Calculadora de matriz

En matemáticas, para escribir de forma compacta sistemas de ecuaciones lineales, a menudo se utilizan matrices, escritas en forma de tablas rectangulares. En estas tablas, el número de filas corresponde al número de ecuaciones y el número de columnas corresponde al número de incógnitas. También existen matrices en forma de anillos y campos: para escribir números complejos y reales.

Con la ayuda de las tablas de matrices, puede resolver ecuaciones algebraicas y diferenciales, reduciendo los cálculos a operaciones con matrices, lo que acelera enormemente el proceso. Además, simplifica la sistematización de grandes conjuntos de datos, incluidos los de los dispositivos informáticos electrónicos.

Historial de ocurrencia

Los historiadores atribuyen la invención de las primeras matrices a los antiguos chinos. Hace más de 4000 años, durante el reinado del emperador Yu el Grande, estos objetos matemáticos se denominaban cuadrados mágicos y permitían realizar cálculos complejos en unos pocos pasos sencillos.

Según una antigua leyenda china, el primer cuadrado mágico con jeroglíficos se descubrió en el caparazón de una tortuga sagrada que emergió del río Amarillo en el año 2200 a. La matriz encontró aplicación en el comercio y la ingeniería, y posteriormente se extendió a muchos países del Antiguo Oriente. Durante la Alta Edad Media, lo aprendieron en los países árabes, en el siglo XI, en la India, en los siglos XV y XVI, en Japón.

En Europa, el cuadrado mágico solo se conocía entre los siglos XV y XVI, gracias al escritor bizantino Manuel Moskhopul, quien lo describió en sus escritos. En 1514, el pintor alemán Albrecht Dürer incluyó un cuadrado mágico en su grabado "Melancholia". En él, entre otros objetos, se representa un cuadrado, en cuyas celdas centrales está inscrita la fecha de creación del grabado.

En el siglo XVI, las matrices numéricas se generalizaron entre los adivinos y astrólogos, quienes otorgaron al cuadrado mágico propiedades místicas y curativas. A menudo se puede encontrar en grabados en plata en miniatura de la época, que supuestamente protegían a sus dueños de la peste. Luego, en el siglo XVI, se encontraron aplicaciones prácticas para las matrices en Europa. El filósofo alemán Cornelius Heinrich Agrippa los utilizó para describir el movimiento de los 7 planetas mediante la construcción de cuadrados del orden 3 al 9.

En los siglos XVII y XVIII, la investigación continuó, y en 1751 el matemático suizo Gabriel Cramer publicó una nueva forma de resolver ecuaciones algebraicas utilizando matrices con determinante principal cero, en la que había estado trabajando durante varias décadas.

Al mismo tiempo, se publicó el método de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales. Aunque hoy en día su nombre está indisolublemente asociado al nombre de un matemático alemán, la autoría, según los historiadores, no le pertenece. Entonces, este método de cálculo de matrices se conocía 2000 años antes de la vida de Carl Friedrich Gauss, y se presentó en el antiguo chino "Matemáticas en nueve libros" en el siglo II a. C.

A medida que se desarrollaban el álgebra y el cálculo operativo, el interés por las matrices resurgió con renovado vigor en los siglos XIX y XX. Su estudio fue realizado por destacados científicos de su época: William Hamilton, Arthur Cayley y James Joseph Sylvester.

A mediados del siglo XIX, finalmente formularon las reglas para sumar y multiplicar tablas de matrices y, a principios del siglo XX, la base teórica se amplió con los estudios de Karl Weierstrass y Ferdinand Georg Frobenius. Es de destacar que la matriz recibió su nombre y designación modernos solo en 1841, gracias al matemático inglés Arthur Cayley.

Variedades de matrices

Una matriz rectangular estándar es una serie de números con m número de filas y n número de columnas. Todos los elementos que contiene están numerados de izquierda a derecha y de arriba a abajo. La fila superior se puede representar como (a₁ a₂ a₃ ... aₙ) y la fila inferior como (aₘ₁ aₘ₂ aₘ₃ ... aₘₙ). El tamaño de la matriz se especifica como m × n, donde m y n son números naturales.

En consecuencia, para saber el número total de elementos de la tabla, basta con multiplicar m por n: el número de filas por el número de columnas. ¿Qué otras matrices existen además de las rectangulares?

Cuadrado. Tienen el mismo número de filas y columnas, es decir, m = n.
Como vector columna. Tal matriz tiene n = 1, y el tamaño se especifica como "m × 1". Todos los números que contiene están numerados de arriba a abajo: dos puntos (a₁ a₂ ... aₘ).
Como vector fila. Una matriz similar a la anterior, pero con m = 1 y tamaño "1 × n". Los números que contiene están numerados de izquierda a derecha: fila (a₁ a₂ ... aₙ).

Las columnas y filas se denotan con letras mayúsculas (m, n), pero en términos generales, cada matriz se puede representar como K = M × N, incluso si uno de los valores es igual a uno.

También hay matrices transpuestas, diagonales, identidad y cero. En la matriz identidad, todos los elementos son unidades; cuando se multiplican por él, cualquier matriz permanece sin cambios. En cero, todas las filas y columnas consisten en ceros, cada matriz permanece sin cambios cuando se le agrega.

Calculadora de multiplicación de matrices

Al igual que con la mayoría de los demás objetos matemáticos, las matrices se pueden manipular con sumas y restas, multiplicaciones y divisiones. Para esto, existen reglas y fórmulas, derivadas por científicos allá por los siglos XVII-XIX.

Operaciones matriciales

Operaciones de suma

Cualquier matriz con m filas y n columnas se puede representar como K = m × n. Si varias matrices están involucradas en la operación a la vez, se les asignan letras mayúsculas alfabéticas: A, B, C, etc. Para agregar tablas de matrices A y B del mismo orden entre sí, debe agregar todos sus elementos en filas m y las columnas n a su vez. Es decir, en la matriz final C, cada elemento será igual a:

сₘₙ = aₘₙ + bₘₙ.

Como además se utilizan los axiomas del espacio lineal, se hace válido el teorema según el cual el conjunto de todas las matrices del mismo tamaño con elementos del campo P forma un espacio lineal sobre el campo P. En otras palabras, cada una de esas matrices es un vector dirigido de este espacio (P). Al realizar operaciones de suma, se deben tener en cuenta dos propiedades principales de las matrices:

Conmutatividad - A + B = B + A.
Asociatividad - (A + B) + C = A + (B + C).

Si sumamos una matriz ordinaria con cero uno (en la que todos los elementos son ceros), obtenemos la expresión: A + Ø = Ø + A = A. Y cuando la sumamos a la matriz opuesta, obtenemos un cero uno: A + (−A) = Ø.

Multiplicación de números

Una matriz se puede multiplicar por un número y por otra matriz. En el primer caso, cada elemento de m filas y n columnas se multiplica por un número a su vez. Si denotamos el número con la letra λ y la matriz con la letra A, obtenemos la expresión:

A × λ = λ × aₘₙ.

Las siguientes propiedades de las matrices se tienen en cuenta durante la multiplicación:

Asociatividad - λ × β × A = λ × (β × A).
Distributividad numérica - (λ + β) × A = λ × A + β × A.
Distributividad de la matriz - λ × (A + B) = λ × A + λ × B.

Cuando se multiplica por uno, todos los elementos de la tabla permanecen sin cambios, y cuando se multiplican por cero, se convierten en ceros.

Multiplicación de matrices

La segunda variante de multiplicación - una matriz por otra, por ejemplo - A × B. En la matriz C obtenida después de su multiplicación, cada elemento será igual a la suma de los productos de los elementos en la fila correspondiente de la primer factor y la columna del segundo. Esta regla es válida solo si A y B son proporcionales, es decir, tienen el mismo número de m filas y n columnas. Si se multiplican las matrices m × n y n × k, la dimensión de la matriz final C será m × k. Como en el caso de los números, al multiplicar, debes tener en cuenta las propiedades de las matrices:

Asociatividad - (A × B) × C = A × (B × C).
No conmutatividad - A × B ≠ B × A;
Distributivo - (A + B) × C = A × C + B × C.

La conmutatividad se conserva solo cuando se multiplica por la matriz identidad I: A × I = I × A = A. Y cuando se multiplica por el número λ, se conserva la identidad: (λ × A) × B = A × (λ × B) = λ × (A×B). Una matriz rectangular/cuadrada también se puede multiplicar por un vector fila y un vector columna. El primero se escribe a la izquierda del mismo, y el segundo se escribe a la derecha: con la subsiguiente multiplicación de elementos.

Donde se utilizan matrices

El ejemplo más obvio del uso de matrices en matemáticas (y en la vida cotidiana) es la tabla de multiplicar. No es más que el producto de matrices vectoriales con elementos del 1 al 9. Este principio es inherente al funcionamiento de todos los dispositivos informáticos que trabajan con figuras planas y tridimensionales.

La matriz de un monitor de cristal líquido es tal en sentido literal, y cada elemento que contiene es un píxel con un valor numérico, del que depende su tono y brillo. Las matrices también son muy utilizadas:

En física, como medio para registrar datos y sus transformaciones.
En programación, para describir y organizar arreglos de datos.
En psicología, para escribir pruebas sobre la compatibilidad de objetos psicológicos.

Hoy en día, las tablas de matrices se utilizan incluso en economía y marketing, así como en química y biología. Para realizar operaciones con matrices de alto orden, se necesita mucha potencia de cálculo. En la mente o en papel, es demasiado difícil y lleva mucho tiempo realizar dichos cálculos, por lo que se han desarrollado calculadoras en línea convenientes y fáciles de usar.

Te permitirán realizar todas las operaciones básicas en línea: multiplicación, encontrar determinantes, transponer, elevar a una potencia, encontrar rangos, encontrar matrices inversas, etc. Solo ingresa los valores en los campos vacíos de la tabla , presione el botón deseado y el cálculo se realizará en fracciones de segundo.

Calculadora de matriz

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