ماشین حساب ماتریس

در ریاضیات، برای نوشتن فشرده سیستم های معادلات خطی، اغلب از ماتریس ها استفاده می شود که به شکل جداول مستطیلی نوشته می شوند. در این جداول تعداد سطرها با تعداد معادلات و تعداد ستون ها با تعداد مجهولات مطابقت دارد. همچنین ماتریس هایی به شکل حلقه و فیلد وجود دارد: برای نوشتن اعداد مختلط و واقعی.

با کمک جداول ماتریسی، می‌توانید معادلات جبری و دیفرانسیل را حل کنید و محاسبات را به عملیات روی ماتریس‌ها کاهش دهید، که این روند را به شدت تسریع می‌کند. علاوه بر این، سیستم‌بندی آرایه‌های داده بزرگ، از جمله آرایه‌های موجود در دستگاه‌های محاسباتی الکترونیکی را ساده می‌کند.

سابقه وقوع

مورخان اختراع اولین ماتریس ها را به چینی های باستان نسبت می دهند. بیش از 4000 سال پیش، در زمان امپراتور یو کبیر، این اشیاء ریاضی مربع جادویی نامیده می شدند و اجازه می دادند محاسبات پیچیده را در چند مرحله ساده انجام دهند.

طبق افسانه باستانی چینی، اولین مربع جادویی با هیروگلیف بر روی پوسته لاک پشت مقدسی که در سال 2200 قبل از میلاد از رودخانه زرد ظاهر شد، کشف شد. این ماتریس در تجارت و مهندسی کاربرد پیدا کرد و متعاقباً در بسیاری از کشورهای شرق باستان گسترش یافت. در اوایل قرون وسطی، آنها در مورد آن در کشورهای عربی، در قرن یازدهم - در هند، در قرن های 15-16 - در ژاپن یاد گرفتند.

در اروپا، میدان جادویی تنها در اواخر قرن 15-16 شناخته شده بود - به لطف نویسنده بیزانسی مانوئل موسکوپول، که آن را در نوشته های خود توصیف کرد. در سال 1514، آلبرشت دورر، نقاش آلمانی، یک مربع جادویی را در حکاکی خود "مالیخولیا" گنجاند. بر روی آن، در میان اشیاء دیگر، مربعی به تصویر کشیده شده است که در سلول های مرکزی آن تاریخ ایجاد حکاکی درج شده است.

در قرن شانزدهم، ماتریس‌های عددی در میان پیشگویان و اخترشناسان که به مربع جادویی خواص عرفانی و شفابخشی می‌دادند، رواج یافت. اغلب می توان آن را بر روی حکاکی های نقره ای مینیاتوری آن زمان یافت که ظاهراً صاحبان خود را از طاعون محافظت می کرد. سپس، در قرن شانزدهم، کاربردهای عملی برای ماتریس ها در اروپا یافت شد. فیلسوف آلمانی کورنلیوس هاینریش آگریپا از آنها برای توصیف حرکت 7 سیاره با ساختن مربع هایی از مرتبه 3 تا 9 استفاده کرد.

در قرن‌های 17 و 18، تحقیقات ادامه یافت و در سال 1751، گابریل کرامر، ریاضی‌دان سوئیسی، روش جدیدی را برای حل معادلات جبری با استفاده از ماتریس‌هایی با تعیین‌کننده اصلی صفر منتشر کرد که چندین دهه روی آن کار می‌کرد.

در همان زمان، روش گاوس برای حل یک سیستم معادلات جبری خطی منتشر شد. اگرچه امروزه نام آن به طور جدانشدنی با نام یک ریاضیدان آلمانی پیوند خورده است، به گفته مورخان، نویسندگی متعلق به او نیست. بنابراین، این روش محاسبه ماتریس ها 2000 سال قبل از زندگی کارل فردریش گاوس شناخته شده بود و در قرن دوم قبل از میلاد در چینی باستان "ریاضیات در نه کتاب" ارائه شد.

همانطور که جبر و محاسبات عملیاتی توسعه یافت، علاقه به ماتریس ها در قرن 19 و 20 با قوت تازه ای شعله ور شد. دانشمندان برجسته زمان خود درگیر تحقیقات خود بودند: ویلیام همیلتون، آرتور کیلی و جیمز جوزف سیلوستر.

در اواسط قرن نوزدهم، آنها سرانجام قوانینی را برای جمع و ضرب جداول ماتریسی تدوین کردند و در آغاز قرن بیستم، پایه نظری با مطالعات کارل وایرشتراس و فردیناند گئورگ فروبنیوس گسترش یافت. قابل توجه است که ماتریس نام و نام مدرن خود را فقط در سال 1841 دریافت کرد - به لطف ریاضیدان انگلیسی آرتور کیلی.

انواع ماتریس

یک ماتریس مستطیلی استاندارد یک سری اعداد با m تعداد ردیف و n تعداد ستون است. تمام عناصر موجود در آن از چپ به راست و از بالا به پایین شماره گذاری می شوند. ردیف بالا را می توان به صورت (a1 a2 a3 ... aₙ) و ردیف پایین را به صورت (aₘ1 aₘ2 aₘ3 ... aₘₙ) نشان داد. اندازه ماتریس به صورت m × n مشخص می شود که m و n اعداد طبیعی هستند.

بر این اساس، برای یافتن تعداد کل عناصر جدول، کافی است m را در n ضرب کنیم: تعداد ردیف ها در تعداد ستون ها. چه ماتریس های دیگری به جز مستطیل وجود دارد؟

مربع. تعداد سطر و ستون آنها برابر است، یعنی m = n.
به عنوان بردار ستونی. چنین ماتریسی دارای n = 1 است و اندازه آن به صورت "m × 1" مشخص شده است. همه اعداد موجود در آن از بالا به پایین شماره گذاری می شوند: دو نقطه (a1 a2 ... aₘ).
به عنوان بردار ردیف. ماتریسی شبیه به قبلی، اما با m = 1 و اندازه "1 × n". اعداد موجود در آن از چپ به راست شماره گذاری می شوند: ردیف (a1 a₂ ... aₙ).

ستون‌ها و ردیف‌ها با حروف بزرگ (m، n) مشخص می‌شوند، اما به طور کلی، هر ماتریس را می‌توان به صورت K = M × N نشان داد، حتی اگر یکی از مقادیر برابر با یک باشد.

همچنین ماتریس های انتقالی، مورب، هویت و صفر نیز وجود دارد. در ماتریس هویت، همه عناصر واحد هستند و وقتی در آن ضرب شوند، هر ماتریسی بدون تغییر باقی می‌ماند. در صفر، همه سطرها و ستون ها از صفر تشکیل شده اند، هر ماتریس وقتی به آن اضافه می شود بدون تغییر باقی می ماند.

محاسبه‌گر ضرب ماتریسی

مانند سایر اشیاء ریاضی، ماتریس ها را می توان با جمع و تفریق، ضرب و تقسیم دستکاری کرد. برای این، قوانین و فرمول هایی وجود دارد که توسط دانشمندان در قرون 17 تا 19 استخراج شده است.

عملیات ماتریس

عملیات افزودن

هر ماتریسی با m ردیف و n ستون را می توان به صورت K = m × n نشان داد. اگر چندین ماتریس به طور همزمان در این عملیات نقش داشته باشند، به آنها حروف بزرگ الفبایی اختصاص داده می شود: A، B، C، و غیره. برای اضافه کردن ماتریس جداول A و B با یک ترتیب به یکدیگر، باید تمام عناصر آنها را در ردیف اضافه کنید. m و ستون های n به نوبه خود. یعنی در ماتریس نهایی C هر عنصر برابر با:

خواهد بود

сₘₙ = aₘₙ + bₘₙ.

از آنجایی که بدیهیات فضای خطی علاوه بر این استفاده می شود، قضیه معتبر می شود، که بر اساس آن مجموعه همه ماتریس های هم اندازه با عناصری از میدان P یک فضای خطی را روی میدان P تشکیل می دهند. به عبارت دیگر، هر یک از این ماتریس ها بردار جهت دار این فضا (P) است. هنگام انجام عملیات جمع، دو ویژگی اصلی ماتریس ها باید در نظر گرفته شود:

جایگزینی - A + B = B + A.
تداعی - (A + B) + C = A + (B + C).

اگر یک ماتریس معمولی را با صفر یک اضافه کنیم (که در آن همه عناصر صفر هستند)، عبارت A + Ø = Ø + A = A را به دست می آوریم و وقتی آن را به ماتریس مقابل اضافه می کنیم، یک عدد به دست می آید. صفر یک: A + (−A) = Ø.

ضرب اعداد

یک ماتریس را می توان در یک عدد و در ماتریس دیگری ضرب کرد. در حالت اول، هر عنصر از m ردیف و n ستون به نوبه خود در یک عدد ضرب می شود. اگر عدد را با حرف λ و ماتریس را با حرف A نشان دهیم، عبارت:

A × λ = λ × aₘₙ.

ویژگی های زیر ماتریس ها در هنگام ضرب در نظر گرفته می شوند:

تداعی - λ × β × A = λ × (β × A).
توزیع عددی - (λ + β) × A = λ × A + β × A.
توزیع ماتریس - λ × (A + B) = λ × A + λ × B.

هنگام ضرب در یک، همه عناصر جدول بدون تغییر باقی می‌مانند و وقتی در صفر ضرب شوند به صفر تبدیل می‌شوند.

ضرب ماتریس

نمونه دوم ضرب - یک ماتریس در ماتریس دیگر، به عنوان مثال - A × B. در ماتریس C که پس از ضرب آنها به دست می آید، هر عنصر برابر با مجموع حاصلضرب عناصر در ردیف مربوطه خواهد بود. عامل اول و ستون دوم. این قانون فقط در صورتی معتبر است که A و B متناسب باشند، یعنی تعداد m ردیف و n ستون یکسان داشته باشند. اگر ماتریس های m × n و n × k ضرب شوند، بعد ماتریس نهایی C m × k خواهد بود. همانطور که در مورد اعداد، هنگام ضرب، باید ویژگی های ماتریس ها را در نظر بگیرید:

تداعی - (A × B) × C = A × (B × C).
عدم جابجایی - A × B ≠ B × A؛
توزیعی - (A + B) × C = A × C + B × C.

جابه‌جایی فقط زمانی حفظ می‌شود که در ماتریس هویت I ضرب شود: A × I = I × A = A. و وقتی در عدد λ ضرب شود، هویت حفظ می‌شود: (λ × A) × B = A × (λ) × B) = λ × (A×B). یک ماتریس مستطیل/مربع نیز می تواند در یک بردار ردیف و یک بردار ستون ضرب شود. اولی در سمت چپ آن و دومی در سمت راست نوشته می شود: با ضرب بعدی عناصر.

جایی که از ماتریس ها استفاده می شود

واضح ترین مثال استفاده از ماتریس ها در ریاضیات (و در زندگی روزمره) جدول ضرب است. این چیزی بیش از حاصل ضرب ماتریس های برداری با عناصر 1 تا 9 نیست. این اصل در عملکرد همه دستگاه های محاسباتی که با اشکال مسطح و سه بعدی کار می کنند ذاتی است.

ماتریس یک نمایشگر کریستال مایع به معنای واقعی کلمه چنین است و هر عنصر در آن یک پیکسل با مقدار عددی است که رنگ و روشنایی آن به آن بستگی دارد. ماتریس ها نیز به طور گسترده مورد استفاده قرار می گیرند:

در فیزیک، به عنوان وسیله ای برای ثبت داده ها و تبدیل آنها.
در برنامه نویسی، برای توصیف و سازماندهی آرایه های داده.
در روانشناسی، برای نوشتن تست های سازگاری اشیاء روانی.

امروزه جداول ماتریسی حتی در اقتصاد و بازاریابی و همچنین در شیمی و زیست شناسی استفاده می شود. برای انجام عملیات با ماتریس های مرتبه بالا، به قدرت محاسباتی زیادی نیاز است. در ذهن یا روی کاغذ، انجام چنین محاسباتی بسیار دشوار و زمان‌بر است، بنابراین ماشین‌حساب‌های آنلاین راحت و با کاربری آسانی ایجاد شده‌اند.

آنها به شما امکان می دهند تمام عملیات اصلی را به صورت آنلاین انجام دهید: ضرب، یافتن تعیین کننده ها، جابجایی، افزایش به توان، یافتن رتبه ها، یافتن ماتریس های معکوس و غیره. کافیست مقادیر را در قسمت های خالی جدول وارد کنید. ، دکمه مورد نظر را فشار دهید و محاسبه در کسری از ثانیه انجام می شود.

ماشین حساب ماتریس

ابزارهای دیگر