Matrixberegner

I matematik bruges der ofte matricer, skrevet i form af rektangulære tabeller, for kompakt at skrive systemer af lineære ligninger. I disse tabeller svarer antallet af rækker til antallet af ligninger, og antallet af kolonner svarer til antallet af ukendte. Der er også matricer i form af ringe og felter: til at skrive komplekse og reelle tal.

Ved hjælp af matrixtabeller kan du løse algebraiske og differentialligninger, hvilket reducerer beregninger til operationer på matricer, hvilket i høj grad fremskynder processen. Derudover forenkler det systematiseringen af ​​store dataarrays, herunder dem i elektroniske computerenheder.

Forekomsthistorie

Historikere tilskriver opfindelsen af ​​de første matricer de gamle kinesere. For mere end 4000 år siden, under kejser Yu den Stores regeringstid, blev disse matematiske objekter kaldt magiske firkanter og gjorde det muligt at udføre komplekse beregninger i nogle få enkle trin.

Ifølge gammel kinesisk legende blev den første magiske firkant med hieroglyffer opdaget på skallen af ​​en hellig skildpadde, der dukkede op fra Den Gule Flod i 2200 f.Kr. Matrixen fandt anvendelse i handel og teknik og spredte sig efterfølgende til mange lande i det antikke østen. I løbet af den tidlige middelalder lærte de om det i de arabiske lande, i det 11. århundrede - i Indien, i det 15.-16. århundrede - i Japan.

I Europa var den magiske plads først kendt ved overgangen til det 15.-16. århundrede - takket være den byzantinske forfatter Manuel Moskhopul, som beskrev det i sine skrifter. I 1514 inkluderede den tyske maler Albrecht Dürer en magisk firkant i sin gravering "Melancholia". På den er der blandt andre genstande afbildet en firkant, i de centrale celler, hvor datoen for skabelsen af ​​graveringen er indskrevet.

I det 16. århundrede blev numeriske matricer udbredt blandt spåmænd og astrologer, som gav den magiske plads mystiske og helbredende egenskaber. Det kan ofte findes på datidens miniature sølvstik, som angiveligt beskyttede deres ejere mod pesten. Så, i det 16. århundrede, blev der fundet praktiske anvendelser for matricer i Europa. Den tyske filosof Cornelius Heinrich Agrippa brugte dem til at beskrive de 7 planeters bevægelse ved at konstruere firkanter fra 3. til 9. orden.

I det 17. og 18. århundrede fortsatte forskningen, og i 1751 udgav den schweiziske matematiker Gabriel Cramer en ny måde at løse algebraiske ligninger på ved hjælp af matricer med nul hoveddeterminant, som han havde arbejdet på i flere årtier.

På samme tid blev Gauss-metoden til løsning af et system af lineære algebraiske ligninger offentliggjort. Selvom dets navn i dag er uløseligt forbundet med navnet på en tysk matematiker, tilhører forfatterskabet ifølge historikere ikke ham. Så denne metode til beregning af matricer var kendt 2000 år før Carl Friedrich Gauss liv og blev præsenteret i det gamle kinesiske "Matematik i ni bøger" i det 2. århundrede f.Kr.

Efterhånden som algebra og operationel regning udviklede sig, blussede interessen for matricer op med fornyet kraft i det 19. og 20. århundrede. Deres undersøgelse blev udført af fremtrædende videnskabsmænd fra deres tid: William Hamilton, Arthur Cayley og James Joseph Sylvester.

I midten af ​​det 19. århundrede formulerede de endelig reglerne for at addere og multiplicere matrixtabeller, og i begyndelsen af ​​det 20. århundrede blev det teoretiske grundlag udvidet af Karl Weierstrass og Ferdinand Georg Frobenius' studier. Det er bemærkelsesværdigt, at matrixen først fik sit moderne navn og betegnelse i 1841 - takket være den engelske matematiker Arthur Cayley.

Sorts af matricer

En standard rektangulær matrix er en talserie med m antal rækker og n antal kolonner. Alle elementer i den er nummereret fra venstre mod højre og fra top til bund. Den øverste række kan repræsenteres som (a₁ a₂ a₃ ... aₙ) og den nederste række som (aₘ₁ aₘ₂ aₘ₃ ... aₘₙ). Matrixstørrelsen er angivet som m × n, hvor m og n er naturlige tal.

For at finde ud af det samlede antal elementer i tabellen er det derfor nok at gange m med n: antallet af rækker med antallet af kolonner. Hvilke andre matricer findes udover rektangulære?

• Kvadrat. De har det samme antal rækker og kolonner, det vil sige m = n.
• Som en kolonnevektor. En sådan matrix har n = 1, og størrelsen er angivet som "m × 1". Alle tal i den er nummereret fra top til bund: kolon (a₁ a₂ ... aₘ).
• Som en rækkevektor. En matrix svarende til den foregående, men med m = 1 og størrelsen "1 × n". Tallene i den er nummereret fra venstre mod højre: række (a₁ a₂ ... aₙ).

Kolonner og rækker er angivet med store bogstaver (m, n), men generelt set kan hver matrix repræsenteres som K = M × N, selvom en af ​​værdierne er lig med én.

Der er også transponerede, diagonale, identitets- og nulmatricer. I identitetsmatrixen er alle elementer enheder; når de ganges med det, forbliver enhver matrix uændret. I nul består alle rækker og kolonner af nuller, hver matrix forbliver uændret, når den føjes til den.