souvent sur des gravures miniatures en argent de l'époque, censées protéger leurs propriétaires de la peste. Puis, au XVIe siècle, des applications pratiques ont été trouvées pour les matrices en Europe. Le philosophe allemand Cornelius Heinrich Agrippa les a utilisés pour décrire le mouvement des 7 planètes en construisant des carrés du 3ème au 9ème ordre.
Aux XVIIe et XVIIIe siècles, les recherches se poursuivent et, en 1751, le mathématicien suisse Gabriel Cramer publie une nouvelle façon de résoudre les équations algébriques à l'aide de matrices à déterminant principal nul, sur laquelle il travaille depuis plusieurs décennies.
À peu près au même moment, la méthode de Gauss pour résoudre un système d'équations algébriques linéaires a été publiée. Bien qu'aujourd'hui son nom soit inextricablement associé au nom d'un mathématicien allemand, la paternité, selon les historiens, ne lui appartient pas. Ainsi, cette méthode de calcul des matrices était connue 2000 ans avant la vie de Carl Friedrich Gauss et a été présentée dans l'ancien chinois "Mathematics in Nine Books" au 2ème siècle avant JC.
Avec le développement de l'algèbre et du calcul opérationnel, l'intérêt pour les matrices a augmenté avec une vigueur renouvelée aux XIXe et XXe siècles. Leur étude a été menée par d'éminents scientifiques de leur époque : William Hamilton, Arthur Cayley et James Joseph Sylvester.
Au milieu du 19e siècle, ils ont finalement formulé les règles d'addition et de multiplication des tables matricielles, et au début du 20e siècle, la base théorique a été élargie par les études de Karl Weierstrass et Ferdinand Georg Frobenius. Il est à noter que la matrice n'a reçu son nom et sa désignation modernes qu'en 1841 - grâce au mathématicien anglais Arthur Cayley.
Variétés de matrices
Une matrice rectangulaire standard est une série de nombres avec m nombre de lignes et n nombre de colonnes. Tous les éléments qu'il contient sont numérotés de gauche à droite et de haut en bas. La rangée supérieure peut être représentée par (a₁ a₂ a₃ ... aₙ) et la rangée inférieure par (aₘ₁ aₘ₂ aₘ₃ ... aₘₙ). La taille de la matrice est spécifiée sous la forme m × n, où m et n sont des nombres naturels.
Ainsi, pour connaître le nombre total d'éléments du tableau, il suffit de multiplier m par n : le nombre de lignes par le nombre de colonnes. Quelles autres matrices existent à part rectangulaire ?
- Carré. Ils ont le même nombre de lignes et de colonnes, c'est-à-dire m = n.
- Comme un vecteur colonne. Une telle matrice a n = 1, et la taille est spécifiée comme "m × 1". Tous les nombres qu'il contient sont numérotés de haut en bas : deux-points (a₁ a₂ ... aₘ).
- Comme un vecteur ligne. Une matrice similaire à la précédente, mais avec m = 1 et de taille "1 × n". Les chiffres qu'il contient sont numérotés de gauche à droite : ligne (a₁ a₂ ... aₙ).
Les colonnes et les lignes sont désignées par des lettres majuscules (m, n), mais en termes généraux, chaque matrice peut être représentée par K = M × N, même si l'une des valeurs est égale à un.
Il existe également des matrices transposées, diagonales, identité et nulles. Dans la matrice d'identité, tous les éléments sont des unités ; lorsqu'ils sont multipliés par elle, toute matrice reste inchangée. En zéro, toutes les lignes et colonnes sont constituées de zéros, chaque matrice reste inchangée lorsqu'elle y est ajoutée.
