Matrizenrechner

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In der Mathematik werden zum kompakten Schreiben linearer Gleichungssysteme häufig Matrizen verwendet, die in Form rechteckiger Tabellen geschrieben sind. In diesen Tabellen entspricht die Anzahl der Zeilen der Anzahl der Gleichungen und die Anzahl der Spalten der Anzahl der Unbekannten. Es gibt auch Matrizen in Form von Ringen und Feldern: zum Schreiben komplexer und reeller Zahlen.

Mit Hilfe von Matrixtabellen können Sie algebraische und Differentialgleichungen lösen und Berechnungen auf Operationen an Matrizen reduzieren, was den Prozess erheblich beschleunigt. Darüber hinaus vereinfacht es die Systematisierung großer Datenmengen, einschließlich solcher in elektronischen Computergeräten.

Vorkommensgeschichte

Historiker führen die Erfindung der ersten Matrizen auf die alten Chinesen zurück. Vor mehr als 4000 Jahren, während der Herrschaft von Kaiser Yu dem Großen, wurden diese mathematischen Objekte magische Quadrate genannt und ermöglichten die Durchführung komplexer Berechnungen in wenigen einfachen Schritten.

Der alten chinesischen Legende zufolge wurde das erste magische Quadrat mit Hieroglyphen auf dem Panzer einer heiligen Schildkröte entdeckt, die 2200 v. Chr. aus dem Gelben Fluss auftauchte. Die Matrix fand Anwendung im Handel und im Ingenieurwesen und verbreitete sich anschließend in vielen Ländern des Alten Ostens. Im frühen Mittelalter lernten sie es in den arabischen Ländern kennen, im 11. Jahrhundert in Indien, im 15.-16. Jahrhundert in Japan.

In Europa war das magische Quadrat erst an der Wende vom 15. zum 16. Jahrhundert bekannt – dank des byzantinischen Schriftstellers Manuel Moskhopul, der es in seinen Schriften beschrieb. Im Jahr 1514 fügte der deutsche Maler Albrecht Dürer in seinem Stich „Melancholie“ ein magisches Quadrat ein. Darauf ist unter anderem ein Quadrat abgebildet, in dessen Mittelzellen das Entstehungsdatum des Stichs eingraviert ist.

Im 16. Jahrhundert verbreiteten sich numerische Matrizen unter Wahrsagern und Astrologen, die dem magischen Quadrat mystische und heilende Eigenschaften verliehen. Man findet es oft auf Miniatur-Silberstichen der damaligen Zeit, die ihre Besitzer angeblich vor der Pest schützten. Im 16. Jahrhundert fanden dann praktische Anwendungen für Matrizen in Europa statt. Der deutsche Philosoph Cornelius Heinrich Agrippa nutzte sie, um die Bewegung der 7 Planeten zu beschreiben, indem er Quadrate der 3. bis 9. Ordnung konstruierte.

Im 17. und 18. Jahrhundert wurde die Forschung fortgesetzt, und 1751 veröffentlichte der Schweizer Mathematiker Gabriel Cramer eine neue Methode zur Lösung algebraischer Gleichungen mithilfe von Matrizen ohne Hauptdeterminante, an der er mehrere Jahrzehnte lang gearbeitet hatte.

Etwa zur gleichen Zeit wurde die Gauß-Methode zur Lösung eines Systems linearer algebraischer Gleichungen veröffentlicht. Obwohl sein Name heute untrennbar mit dem Namen eines deutschen Mathematikers verbunden ist, gehört die Urheberschaft Historikern zufolge nicht ihm. Diese Methode zur Berechnung von Matrizen war also bereits 2000 Jahre vor dem Leben von Carl Friedrich Gauß bekannt und wurde im alten chinesischen „Mathematik in neun Büchern“ im 2. Jahrhundert v. Chr. vorgestellt.

Mit der Entwicklung der Algebra und der Operationsrechnung erwachte im 19. und 20. Jahrhundert das Interesse an Matrizen erneut. Ihre Studie wurde von prominenten Wissenschaftlern ihrer Zeit durchgeführt: William Hamilton, Arthur Cayley und James Joseph Sylvester.

Mitte des 19. Jahrhunderts formulierten sie schließlich die Regeln für die Addition und Multiplikation von Matrizentabellen, und zu Beginn des 20. Jahrhunderts wurde die theoretische Grundlage durch die Studien von Karl Weierstrass und Ferdinand Georg Frobenius erweitert. Bemerkenswert ist, dass die Matrix ihren modernen Namen und ihre moderne Bezeichnung erst 1841 erhielt – dank des englischen Mathematikers Arthur Cayley.

Sorten von Matrizen

Eine standardmäßige rechteckige Matrix ist eine Zahlenreihe mit m Zeilen und n Spalten. Alle darin enthaltenen Elemente sind von links nach rechts und von oben nach unten nummeriert. Die obere Reihe kann als (a₁ a₂ a₃ ... aₙ) und die untere Reihe als (aₘ₁ aₘ₂ aₘ₃ ... aₘₙ) dargestellt werden. Die Matrixgröße wird als m × n angegeben, wobei m und n natürliche Zahlen sind.

Um die Gesamtzahl der Elemente in der Tabelle herauszufinden, reicht es dementsprechend aus, m mit n zu multiplizieren: die Anzahl der Zeilen mit der Anzahl der Spalten. Welche anderen Matrizen gibt es außer rechteckigen?

  • Quadrat. Sie haben die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten, also m = n.
  • Als Spaltenvektor. Eine solche Matrix hat n = 1 und die Größe wird als „m × 1“ angegeben. Alle darin enthaltenen Zahlen sind von oben nach unten nummeriert: Doppelpunkt (a₁ a₂ ... aₘ).
  • Als Zeilenvektor. Eine Matrix ähnlich der vorherigen, jedoch mit m = 1 und der Größe „1 × n“. Die darin enthaltenen Zahlen sind von links nach rechts nummeriert: Zeile (a₁ a₂ ... aₙ).

Spalten und Zeilen werden mit Großbuchstaben (m, n) bezeichnet, aber im Allgemeinen kann jede Matrix als K = M × N dargestellt werden, auch wenn einer der Werte gleich eins ist.

Es gibt auch transponierte, diagonale, Identitäts- und Nullmatrizen. In der Identitätsmatrix sind alle Elemente Einheiten; bei Multiplikation damit bleibt jede Matrix unverändert. Bei Null bestehen alle Zeilen und Spalten aus Nullen, jede Matrix bleibt unverändert, wenn sie hinzugefügt wird.

Matrizenmultiplikation Rechner

Matrizenmultiplikation Rechner

Wie die meisten anderen mathematischen Objekte können Matrizen durch Addition und Subtraktion, Multiplikation und Division manipuliert werden. Dafür gibt es Regeln und Formeln, die bereits im 17.-19. Jahrhundert von Wissenschaftlern abgeleitet wurden.

Matrixoperationen

Additionsoperationen

Jede Matrix mit m Zeilen und n Spalten kann als K = m × n dargestellt werden. Wenn mehrere Matrizen gleichzeitig an der Operation beteiligt sind, werden ihnen alphabetische Großbuchstaben zugewiesen: A, B, C usw. Um die Matrixtabellen A und B derselben Reihenfolge zueinander hinzuzufügen, müssen Sie alle ihre Elemente in Zeilen hinzufügen m und Spalten n wiederum. Das heißt, in der endgültigen Matrix C ist jedes Element gleich:

  • сₘₙ = aₘₙ + bₘₙ.

Da zusätzlich die Axiome des linearen Raums verwendet werden, wird der Satz gültig, nach dem die Menge aller Matrizen gleicher Größe mit Elementen aus dem Körper P einen linearen Raum über dem Körper P bildet. Mit anderen Worten: Jede dieser Matrix ist ein gerichteter Vektor dieses Raums (P). Bei der Durchführung von Additionsoperationen müssen zwei Haupteigenschaften von Matrizen berücksichtigt werden:

  • Kommutativität – A + B = B + A.
  • Assoziativität – (A + B) + C = A + (B + C).

Wenn wir eine gewöhnliche Matrix mit einer Null eins hinzufügen (in der alle Elemente Nullen sind), erhalten wir den Ausdruck: A + Ø = Ø + A = A. Und wenn wir sie zur entgegengesetzten Matrix hinzufügen, erhalten wir a null eins: A + (−A) = Ø.

Zahlenmultiplikation

Eine Matrix kann mit einer Zahl und einer anderen Matrix multipliziert werden. Im ersten Fall wird jedes Element aus m Zeilen und n Spalten der Reihe nach mit einer Zahl multipliziert. Wenn wir die Zahl mit dem Buchstaben λ und die Matrix mit dem Buchstaben A bezeichnen, erhalten wir den Ausdruck:

  • A × λ = λ × aₘₙ.

Die folgenden Eigenschaften von Matrizen werden bei der Multiplikation berücksichtigt:

  • Assoziativität – λ × β × A = λ × (β × A).
  • Numerische Distributivität – (λ + β) × A = λ × A + β × A.
  • Matrixdistributivität – λ × (A + B) = λ × A + λ × B.

Bei der Multiplikation mit eins bleiben alle Elemente der Tabelle unverändert, bei der Multiplikation mit Null werden sie zu Nullen.

Matrixmultiplikation

Die zweite Variante der Multiplikation – eine Matrix mit einer anderen, zum Beispiel – A × B. In der nach ihrer Multiplikation erhaltenen Matrix C ist jedes Element gleich der Summe der Produkte der Elemente in der entsprechenden Zeile der ersten Faktor und die Spalte des zweiten. Diese Regel gilt nur, wenn A und B proportional sind, das heißt, sie haben die gleiche Anzahl von m Zeilen und n Spalten. Wenn m × n- und n × k-Matrizen multipliziert werden, beträgt die Dimension der endgültigen Matrix C m × k. Wie bei Zahlen müssen Sie beim Multiplizieren die Eigenschaften von Matrizen berücksichtigen:

  • Assoziativität – (A × B) × C = A × (B × C).
  • Nichtkommutativität – A × B ≠ B × A;
  • Distributiv - (A + B) × C = A × C + B × C.

Kommutativität bleibt nur erhalten, wenn sie mit der Identitätsmatrix I multipliziert wird: A × I = I × A = A. Und wenn sie mit der Zahl λ multipliziert wird, bleibt die Identität erhalten: (λ × A) × B = A × (λ × B) = λ × (A×B). Eine rechteckige/quadratische Matrix kann auch mit einem Zeilenvektor und einem Spaltenvektor multipliziert werden. Das erste wird links davon geschrieben, das zweite rechts davon: mit anschließender Multiplikation der Elemente.

Wo Matrizen verwendet werden

Das offensichtlichste Beispiel für die Verwendung von Matrizen in der Mathematik (und im Alltag) ist das Einmaleins. Es ist nichts anderes als das Produkt von Vektormatrizen mit Elementen von 1 bis 9. Dieses Prinzip ist in der Funktionsweise aller Computergeräte verankert, die mit flachen und dreidimensionalen Figuren arbeiten.

Die Matrix eines Flüssigkristallmonitors ist eine solche im wahrsten Sinne des Wortes, und jedes Element darin ist ein Pixel mit einem numerischen Wert, von dem sein Farbton und seine Helligkeit abhängen. Auch Matrizen werden häufig verwendet:

  • In der Physik als Mittel zur Aufzeichnung von Daten und deren Transformationen.
  • In der Programmierung zum Beschreiben und Organisieren von Datenfeldern.
  • In der Psychologie zum Verfassen von Tests zur Kompatibilität psychologischer Objekte.

Heutzutage werden Matrixtabellen sogar in den Wirtschaftswissenschaften und im Marketing sowie in der Chemie und Biologie verwendet. Um Operationen mit Matrizen höherer Ordnung durchzuführen, ist viel Rechenleistung erforderlich. Im Kopf oder auf dem Papier ist es zu schwierig und zeitaufwändig, solche Berechnungen durchzuführen. Deshalb wurden praktische und benutzerfreundliche Online-Rechner entwickelt.

Sie ermöglichen es Ihnen, alle grundlegenden Operationen online durchzuführen: Multiplikation, Determinanten finden, Transponieren, Potenz erhöhen, Ränge finden, inverse Matrizen finden usw. Geben Sie einfach die Werte in die leeren Felder der Tabelle ein , drücken Sie die gewünschte Taste und die Berechnung wird in Sekundenbruchteilen durchgeführt.