Matemaatikas kasutatakse lineaarvõrrandisüsteemide kompaktseks kirjutamiseks sageli maatrikseid, mis on kirjutatud ristkülikukujuliste tabelite kujul. Nendes tabelites vastab ridade arv võrrandite arvule ja veergude arv tundmatute arvule. Samuti on maatriksid rõngaste ja väljade kujul: kompleks- ja reaalarvude kirjutamiseks.
Maatrikstabelite abil saate lahendada algebralisi ja diferentsiaalvõrrandeid, taandades arvutused maatriksite tehtele, mis kiirendab oluliselt protsessi. Lisaks lihtsustab see suurte andmemassiivide süstematiseerimist, sh elektroonilistes arvutusseadmetes olevate.
Esinemise ajalugu
Ajaloolased omistavad esimeste maatriksite leiutamise iidsetele hiinlastele. Rohkem kui 4000 aastat tagasi, keiser Yu Suure valitsusajal, nimetati neid matemaatilisi objekte maagilisteks ruutudeks ja need võimaldasid teha keerulisi arvutusi mõne lihtsa sammuga.
Muistse Hiina legendi järgi avastati esimene hieroglüüfidega maagiline ruut püha kilpkonna kestast, mis kerkis Kollasest jõest aastal 2200 eKr. Maatriks leidis rakendust kaubanduses ja inseneritöös ning levis seejärel paljudesse Vana-Ida riikidesse. Varasel keskajal said nad sellest teada araabia maades, 11. sajandil - Indias, 15.-16. sajandil - Jaapanis.
Euroopas tunti maagilist väljakut alles 15.–16. sajandi vahetusel – tänu Bütsantsi kirjanikule Manuel Moskhopulile, kes seda oma kirjutistes kirjeldas. 1514. aastal lisas saksa maalikunstnik Albrecht Dürer oma gravüürile "Melanhoolia" maagilise ruudu. Sellel on muude esemete hulgas kujutatud ruut, mille keskmistesse lahtritesse on kantud gravüüri loomise kuupäev.
16. sajandil levisid ennustajate ja astroloogide seas arvulised maatriksid, mis andsid maagilisele ruudule müstilised ja ravivad omadused. Seda võib sageli leida tolleaegsetel miniatuursetel hõbegravüüridel, mis väidetavalt kaitsesid nende omanikke katku eest. Siis, 16. sajandil, leiti Euroopas maatriksitele praktilisi rakendusi. Saksa filosoof Cornelius Heinrich Agrippa kasutas neid 7 planeedi liikumise kirjeldamiseks, konstrueerides ruudud 3. kuni 9. järku.
17. ja 18. sajandil uurimistöö jätkus ning 1751. aastal avaldas Šveitsi matemaatik Gabriel Cramer uue viisi algebraliste võrrandite lahendamiseks, kasutades põhideterminandi nulldeterminandiga maatrikseid, millega ta oli töötanud mitu aastakümmet.
Umbes samal ajal avaldati Gaussi meetod lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendamiseks. Kuigi tänapäeval on selle nimi lahutamatult seotud saksa matemaatiku nimega, ei kuulu autorsus ajaloolaste sõnul talle. Niisiis, see maatriksite arvutamise meetod oli tuntud 2000 aastat enne Carl Friedrich Gaussi elu ja seda esitleti iidse Hiina raamatus "Matemaatika üheksas raamatus" 2. sajandil eKr.
Algebra ja operatiivarvutuse arenedes puhkes 19. ja 20. sajandil huvi maatriksite vastu uue hooga. Nende uuringu viisid läbi oma aja silmapaistvad teadlased: William Hamilton, Arthur Cayley ja James Joseph Sylvester.
19. sajandi keskpaigaks sõnastasid nad lõpuks maatrikstabelite liitmise ja korrutamise reeglid ning 20. sajandi alguseks laiendasid teoreetilist baasi Karl Weierstrassi ja Ferdinand Georg Frobeniuse uurimused. Tähelepanuväärne on, et maatriks sai oma tänapäevase nime ja tähise alles 1841. aastal – tänu inglise matemaatikule Arthur Cayleyle.
Maatriksite variandid
Standardne ristkülikukujuline maatriks on arvuseeria m ridade ja n veergude arvuga. Kõik selles olevad elemendid on nummerdatud vasakult paremale ja ülalt alla. Ülemist rida saab esitada kui (a₁ a₂ a₃ ... aₙ) ja alumist rida kui (aₘ₁ aₘ₂ aₘ₃ ... aₘₙ). Maatriksi suurus on määratud m × n, kus m ja n on naturaalarvud.
Sellest tulenevalt piisab tabeli elementide koguarvu väljaselgitamiseks, kui korrutada m n-ga: ridade arv veergude arvuga. Millised maatriksid peale ristkülikukujuliste veel eksisteerivad?
- Ruut. Neil on sama arv ridu ja veerge, st m = n.
- Veeruvektorina. Sellise maatriksi n = 1 ja suuruseks on määratud "m × 1". Kõik selles olevad numbrid on nummerdatud ülalt alla: koolon (a₁ a₂ ... aₘ).
- Reavektorina. Eelmisele sarnane maatriks, kuid m = 1 ja suurus "1 × n". Selles olevad numbrid on nummerdatud vasakult paremale: rida (a₁ a₂ ... aₙ).
Veerud ja read on tähistatud suurtähtedega (m, n), kuid üldiselt saab iga maatriksit esitada kujul K = M × N, isegi kui üks väärtustest on võrdne ühega.
Seal on ka transponeeritud, diagonaal-, identiteedi- ja nullmaatriksid. Identiteetmaatriksis on kõik elemendid ühikud, sellega korrutades jääb iga maatriks muutumatuks. Nulli korral koosnevad kõik read ja veerud nullidest, iga maatriks jääb sellele lisamisel muutumatuks.
