Υπολογιστής μήτρας

Στα μαθηματικά, για τη συμπαγή εγγραφή συστημάτων γραμμικών εξισώσεων, χρησιμοποιούνται συχνά πίνακες, γραμμένοι με τη μορφή ορθογώνιων πινάκων. Σε αυτούς τους πίνακες, ο αριθμός των σειρών αντιστοιχεί στον αριθμό των εξισώσεων και ο αριθμός των στηλών αντιστοιχεί στον αριθμό των αγνώστων. Υπάρχουν επίσης πίνακες με τη μορφή δακτυλίων και πεδίων: για τη σύνταξη μιγαδικών και πραγματικών αριθμών.

Με τη βοήθεια πινάκων πινάκων, μπορείτε να λύσετε αλγεβρικές και διαφορικές εξισώσεις, μειώνοντας τους υπολογισμούς σε πράξεις σε πίνακες, γεγονός που επιταχύνει πολύ τη διαδικασία. Επιπλέον, απλοποιεί τη συστηματοποίηση μεγάλων συστοιχιών δεδομένων, συμπεριλαμβανομένων εκείνων σε ηλεκτρονικές υπολογιστικές συσκευές.

Ιστορικό εμφάνισης

Οι ιστορικοί αποδίδουν την εφεύρεση των πρώτων μητρών στους αρχαίους Κινέζους. Πριν από περισσότερα από 4000 χρόνια, κατά τη διάρκεια της βασιλείας του αυτοκράτορα Γιού του Μεγάλου, αυτά τα μαθηματικά αντικείμενα ονομάζονταν μαγικά τετράγωνα και επέτρεψαν τη διεξαγωγή πολύπλοκων υπολογισμών με μερικά απλά βήματα.

Σύμφωνα με τον αρχαίο κινεζικό μύθο, το πρώτο μαγικό τετράγωνο με ιερογλυφικά ανακαλύφθηκε στο κέλυφος μιας ιερής χελώνας που βγήκε στην επιφάνεια από τον Κίτρινο Ποταμό το 2200 π.Χ. Η μήτρα βρήκε εφαρμογή στο εμπόριο και τη μηχανική και στη συνέχεια εξαπλώθηκε σε πολλές χώρες της Αρχαίας Ανατολής. Κατά τον πρώιμο Μεσαίωνα, το έμαθαν στις αραβικές χώρες, τον 11ο αιώνα - στην Ινδία, τον 15ο-16ο αιώνα - στην Ιαπωνία.

Στην Ευρώπη, το μαγικό τετράγωνο ήταν γνωστό μόνο στις αρχές του 15ου-16ου αιώνα - χάρη στον βυζαντινό συγγραφέα Manuel Moskhopul, ο οποίος το περιέγραψε στα γραπτά του. Το 1514, ο Γερμανός ζωγράφος Άλμπρεχτ Ντύρερ συμπεριέλαβε ένα μαγικό τετράγωνο στο χαρακτικό του «Melancholia». Επάνω του, μεταξύ άλλων αντικειμένων, απεικονίζεται ένα τετράγωνο, στα κεντρικά κελιά του οποίου αναγράφεται η χρονολογία δημιουργίας της γκραβούρας.

Τον 16ο αιώνα, οι αριθμητικοί πίνακες έγιναν ευρέως διαδεδομένοι μεταξύ των μάντεων και των αστρολόγων, οι οποίοι έδωσαν στο μαγικό τετράγωνο μυστικιστικές και θεραπευτικές ιδιότητες. Συχνά μπορεί να βρεθεί σε μινιατούρες ασημένιες γκραβούρες της εποχής, που υποτίθεται ότι προστάτευαν τους ιδιοκτήτες τους από την πανώλη. Στη συνέχεια, τον 16ο αιώνα, βρέθηκαν πρακτικές εφαρμογές για πίνακες στην Ευρώπη. Ο Γερμανός φιλόσοφος Cornelius Heinrich Agrippa τα χρησιμοποίησε για να περιγράψει την κίνηση των 7 πλανητών κατασκευάζοντας τετράγωνα από την 3η έως την 9η τάξη.

Τον 17ο και τον 18ο αιώνα, η έρευνα συνεχίστηκε και το 1751 ο Ελβετός μαθηματικός Gabriel Cramer δημοσίευσε έναν νέο τρόπο επίλυσης αλγεβρικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας πίνακες με μηδενική κύρια ορίζουσα, πάνω στους οποίους εργαζόταν για αρκετές δεκαετίες.

Περίπου την ίδια εποχή δημοσιεύτηκε η μέθοδος Gauss για την επίλυση συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων. Αν και σήμερα το όνομά του είναι άρρηκτα συνδεδεμένο με το όνομα ενός Γερμανού μαθηματικού, η συγγραφή, σύμφωνα με τους ιστορικούς, δεν του ανήκει. Έτσι, αυτή η μέθοδος υπολογισμού πινάκων ήταν γνωστή 2000 χρόνια πριν από τη ζωή του Carl Friedrich Gauss και παρουσιάστηκε στην αρχαία κινεζική "Μαθηματικά σε εννέα βιβλία" τον 2ο αιώνα π.Χ..

Καθώς αναπτύχθηκε η άλγεβρα και ο λειτουργικός λογισμός, το ενδιαφέρον για τους πίνακες αναπτύχθηκε με ανανεωμένο σθένος τον 19ο και τον 20ο αιώνα. Η μελέτη τους διεξήχθη από εξέχοντες επιστήμονες της εποχής τους: τον William Hamilton, τον Arthur Cayley και τον James Joseph Sylvester.

Στα μέσα του 19ου αιώνα, διατύπωσαν τελικά τους κανόνες για την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό πινάκων πινάκων και στις αρχές του 20ου αιώνα, η θεωρητική βάση επεκτάθηκε από τις μελέτες των Karl Weierstrass και Ferdinand Georg Frobenius. Αξίζει να σημειωθεί ότι η μήτρα έλαβε το σύγχρονο όνομα και την ονομασία της μόλις το 1841 - χάρη στον Άγγλο μαθηματικό Arthur Cayley.

Ποικιλίες πινάκων

Ένας τυπικός ορθογώνιος πίνακας είναι μια σειρά αριθμών με m αριθμό σειρών και n αριθμό στηλών. Όλα τα στοιχεία σε αυτό είναι αριθμημένα από αριστερά προς τα δεξιά και από πάνω προς τα κάτω. Η επάνω σειρά μπορεί να αναπαρασταθεί ως (a1 a2 a3 ... aₙ) και η κάτω σειρά ως (aₘ1 aₘ2 aₘ3 ... aₘₙ). Το μέγεθος του πίνακα καθορίζεται ως m × n, όπου m και n είναι φυσικοί αριθμοί.

Συνεπώς, για να μάθετε τον συνολικό αριθμό των στοιχείων στον πίνακα, αρκεί να πολλαπλασιάσετε το m επί n: τον αριθμό των γραμμών με τον αριθμό των στηλών. Ποιοι άλλοι πίνακες υπάρχουν εκτός από τους ορθογώνιους;

Τετράγωνο. Έχουν τον ίδιο αριθμό σειρών και στηλών, δηλαδή m = n.
Ως διάνυσμα στήλης. Ένας τέτοιος πίνακας έχει n = 1 και το μέγεθος καθορίζεται ως "m × 1". Όλοι οι αριθμοί σε αυτό είναι αριθμημένοι από πάνω προς τα κάτω: άνω και κάτω τελεία (a1 a2 ... aₘ).
Σαν διάνυσμα γραμμής. Ένας πίνακας παρόμοιος με τον προηγούμενο, αλλά με m = 1 και μέγεθος "1 × n". Οι αριθμοί σε αυτό αριθμούνται από αριστερά προς τα δεξιά: σειρά (a1 a2 ... aₙ).

Οι στήλες και οι σειρές σημειώνονται με κεφαλαία γράμματα (m, n), αλλά σε γενικούς όρους, κάθε πίνακας μπορεί να αναπαρασταθεί ως K = M × N, ακόμη και αν μία από τις τιμές είναι ίση με μία.

Υπάρχουν επίσης μετατιθέμενοι, διαγώνιοι, ταυτότητα και μηδενικοί πίνακες. Στον πίνακα ταυτότητας, όλα τα στοιχεία είναι μονάδες· όταν πολλαπλασιάζονται με αυτόν, οποιοσδήποτε πίνακας παραμένει αμετάβλητος. Στο μηδέν, όλες οι σειρές και οι στήλες αποτελούνται από μηδενικά, κάθε πίνακας παραμένει αμετάβλητος όταν προστίθεται σε αυτόν.

Αριθμομηχανή πολλαπλασιασμού πίνακα

Όπως με τα περισσότερα άλλα μαθηματικά αντικείμενα, οι πίνακες μπορούν να χειριστούν με πρόσθεση και αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση. Για αυτό, υπάρχουν κανόνες και τύποι, που προήλθαν από επιστήμονες τον 17ο-19ο αιώνα.

Λειτουργίες μήτρας

Λειτουργίες προσθήκης

Οποιοσδήποτε πίνακας με m γραμμές και n στήλες μπορεί να αναπαρασταθεί ως K = m × n. Εάν στη λειτουργία εμπλέκονται πολλοί πίνακες ταυτόχρονα, τους εκχωρούνται αλφαβητικά κεφαλαία γράμματα: A, B, C, κ.λπ. Για να προσθέσετε πίνακες πινάκων A και B της ίδιας σειράς μεταξύ τους, πρέπει να προσθέσετε όλα τα στοιχεία τους σε σειρές m και οι στήλες n με τη σειρά τους . Δηλαδή, στον τελικό πίνακα C, κάθε στοιχείο θα είναι ίσο με:

сₘₙ = aₘₙ + bₘₙ.

Δεδομένου ότι τα αξιώματα του γραμμικού χώρου χρησιμοποιούνται επιπλέον, ισχύει το θεώρημα, σύμφωνα με το οποίο το σύνολο όλων των πινάκων του ίδιου μεγέθους με στοιχεία από το πεδίο P σχηματίζει ένα γραμμικό διάστημα στο πεδίο P. Με άλλα λόγια, κάθε τέτοιος πίνακας είναι ένα κατευθυνόμενο διάνυσμα αυτού του χώρου (P). Κατά την εκτέλεση πράξεων πρόσθεσης, πρέπει να λαμβάνονται υπόψη δύο κύριες ιδιότητες των πινάκων:

Μεταβλητότητα - A + B = B + A.
Συσχετισμός - (A + B) + C = A + (B + C).

Αν προσθέσουμε έναν συνηθισμένο πίνακα με μηδενικό ένα (στον οποίο όλα τα στοιχεία είναι μηδενικά), παίρνουμε την έκφραση: A + Ø = Ø + A = A. Και όταν τον προσθέσουμε στον αντίθετο πίνακα, παίρνουμε ένα μηδέν ένα: A + (−A) = Ø.

Πολλαπλασιασμός αριθμών

Ένας πίνακας μπορεί να πολλαπλασιαστεί με έναν αριθμό και με έναν άλλο πίνακα. Στην πρώτη περίπτωση, κάθε στοιχείο από m σειρές και n στήλες πολλαπλασιάζεται με έναν αριθμό με τη σειρά. Αν συμβολίσουμε τον αριθμό με το γράμμα λ και τον πίνακα με το γράμμα Α, παίρνουμε την έκφραση:

A × λ = λ × aₘₙ.

Οι ακόλουθες ιδιότητες των πινάκων λαμβάνονται υπόψη κατά τον πολλαπλασιασμό:

Συσχετισμός - λ × β × A = λ × (β × A).
Αριθμητική κατανομή - (λ + β) × A = λ × A + β × A.
Κατανομή πίνακα - λ × (A + B) = λ × A + λ × B.

Όταν πολλαπλασιάζονται με ένα, όλα τα στοιχεία του πίνακα παραμένουν αμετάβλητα και όταν πολλαπλασιάζονται με το μηδέν, μετατρέπονται σε μηδενικά.

Πολλαπλασιασμός πίνακα

Η δεύτερη παραλλαγή πολλαπλασιασμού - ένας πίνακας με έναν άλλο, για παράδειγμα - A × B. Στον πίνακα C που προκύπτει μετά τον πολλαπλασιασμό τους, κάθε στοιχείο θα είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων στην αντίστοιχη σειρά του πρώτος παράγοντας και η στήλη του δεύτερου. Αυτός ο κανόνας ισχύει μόνο εάν τα Α και Β είναι αναλογικά, δηλαδή έχουν τον ίδιο αριθμό m σειρών και n στηλών. Εάν πολλαπλασιαστούν οι πίνακες m × n και n × k, η διάσταση του τελικού πίνακα C θα είναι m × k. Όπως και στην περίπτωση των αριθμών, κατά τον πολλαπλασιασμό, πρέπει να λάβετε υπόψη τις ιδιότητες των πινάκων:

Συσχετισμός - (A × B) × C = A × (B × C).
Μη μεταλλαγή - A × B ≠ B × A;
Διανομή - (A + B) × C = A × C + B × C.

Η μεταβλητότητα διατηρείται μόνο όταν πολλαπλασιάζεται με τον πίνακα ταυτότητας I: A × I = I × A = A. Και όταν πολλαπλασιάζεται με τον αριθμό λ, διατηρείται η ταυτότητα: (λ × A) × B = A × (λ × Β) = λ × (Α×Β). Ένας ορθογώνιος/τετράγωνος πίνακας μπορεί επίσης να πολλαπλασιαστεί με ένα διάνυσμα γραμμής και ένα διάνυσμα στήλης. Το πρώτο γράφεται στα αριστερά του και το δεύτερο γράφεται στα δεξιά: με επακόλουθο πολλαπλασιασμό στοιχείων.

Όπου χρησιμοποιούνται πίνακες

Το πιο προφανές παράδειγμα χρήσης πινάκων στα μαθηματικά (και στην καθημερινή ζωή) είναι ο πίνακας πολλαπλασιασμού. Δεν είναι τίποτα άλλο από το γινόμενο διανυσματικών πινάκων με στοιχεία από το 1 έως το 9. Αυτή η αρχή είναι εγγενής στη λειτουργία όλων των υπολογιστικών συσκευών που λειτουργούν με επίπεδα και τρισδιάστατα σχήματα.

Η μήτρα μιας οθόνης υγρών κρυστάλλων είναι τέτοια με την κυριολεκτική έννοια και κάθε στοιχείο σε αυτήν είναι ένα pixel με μια αριθμητική τιμή, από την οποία εξαρτώνται η απόχρωση και η φωτεινότητά του. Οι πίνακες χρησιμοποιούνται επίσης ευρέως:

Στη φυσική, ως μέσο καταγραφής δεδομένων και των μετασχηματισμών τους.
Στον προγραμματισμό, για την περιγραφή και την οργάνωση συστοιχιών δεδομένων.
Στην ψυχολογία, για τη σύνταξη τεστ σχετικά με τη συμβατότητα ψυχολογικών αντικειμένων.

Σήμερα, οι πίνακες μήτρας χρησιμοποιούνται ακόμη και στα οικονομικά και στο μάρκετινγκ, καθώς και στη χημεία και τη βιολογία. Για την εκτέλεση εργασιών με πίνακες υψηλής τάξης, απαιτείται μεγάλη υπολογιστική ισχύς. Στο μυαλό ή στα χαρτιά, είναι πολύ δύσκολο και χρονοβόρο να πραγματοποιηθούν τέτοιοι υπολογισμοί, γι' αυτό έχουν αναπτυχθεί βολικές και εύχρηστες ηλεκτρονικές αριθμομηχανές.

Θα σας επιτρέψουν να πραγματοποιήσετε όλες τις βασικές πράξεις στο διαδίκτυο: πολλαπλασιασμό, εύρεση οριζόντων, μεταφορά, αύξηση σε ισχύ, εύρεση βαθμών, εύρεση αντίστροφων πινάκων κ.λπ. Απλώς εισαγάγετε τις τιμές στα κενά πεδία του πίνακα , πατήστε το επιθυμητό κουμπί και ο υπολογισμός θα πραγματοποιηθεί σε κλάσματα δευτερολέπτων.

Υπολογιστής μήτρας

Άλλα εργαλεία