Matriisilaskin

Muut työkalut

Pinta-alalaskin{$ ',' | translate $}
Ympärysmittalaskin{$ ',' | translate $}
Tilavuuslaskin{$ ',' | translate $}
Kertotaulu{$ ',' | translate $}
Jaksollinen järjestelmä{$ ',' | translate $}
PYT-laskin{$ ',' | translate $}
Trigonometrialaskin{$ ',' | translate $}
SYT-laskin

Matriisilaskin

Matematiikassa lineaaristen yhtälöjärjestelmien tiiviiseen kirjoittamiseen käytetään usein matriiseja, jotka on kirjoitettu suorakulmaisten taulukoiden muodossa. Näissä taulukoissa rivien määrä vastaa yhtälöiden määrää ja sarakkeiden lukumäärä vastaa tuntemattomien määrää. Matriiseja on myös renkaiden ja kenttien muodossa: kompleksi- ja reaalilukujen kirjoittamiseen.

Matriisitaulukoiden avulla voit ratkaista algebrallisia ja differentiaaliyhtälöitä vähentämällä laskutoimituksia matriisioperaatioiksi, mikä nopeuttaa prosessia huomattavasti. Lisäksi se yksinkertaistaa suurten tietoryhmien systematisointia, myös elektronisissa tietokoneissa.

Tapahtumahistoria

Historioitsijat pitävät ensimmäisten matriisien keksimisen muinaisten kiinalaisten ansioksi. Yli 4 000 vuotta sitten, keisari Yu Suuren hallituskaudella, näitä matemaattisia esineitä kutsuttiin maagisiksi neliöiksi, ja ne mahdollistivat monimutkaisten laskelmien suorittamisen muutamassa yksinkertaisessa vaiheessa.

Muinaisen kiinalaisen legendan mukaan ensimmäinen hieroglyfeillä varustettu maaginen neliö löydettiin Keltaisesta joesta vuonna 2200 eKr. nousseen pyhän kilpikonnan kuoresta. Matriisi löysi sovelluksen kaupassa ja tekniikassa, ja levisi myöhemmin moniin muinaisen idän maihin. Varhaiskeskiajalla he oppivat siitä arabimaissa, 1000-luvulla - Intiassa, 1400-1500-luvuilla - Japanissa.

Euroopassa maaginen neliö tunnettiin vasta 1400-1500-luvun vaihteessa – kiitos bysanttilaisen kirjailijan Manuel Moskhopulin, joka kuvaili sitä kirjoituksissaan. Vuonna 1514 saksalainen taidemaalari Albrecht Dürer sisällytti maagisen neliön kaiverrukseensa "Melancholia". Siinä on muiden esineiden ohella kuvattu neliö, jonka keskisoluihin kaiverruksen luomispäivämäärä on kaiverrettu.

1500-luvulla numeeriset matriisit yleistyivät ennustajien ja astrologien keskuudessa, mikä antoi taikaneliölle mystisiä ja parantavia ominaisuuksia. Se löytyy usein aikansa pienoishopeakaiverruksista, jotka oletettavasti suojelivat omistajiaan rutolta. Sitten, 1500-luvulla, matriiseille löydettiin käytännön sovelluksia Euroopassa. Saksalainen filosofi Cornelius Heinrich Agrippa käytti niitä kuvaamaan 7 planeetan liikettä rakentamalla neliöitä 3.–9. järjestyksessä.

1600- ja 1700-luvuilla tutkimus jatkui, ja vuonna 1751 sveitsiläinen matemaatikko Gabriel Cramer julkaisi uuden tavan ratkaista algebrallisia yhtälöitä käyttämällä nollapäädeterminanttia sisältäviä matriiseja, joita hän oli työstänyt useita vuosikymmeniä.

Suurin samaan aikaan julkaistiin Gaussin menetelmä lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseksi. Vaikka nykyään sen nimi liittyy erottamattomasti saksalaisen matemaatikon nimeen, kirjoittaja ei historioitsijoiden mukaan kuulu hänelle. Joten tämä matriisien laskentamenetelmä tunnettiin 2000 vuotta ennen Carl Friedrich Gaussin elämää, ja se esiteltiin muinaisessa kiinalaisessa "Matematiikka yhdeksässä kirjassa" 200-luvulla eKr..

Algebran ja operatiivisen laskennan kehittyessä kiinnostus matriiseja kohtaan heräsi uudella voimalla 1800- ja 1900-luvuilla. Heidän tutkimuksensa suorittivat aikansa kuuluisat tiedemiehet: William Hamilton, Arthur Cayley ja James Joseph Sylvester.

1800-luvun puoliväliin mennessä he lopulta muotoilivat matriisitaulukoiden yhteen- ja kertolaskusäännöt, ja 1900-luvun alkuun mennessä teoreettista pohjaa laajensivat Karl Weierstrassin ja Ferdinand Georg Frobeniuksen tutkimukset. On huomionarvoista, että matriisi sai nykyaikaisen nimensä ja nimityksensä vasta vuonna 1841 – kiitos englantilaisen matemaatikon Arthur Cayleyn.

Matriisien lajikkeet

Tavallinen suorakaiteen muotoinen matriisi on numerosarja, jossa on m riviä ja n sarakkeita. Kaikki sen elementit on numeroitu vasemmalta oikealle ja ylhäältä alas. Ylärivi voidaan esittää muodossa (a₁ a₂ a₃ ... aₙ) ja alarivi muodossa (aₘ₁ aₘ₂ aₘ₃ ... aₘₙ). Matriisin koko määritellään muodossa m × n, missä m ja n ovat luonnollisia lukuja.

Taulukon elementtien kokonaismäärän selvittämiseksi riittää, että m kerrotaan n:llä: rivien lukumäärä sarakkeiden lukumäärällä. Mitä muita matriiseja on olemassa kuin suorakulmainen?

Neliö. Niissä on sama määrä rivejä ja sarakkeita, eli m = n.
Sarakevektorina. Tällaisella matriisilla on n = 1 ja kooksi määritetään "m × 1". Kaikki siinä olevat numerot on numeroitu ylhäältä alas: kaksoispiste (a₁ a₂ ... aₘ).
Rivivektorina. Matriisi, joka on samanlainen kuin edellinen, mutta m = 1 ja koko "1 × n". Siinä olevat numerot on numeroitu vasemmalta oikealle: rivi (a₁ a₂ ... aₙ).

Sarakkeet ja rivit on merkitty isoilla kirjaimilla (m, n), mutta yleisesti ottaen jokainen matriisi voidaan esittää muodossa K = M × N, vaikka yksi arvoista olisi yksi.

Siellä on myös transponoituja, diagonaali-, identiteetti- ja nollamatriiseja. Identiteettimatriisissa kaikki elementit ovat yksiköitä, sillä kerrottuna mikä tahansa matriisi pysyy muuttumattomana. Nollassa kaikki rivit ja sarakkeet koostuvat nollista, jokainen matriisi pysyy muuttumattomana, kun se lisätään siihen.

Laskin matriisien kertomiseen

Kuten useimpia muitakin matemaattisia objekteja, matriiseja voidaan käsitellä yhteen- ja vähennyslaskulla, kerto- ja jakolaskulla. Tätä varten on olemassa sääntöjä ja kaavoja, jotka tiedemiehet ovat kehittäneet 1600- ja 1800-luvuilla.

Matriisioperaatiot

Lisäystoiminnot

Mikä tahansa matriisi, jossa on m riviä ja n saraketta, voidaan esittää muodossa K = m × n. Jos operaatiossa on mukana useita matriiseja kerralla, niille annetaan aakkoset isot kirjaimet: A, B, C jne. Jos haluat lisätä samassa järjestyksessä olevia matriisitaulukoita A ja B toisiinsa, sinun on lisättävä kaikki niiden elementit riveihin m ja sarakkeet n vuorotellen . Toisin sanoen lopullisessa matriisissa C jokainen elementti on yhtä suuri kuin:

сₘₙ = aₘₙ + bₘₙ.

Koska lineaarisen avaruuden aksioomia käytetään lisäksi, tulee päteväksi lause, jonka mukaan kaikkien samankokoisten matriisien joukko kentän P elementeillä muodostaa lineaariavaruuden kentän P päälle. jokainen tällainen matriisi on tämän avaruuden (P) suunnattu vektori. Summausoperaatioita suoritettaessa tulee ottaa huomioon kaksi matriisien pääominaisuutta:

Kommutatiivisuus - A + B = B + A.
Assosiatiivisuus - (A + B) + C = A + (B + C).

Jos lisäämme tavallisen matriisin, jossa on nolla yksi (jonka kaikki elementit ovat nollia), saadaan lauseke: A + Ø = Ø + A = A. Ja kun lisäämme sen vastakkaiseen matriisiin, saamme nolla yksi: A + (−A) = Ø.

Numeroiden kertolasku

Matriisi voidaan kertoa luvulla ja toisella matriisilla. Ensimmäisessä tapauksessa jokainen elementti m rivistä ja n sarakkeesta kerrotaan numerolla vuorotellen. Jos merkitsemme numeroa kirjaimella λ ja matriisia kirjaimella A, saadaan lauseke:

A × λ = λ × aₘₙ.

Seuraavat matriisien ominaisuudet otetaan huomioon kertolaskussa:

Assosiatiivisuus - λ × β × A = λ × (β × A).
Numeerinen jakautuvuus - (λ + β) × A = λ × A + β × A.
Matriisin jakautuminen - λ × (A + B) = λ × A + λ × B.

Kun kerrotaan yhdellä, kaikki taulukon elementit pysyvät muuttumattomina, ja nollalla kerrottaessa ne muuttuvat nolliksi.

Matriisi kertominen

Toinen kertolaskumuunnos - yksi matriisi toisella, esimerkiksi - A × B. Niiden kertomisen jälkeen saadussa matriisissa C kukin alkio on yhtä suuri kuin vastaavan rivin alkioiden tulojen summa. ensimmäinen tekijä ja toisen sarake. Tämä sääntö pätee vain, jos A ja B ovat suhteellisia, eli niillä on sama määrä m riviä ja n saraketta. Jos m × n ja n × k matriisit kerrotaan, lopullisen matriisin C mitta on m × k. Kuten lukujen tapauksessa, kerrottaessa on otettava huomioon matriisien ominaisuudet:

Assosiatiivisuus - (A × B) × C = A × (B × C).
Ei-kommutatiivisuus - A × B ≠ B × A;
Jakauma - (A + B) × C = A × C + B × C.

Kommutatiivisuus säilyy vain, kun se kerrotaan identiteettimatriisilla I: A × I = I × A = A. Ja kun kerrotaan luvulla λ, identiteetti säilyy: (λ × A) × B = A × (λ × B) = λ × (A × B). Suorakaide/neliömatriisi voidaan myös kertoa rivivektorilla ja sarakevektorilla. Ensimmäinen kirjoitetaan sen vasemmalle puolelle ja toinen oikealle: seuraavalla elementtien kertolaskulla.

Missä matriiseja käytetään

Ilmeisin esimerkki matriisien käytöstä matematiikassa (ja jokapäiväisessä elämässä) on kertotaulukko. Se ei ole muuta kuin vektorimatriisien tulo, joiden alkiot ovat 1-9. Tämä periaate sisältyy kaikkien litteiden ja kolmiulotteisten kuvioiden kanssa toimivien tietokonelaitteiden toimintaan.

Nestekidenäytön matriisi on sellainen kirjaimellisessa mielessä, ja jokainen elementti siinä on pikseli, jolla on numeerinen arvo, josta sen sävy ja kirkkaus riippuvat. Matriiseja käytetään myös laajalti:

Fysiikassa keinona tallentaa tietoja ja niiden muunnoksia.
Ohjelmoinnissa tietotaulukoiden kuvaamiseen ja järjestämiseen.
Psykologiassa psykologisten objektien yhteensopivuutta koskevien testien kirjoittamiseen.

Nykyään matriisitaulukoita käytetään jopa taloustieteessä ja markkinoinnissa sekä kemiassa ja biologiassa. Suorittaaksesi operaatioita korkean asteen matriiseilla, tarvitaan paljon laskentatehoa. Tällaisten laskelmien tekeminen mielessä tai paperilla on liian vaikeaa ja aikaa vievää, joten käteviä ja helppokäyttöisiä verkkolaskimia on kehitetty.

Niiden avulla voit suorittaa kaikki perustoiminnot verkossa: kertolasku, determinanttien etsiminen, transponointi, potenssiin korottaminen, aseiden etsiminen, käänteismatriisien etsiminen jne. Syötä arvot taulukon tyhjiin kenttiin. , paina haluamaasi painiketta ja laskenta suoritetaan sekunnin murto-osissa.