Matrizenrechner

In der Mathematik werden zum kompakten Schreiben linearer Gleichungssysteme häufig Matrizen verwendet, die in Form rechteckiger Tabellen geschrieben sind. In diesen Tabellen entspricht die Anzahl der Zeilen der Anzahl der Gleichungen und die Anzahl der Spalten der Anzahl der Unbekannten. Es gibt auch Matrizen in Form von Ringen und Feldern: zum Schreiben komplexer und reeller Zahlen.

Mit Hilfe von Matrixtabellen können Sie algebraische und Differentialgleichungen lösen und Berechnungen auf Operationen an Matrizen reduzieren, was den Prozess erheblich beschleunigt. Darüber hinaus vereinfacht es die Systematisierung großer Datenmengen, einschließlich solcher in elektronischen Computergeräten.

Vorkommensgeschichte

Historiker führen die Erfindung der ersten Matrizen auf die alten Chinesen zurück. Vor mehr als 4000 Jahren, während der Herrschaft von Kaiser Yu dem Großen, wurden diese mathematischen Objekte magische Quadrate genannt und ermöglichten die Durchführung komplexer Berechnungen in wenigen einfachen Schritten.

Der alten chinesischen Legende zufolge wurde das erste magische Quadrat mit Hieroglyphen auf dem Panzer einer heiligen Schildkröte entdeckt, die 2200 v. Chr. aus dem Gelben Fluss auftauchte. Die Matrix fand Anwendung im Handel und im Ingenieurwesen und verbreitete sich anschließend in vielen Ländern des Alten Ostens. Im frühen Mittelalter lernten sie es in den arabischen Ländern kennen, im 11. Jahrhundert in Indien, im 15.-16. Jahrhundert in Japan.

In Europa war das magische Quadrat erst an der Wende vom 15. zum 16. Jahrhundert bekannt – dank des byzantinischen Schriftstellers Manuel Moskhopul, der es in seinen Schriften beschrieb. Im Jahr 1514 fügte der deutsche Maler Albrecht Dürer in seinem Stich „Melancholie“ ein magisches Quadrat ein. Darauf ist unter anderem ein Quadrat abgebildet, in dessen Mittelzellen das Entstehungsdatum des Stichs eingraviert ist.

Im 16. Jahrhundert verbreiteten sich numerische Matrizen unter Wahrsagern und Astrologen, die dem magischen Quadrat mystische und heilende Eigenschaften verliehen. Man findet es oft auf Miniatur-Silberstichen der damaligen Zeit, die ihre Besitzer angeblich vor der Pest schützten. Im 16. Jahrhundert fanden dann praktische Anwendungen für Matrizen in Europa statt. Der deutsche Philosoph Cornelius Heinrich Agrippa nutzte sie, um die Bewegung der 7 Planeten zu beschreiben, indem er Quadrate der 3. bis 9. Ordnung konstruierte.

Im 17. und 18. Jahrhundert wurde die Forschung fortgesetzt, und 1751 veröffentlichte der Schweizer Mathematiker Gabriel Cramer eine neue Methode zur Lösung algebraischer Gleichungen mithilfe von Matrizen ohne Hauptdeterminante, an der er mehrere Jahrzehnte lang gearbeitet hatte.

Etwa zur gleichen Zeit wurde die Gauß-Methode zur Lösung eines Systems linearer algebraischer Gleichungen veröffentlicht. Obwohl sein Name heute untrennbar mit dem Namen eines deutschen Mathematikers verbunden ist, gehört die Urheberschaft Historikern zufolge nicht ihm. Diese Methode zur Berechnung von Matrizen war also bereits 2000 Jahre vor dem Leben von Carl Friedrich Gauß bekannt und wurde im alten chinesischen „Mathematik in neun Büchern“ im 2. Jahrhundert v. Chr. vorgestellt.

Mit der Entwicklung der Algebra und der Operationsrechnung erwachte im 19. und 20. Jahrhundert das Interesse an Matrizen erneut. Ihre Studie wurde von prominenten Wissenschaftlern ihrer Zeit durchgeführt: William Hamilton, Arthur Cayley und James Joseph Sylvester.

Mitte des 19. Jahrhunderts formulierten sie schließlich die Regeln für die Addition und Multiplikation von Matrizentabellen, und zu Beginn des 20. Jahrhunderts wurde die theoretische Grundlage durch die Studien von Karl Weierstrass und Ferdinand Georg Frobenius erweitert. Bemerkenswert ist, dass die Matrix ihren modernen Namen und ihre moderne Bezeichnung erst 1841 erhielt – dank des englischen Mathematikers Arthur Cayley.

Sorten von Matrizen

Eine standardmäßige rechteckige Matrix ist eine Zahlenreihe mit m Zeilen und n Spalten. Alle darin enthaltenen Elemente sind von links nach rechts und von oben nach unten nummeriert. Die obere Reihe kann als (a₁ a₂ a₃ ... aₙ) und die untere Reihe als (aₘ₁ aₘ₂ aₘ₃ ... aₘₙ) dargestellt werden. Die Matrixgröße wird als m × n angegeben, wobei m und n natürliche Zahlen sind.

Um die Gesamtzahl der Elemente in der Tabelle herauszufinden, reicht es dementsprechend aus, m mit n zu multiplizieren: die Anzahl der Zeilen mit der Anzahl der Spalten. Welche anderen Matrizen gibt es außer rechteckigen?

• Quadrat. Sie haben die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten, also m = n.
• Als Spaltenvektor. Eine solche Matrix hat n = 1 und die Größe wird als „m × 1“ angegeben. Alle darin enthaltenen Zahlen sind von oben nach unten nummeriert: Doppelpunkt (a₁ a₂ ... aₘ).
• Als Zeilenvektor. Eine Matrix ähnlich der vorherigen, jedoch mit m = 1 und der Größe „1 × n“. Die darin enthaltenen Zahlen sind von links nach rechts nummeriert: Zeile (a₁ a₂ ... aₙ).

Spalten und Zeilen werden mit Großbuchstaben (m, n) bezeichnet, aber im Allgemeinen kann jede Matrix als K = M × N dargestellt werden, auch wenn einer der Werte gleich eins ist.

Es gibt auch transponierte, diagonale, Identitäts- und Nullmatrizen. In der Identitätsmatrix sind alle Elemente Einheiten; bei Multiplikation damit bleibt jede Matrix unverändert. Bei Null bestehen alle Zeilen und Spalten aus Nullen, jede Matrix bleibt unverändert, wenn sie hinzugefügt wird.