Matrix kalkulaator

Matemaatikas kasutatakse lineaarvõrrandisüsteemide kompaktseks kirjutamiseks sageli maatrikseid, mis on kirjutatud ristkülikukujuliste tabelite kujul. Nendes tabelites vastab ridade arv võrrandite arvule ja veergude arv tundmatute arvule. Samuti on maatriksid rõngaste ja väljade kujul: kompleks- ja reaalarvude kirjutamiseks.

Maatrikstabelite abil saate lahendada algebralisi ja diferentsiaalvõrrandeid, taandades arvutused maatriksite tehtele, mis kiirendab oluliselt protsessi. Lisaks lihtsustab see suurte andmemassiivide süstematiseerimist, sh elektroonilistes arvutusseadmetes olevate.

Esinemise ajalugu

Ajaloolased omistavad esimeste maatriksite leiutamise iidsetele hiinlastele. Rohkem kui 4000 aastat tagasi, keiser Yu Suure valitsusajal, nimetati neid matemaatilisi objekte maagilisteks ruutudeks ja need võimaldasid teha keerulisi arvutusi mõne lihtsa sammuga.

Muistse Hiina legendi järgi avastati esimene hieroglüüfidega maagiline ruut püha kilpkonna kestast, mis kerkis Kollasest jõest aastal 2200 eKr. Maatriks leidis rakendust kaubanduses ja inseneritöös ning levis seejärel paljudesse Vana-Ida riikidesse. Varasel keskajal said nad sellest teada araabia maades, 11. sajandil - Indias, 15.-16. sajandil - Jaapanis.

Euroopas tunti maagilist väljakut alles 15.–16. sajandi vahetusel – tänu Bütsantsi kirjanikule Manuel Moskhopulile, kes seda oma kirjutistes kirjeldas. 1514. aastal lisas saksa maalikunstnik Albrecht Dürer oma gravüürile "Melanhoolia" maagilise ruudu. Sellel on muude esemete hulgas kujutatud ruut, mille keskmistesse lahtritesse on kantud gravüüri loomise kuupäev.

16. sajandil levisid ennustajate ja astroloogide seas arvulised maatriksid, mis andsid maagilisele ruudule müstilised ja ravivad omadused. Seda võib sageli leida tolleaegsetel miniatuursetel hõbegravüüridel, mis väidetavalt kaitsesid nende omanikke katku eest. Siis, 16. sajandil, leiti Euroopas maatriksitele praktilisi rakendusi. Saksa filosoof Cornelius Heinrich Agrippa kasutas neid 7 planeedi liikumise kirjeldamiseks, konstrueerides ruudud 3. kuni 9. järku.

17. ja 18. sajandil uurimistöö jätkus ning 1751. aastal avaldas Šveitsi matemaatik Gabriel Cramer uue viisi algebraliste võrrandite lahendamiseks, kasutades põhideterminandi nulldeterminandiga maatrikseid, millega ta oli töötanud mitu aastakümmet.

Umbes samal ajal avaldati Gaussi meetod lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendamiseks. Kuigi tänapäeval on selle nimi lahutamatult seotud saksa matemaatiku nimega, ei kuulu autorsus ajaloolaste sõnul talle. Niisiis, see maatriksite arvutamise meetod oli tuntud 2000 aastat enne Carl Friedrich Gaussi elu ja seda esitleti iidse Hiina raamatus "Matemaatika üheksas raamatus" 2. sajandil eKr.

Algebra ja operatiivarvutuse arenedes puhkes 19. ja 20. sajandil huvi maatriksite vastu uue hooga. Nende uuringu viisid läbi oma aja silmapaistvad teadlased: William Hamilton, Arthur Cayley ja James Joseph Sylvester.

19. sajandi keskpaigaks sõnastasid nad lõpuks maatrikstabelite liitmise ja korrutamise reeglid ning 20. sajandi alguseks laiendasid teoreetilist baasi Karl Weierstrassi ja Ferdinand Georg Frobeniuse uurimused. Tähelepanuväärne on, et maatriks sai oma tänapäevase nime ja tähise alles 1841. aastal – tänu inglise matemaatikule Arthur Cayleyle.

Maatriksite variandid

Standardne ristkülikukujuline maatriks on arvuseeria m ridade ja n veergude arvuga. Kõik selles olevad elemendid on nummerdatud vasakult paremale ja ülalt alla. Ülemist rida saab esitada kui (a₁ a₂ a₃ ... aₙ) ja alumist rida kui (aₘ₁ aₘ₂ aₘ₃ ... aₘₙ). Maatriksi suurus on määratud m × n, kus m ja n on naturaalarvud.

Sellest tulenevalt piisab tabeli elementide koguarvu väljaselgitamiseks, kui korrutada m n-ga: ridade arv veergude arvuga. Millised maatriksid peale ristkülikukujuliste veel eksisteerivad?

Ruut. Neil on sama arv ridu ja veerge, st m = n.
Veeruvektorina. Sellise maatriksi n = 1 ja suuruseks on määratud "m × 1". Kõik selles olevad numbrid on nummerdatud ülalt alla: koolon (a₁ a₂ ... aₘ).
Reavektorina. Eelmisele sarnane maatriks, kuid m = 1 ja suurus "1 × n". Selles olevad numbrid on nummerdatud vasakult paremale: rida (a₁ a₂ ... aₙ).

Veerud ja read on tähistatud suurtähtedega (m, n), kuid üldiselt saab iga maatriksit esitada kujul K = M × N, isegi kui üks väärtustest on võrdne ühega.

Seal on ka transponeeritud, diagonaal-, identiteedi- ja nullmaatriksid. Identiteetmaatriksis on kõik elemendid ühikud, sellega korrutades jääb iga maatriks muutumatuks. Nulli korral koosnevad kõik read ja veerud nullidest, iga maatriks jääb sellele lisamisel muutumatuks.

Maatrikskorrutuskalkulaator

Nagu enamiku teiste matemaatiliste objektide puhul, saab maatriksitega manipuleerida liitmise ja lahutamise, korrutamise ja jagamisega. Selleks on olemas reeglid ja valemid, mille on tuletanud teadlased 17.–19. sajandil.

Maatrikstehted

Lisamistoimingud

Iga maatriksit, millel on m rida ja n veergu, saab esitada kujul K = m × n. Kui toimingus on korraga kaasatud mitu maatriksit, määratakse neile tähestikulised suurtähed: A, B, C jne. Samas järjestuses maatriksitabelite A ja B liitmiseks tuleb lisada ridade kaupa kõik nende elemendid m ja veerud n omakorda . See tähendab, et lõplikus maatriksis C on iga element võrdne:

сₘₙ = aₘₙ + bₘₙ.

Kuna lisaks kasutatakse lineaarruumi aksioome, siis hakkab kehtima teoreem, mille kohaselt moodustab kõigi välja P elementidega ühesuuruste maatriksite hulk välja P kohal lineaarruumi. iga selline maatriks on selle ruumi (P) suunatud vektor. Liitmistehte sooritades tuleb arvestada maatriksite kahe peamise omadusega:

Kommutatiivsus – A + B = B + A.
Assotsiatiivsus – (A + B) + C = A + (B + C).

Kui lisame tavalise maatriksi nulliga (mille kõik elemendid on nullid), saame avaldise: A + Ø = Ø + A = A. Ja kui lisame selle vastasmaatriksile, saame null üks: A + (−A) = Ø.

Numbrite korrutamine

Maatriksi saab korrutada arvu ja teise maatriksiga. Esimesel juhul korrutatakse iga element m reast ja n veerust kordamööda arvuga. Kui tähistame arvu tähega λ ja maatriksit tähega A, saame avaldise:

A × λ = λ × aₘₙ.

Korrutamisel võetakse arvesse järgmisi maatriksite omadusi:

Assotsiatiivsus – λ × β × A = λ × (β × A).
Arvuline jaotus – (λ + β) × A = λ × A + β × A.
Maatriksi jaotus – λ × (A + B) = λ × A + λ × B.

Ühega korrutamisel jäävad kõik tabeli elemendid muutumatuks ja nulliga korrutamisel muutuvad need nullideks.

Maatrikskorrutamine

Teine korrutamise variant - üks maatriks teisega, näiteks - A × B. Maatriksis C, mis saadakse pärast nende korrutamist, on iga element võrdne vastava rea elementide korrutistega. esimene tegur ja teise veerg. See reegel kehtib ainult siis, kui A ja B on proportsionaalsed, see tähendab, et neil on sama arv m rida ja n veergu. Kui m × n ja n × k maatriksit korrutada, on lõpliku maatriksi C mõõtmeks m × k. Nagu ka arvude puhul, tuleb korrutamisel arvestada maatriksite omadustega:

Assotsiatiivsus – (A × B) × C = A × (B × C).
Mittekommutatiivsus – A × B ≠ B × A;
Jaotus – (A + B) × C = A × C + B × C.

Komutatiivsus säilib ainult siis, kui korrutada identiteedimaatriksiga I: A × I = I × A = A. Ja kui korrutada arvuga λ, siis identsus säilib: (λ × A) × B = A × (λ × B) = λ × (A × B). Ristküliku-/ruutmaatriksit saab korrutada ka reavektori ja veeruvektoriga. Esimene kirjutatakse sellest vasakule ja teine paremale: koos järgneva elementide korrutamisega.

Kus kasutatakse maatrikseid

Kõige ilmsem näide maatriksite kasutamisest matemaatikas (ja igapäevaelus) on korrutustabel. See pole midagi muud kui vektormaatriksite korrutis, mille elemente on 1 kuni 9. See põhimõte on omane kõigi lame- ja kolmemõõtmeliste kujunditega töötavate arvutusseadmete töös.

Vedelkristallkuvari maatriks on sõna otseses mõttes selline ja iga element selles on arvväärtusega piksel, millest sõltuvad selle toon ja heledus. Laialdaselt kasutatakse ka maatrikseid:

Füüsikas andmete ja nende teisenduste salvestamise vahendina.
Programmeerimisel andmemassiivide kirjeldamiseks ja korraldamiseks.
Psühholoogias psühholoogiliste objektide ühilduvuse testide kirjutamiseks.

Tänapäeval kasutatakse maatrikstabeleid isegi majanduses ja turunduses, samuti keemias ja bioloogias. Kõrge järgu maatriksitega toimingute tegemiseks on vaja palju arvutusvõimsust. Mõeldes või paberil on selliste arvutuste tegemine liiga keeruline ja aeganõudev, seetõttu on välja töötatud mugavad ja hõlpsasti kasutatavad veebikalkulaatorid.

Need võimaldavad teil teha võrgus kõiki põhitoiminguid: korrutamine, determinantide leidmine, transponeerimine, astmeni tõstmine, astmete leidmine, pöördmaatriksite leidmine jne. Lihtsalt sisestage väärtused tabeli tühjadele väljadele. , vajutage soovitud nuppu ja arvutus tehakse sekundite murdosades.

Matrix kalkulaator

Teised tööriistad