Matematiikassa lineaaristen yhtälöjärjestelmien tiiviiseen kirjoittamiseen käytetään usein matriiseja, jotka on kirjoitettu suorakulmaisten taulukoiden muodossa. Näissä taulukoissa rivien määrä vastaa yhtälöiden määrää ja sarakkeiden lukumäärä vastaa tuntemattomien määrää. Matriiseja on myös renkaiden ja kenttien muodossa: kompleksi- ja reaalilukujen kirjoittamiseen.
Matriisitaulukoiden avulla voit ratkaista algebrallisia ja differentiaaliyhtälöitä vähentämällä laskutoimituksia matriisioperaatioiksi, mikä nopeuttaa prosessia huomattavasti. Lisäksi se yksinkertaistaa suurten tietoryhmien systematisointia, myös elektronisissa tietokoneissa.
Tapahtumahistoria
Historioitsijat pitävät ensimmäisten matriisien keksimisen muinaisten kiinalaisten ansioksi. Yli 4 000 vuotta sitten, keisari Yu Suuren hallituskaudella, näitä matemaattisia esineitä kutsuttiin maagisiksi neliöiksi, ja ne mahdollistivat monimutkaisten laskelmien suorittamisen muutamassa yksinkertaisessa vaiheessa.
Muinaisen kiinalaisen legendan mukaan ensimmäinen hieroglyfeillä varustettu maaginen neliö löydettiin Keltaisesta joesta vuonna 2200 eKr. nousseen pyhän kilpikonnan kuoresta. Matriisi löysi sovelluksen kaupassa ja tekniikassa, ja levisi myöhemmin moniin muinaisen idän maihin. Varhaiskeskiajalla he oppivat siitä arabimaissa, 1000-luvulla - Intiassa, 1400-1500-luvuilla - Japanissa.
Euroopassa maaginen neliö tunnettiin vasta 1400-1500-luvun vaihteessa – kiitos bysanttilaisen kirjailijan Manuel Moskhopulin, joka kuvaili sitä kirjoituksissaan. Vuonna 1514 saksalainen taidemaalari Albrecht Dürer sisällytti maagisen neliön kaiverrukseensa "Melancholia". Siinä on muiden esineiden ohella kuvattu neliö, jonka keskisoluihin kaiverruksen luomispäivämäärä on kaiverrettu.
1500-luvulla numeeriset matriisit yleistyivät ennustajien ja astrologien keskuudessa, mikä antoi taikaneliölle mystisiä ja parantavia ominaisuuksia. Se löytyy usein aikansa pienoishopeakaiverruksista, jotka oletettavasti suojelivat omistajiaan rutolta. Sitten, 1500-luvulla, matriiseille löydettiin käytännön sovelluksia Euroopassa. Saksalainen filosofi Cornelius Heinrich Agrippa käytti niitä kuvaamaan 7 planeetan liikettä rakentamalla neliöitä 3.–9. järjestyksessä.
1600- ja 1700-luvuilla tutkimus jatkui, ja vuonna 1751 sveitsiläinen matemaatikko Gabriel Cramer julkaisi uuden tavan ratkaista algebrallisia yhtälöitä käyttämällä nollapäädeterminanttia sisältäviä matriiseja, joita hän oli työstänyt useita vuosikymmeniä.
Suurin samaan aikaan julkaistiin Gaussin menetelmä lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseksi. Vaikka nykyään sen nimi liittyy erottamattomasti saksalaisen matemaatikon nimeen, kirjoittaja ei historioitsijoiden mukaan kuulu hänelle. Joten tämä matriisien laskentamenetelmä tunnettiin 2000 vuotta ennen Carl Friedrich Gaussin elämää, ja se esiteltiin muinaisessa kiinalaisessa "Matematiikka yhdeksässä kirjassa" 200-luvulla eKr..
Algebran ja operatiivisen laskennan kehittyessä kiinnostus matriiseja kohtaan heräsi uudella voimalla 1800- ja 1900-luvuilla. Heidän tutkimuksensa suorittivat aikansa kuuluisat tiedemiehet: William Hamilton, Arthur Cayley ja James Joseph Sylvester.
1800-luvun puoliväliin mennessä he lopulta muotoilivat matriisitaulukoiden yhteen- ja kertolaskusäännöt, ja 1900-luvun alkuun mennessä teoreettista pohjaa laajensivat Karl Weierstrassin ja Ferdinand Georg Frobeniuksen tutkimukset. On huomionarvoista, että matriisi sai nykyaikaisen nimensä ja nimityksensä vasta vuonna 1841 – kiitos englantilaisen matemaatikon Arthur Cayleyn.
Matriisien lajikkeet
Tavallinen suorakaiteen muotoinen matriisi on numerosarja, jossa on m riviä ja n sarakkeita. Kaikki sen elementit on numeroitu vasemmalta oikealle ja ylhäältä alas. Ylärivi voidaan esittää muodossa (a₁ a₂ a₃ ... aₙ) ja alarivi muodossa (aₘ₁ aₘ₂ aₘ₃ ... aₘₙ). Matriisin koko määritellään muodossa m × n, missä m ja n ovat luonnollisia lukuja.
Taulukon elementtien kokonaismäärän selvittämiseksi riittää, että m kerrotaan n:llä: rivien lukumäärä sarakkeiden lukumäärällä. Mitä muita matriiseja on olemassa kuin suorakulmainen?
- Neliö. Niissä on sama määrä rivejä ja sarakkeita, eli m = n.
- Sarakevektorina. Tällaisella matriisilla on n = 1 ja kooksi määritetään "m × 1". Kaikki siinä olevat numerot on numeroitu ylhäältä alas: kaksoispiste (a₁ a₂ ... aₘ).
- Rivivektorina. Matriisi, joka on samanlainen kuin edellinen, mutta m = 1 ja koko "1 × n". Siinä olevat numerot on numeroitu vasemmalta oikealle: rivi (a₁ a₂ ... aₙ).
Sarakkeet ja rivit on merkitty isoilla kirjaimilla (m, n), mutta yleisesti ottaen jokainen matriisi voidaan esittää muodossa K = M × N, vaikka yksi arvoista olisi yksi.
Siellä on myös transponoituja, diagonaali-, identiteetti- ja nollamatriiseja. Identiteettimatriisissa kaikki elementit ovat yksiköitä, sillä kerrottuna mikä tahansa matriisi pysyy muuttumattomana. Nollassa kaikki rivit ja sarakkeet koostuvat nollista, jokainen matriisi pysyy muuttumattomana, kun se lisätään siihen.
