Maticová kalkulačka

V matematice se ke kompaktnímu zápisu soustav lineárních rovnic často používají matice zapsané ve formě obdélníkových tabulek. V těchto tabulkách počet řádků odpovídá počtu rovnic a počet sloupců odpovídá počtu neznámých. Existují také matice ve formě kruhů a polí: pro zápis komplexních a reálných čísel.

Pomocí maticových tabulek můžete řešit algebraické a diferenciální rovnice, výpočty redukovat na operace s maticemi, což značně urychluje proces. Kromě toho zjednodušuje systematizaci velkých datových polí, včetně polí v elektronických počítačových zařízeních.

Historie výskytu

Historici připisují vynález prvních matric starověkým Číňanům. Před více než 4000 lety, za vlády císaře Yu Velikého, se tyto matematické objekty nazývaly magické čtverce a umožňovaly provádět složité výpočty v několika jednoduchých krocích.

Podle staré čínské legendy byl první magický čtverec s hieroglyfy objeven na krunýři posvátné želvy, která se vynořila ze Žluté řeky v roce 2200 před naším letopočtem. Matrice našla uplatnění v obchodu a strojírenství a následně se rozšířila do mnoha zemí starověkého východu. Během raného středověku se o tom dozvěděli v arabských zemích, v 11. století – v Indii, v 15.–16. století – v Japonsku.

V Evropě byl magický čtverec znám až na přelomu 15.-16. století – díky byzantskému spisovateli Manuelu Moskhopulovi, který jej popsal ve svých spisech. V roce 1514 zahrnul německý malíř Albrecht Dürer do své rytiny „Melancholia“ kouzelný čtverec. Na něm je mimo jiné vyobrazen čtverec, v jehož centrálních buňkách je vepsáno datum vytvoření rytiny.

V 16. století se mezi věštci a astrology rozšířily číselné matice, které magickému čtverci propůjčovaly mystické a léčivé vlastnosti. Často ji lze nalézt na tehdejších miniaturních stříbrných rytinách, které údajně chránily své majitele před morem. Poté, v 16. století, byly nalezeny praktické aplikace pro matrice v Evropě. Německý filozof Cornelius Heinrich Agrippa je použil k popisu pohybu 7 planet pomocí konstrukce čtverců od 3. do 9. řádu.

V 17. a 18. století výzkum pokračoval a v roce 1751 švýcarský matematik Gabriel Cramer publikoval nový způsob řešení algebraických rovnic pomocí matic s nulovým hlavním determinantem, na kterém pracoval několik desetiletí.

Přibližně ve stejné době byla publikována Gaussova metoda pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Přestože je dnes její jméno neodmyslitelně spojeno se jménem německého matematika, autorství mu podle historiků nepřísluší. Tento způsob výpočtu matic byl tedy znám 2000 let před životem Carla Friedricha Gausse a byl představen ve starověké čínské „Matematice v devíti knihách“ ve 2. století před naším letopočtem.

Jak se algebra a operační počet vyvíjely, zájem o matice se v 19. a 20. století znovu rozhořel. Jejich studii provedli významní vědci své doby: William Hamilton, Arthur Cayley a James Joseph Sylvester.

V polovině 19. století definitivně formulovali pravidla pro sčítání a násobení maticových tabulek a začátkem 20. století teoretický základ rozšířily studie Karla Weierstrasse a Ferdinanda Georga Frobenia. Je pozoruhodné, že matice získala svůj moderní název a označení až v roce 1841 – díky anglickému matematikovi Arthuru Cayleymu.

Růdy matic

Standardní obdélníková matice je číselná řada s počtem m řádků a n počtem sloupců. Všechny prvky v něm jsou očíslovány zleva doprava a shora dolů. Horní řada může být reprezentována jako (a1 a₂ a3 ... aₙ) a spodní řada jako (aₘ1 aₘ₂ aₘ₃ ... aₘₙ). Velikost matice je specifikována jako m × n, kde m a n jsou přirozená čísla.

Pro zjištění celkového počtu prvků v tabulce tedy stačí vynásobit m n: počet řádků počtem sloupců. Jaké další matice existují kromě obdélníkových?

Čtverec. Mají stejný počet řádků a sloupců, tedy m = n.
Jako sloupcový vektor. Taková matice má n = 1 a velikost je specifikována jako "m × 1". Všechna čísla v něm jsou očíslována shora dolů: dvojtečka (a₁ a₂ ... aₘ).
Jako řádkový vektor. Matice podobná předchozí, ale s m = 1 a velikostí „1 × n“. Čísla v něm jsou číslována zleva doprava: řádek (a₁ a₂ ... aₙ).

Sloupce a řádky jsou označeny velkými písmeny (m, n), ale obecně lze každou matici reprezentovat jako K = M × N, i když jedna z hodnot je rovna jedné.

Existují také transponované, diagonální, identitní a nulové matice. V matici identity jsou všechny prvky jednotkami, když ji vynásobíme, jakákoli matice zůstane nezměněna. V nule se všechny řádky a sloupce skládají z nul, každá matice zůstane po přidání nezměněna.

Kalkulátor násobení matic

Stejně jako u většiny ostatních matematických objektů lze s maticemi manipulovat pomocí sčítání a odčítání, násobení a dělení. K tomu existují pravidla a vzorce odvozené vědci v 17.–19. století.

Matriční operace

Operace přidávání

Jakoukoli matici s m řádky a n sloupci lze reprezentovat jako K = m × n. Pokud je do operace zapojeno několik matic najednou, jsou jim přiřazena velká písmena abecedy: A, B, C atd. Chcete-li k sobě přidat maticové tabulky A a B stejného řádu, musíte sečíst všechny jejich prvky v řádcích m a sloupce n v pořadí . To znamená, že v konečné matici C bude každý prvek roven:

сₘₙ = aₘₙ + bₘₙ.

Jelikož jsou navíc použity axiomy lineárního prostoru, nabývá platnosti věta, podle které množina všech stejně velkých matic s prvky z pole P tvoří lineární prostor nad polem P. Jinými slovy, každá taková matice je směrovaný vektor tohoto prostoru (P). Při provádění operací sčítání je třeba vzít v úvahu dvě hlavní vlastnosti matic:

Komutivita – A + B = B + A.
Asociativita – (A + B) + C = A + (B + C).

Pokud sečteme obyčejnou matici s nulovou jedničkou (ve které jsou všechny prvky nuly), dostaneme výraz: A + Ø = Ø + A = A. A když to přičteme k opačné matici, dostaneme a nula jedna: A + (−A) = Ø.

Násobení čísel

Matrici lze vynásobit číslem a jinou maticí. V prvním případě se každý prvek z m řádků a n sloupců postupně vynásobí číslem. Označíme-li číslo písmenem λ a matici písmenem A, dostaneme výraz:

A × λ = λ × aₘₙ.

Při násobení se berou v úvahu následující vlastnosti matic:

Asociativita – λ × β × A = λ × (β × A).
Číselná distributivita - (λ + β) × A = λ × A + β × A.
Distributivita matic – λ × (A + B) = λ × A + λ × B.

Při vynásobení jednou zůstanou všechny prvky tabulky nezměněny a po vynásobení nulou se změní na nuly.

Násobení matic

Druhá varianta násobení - jedna matice druhou, například - A × B. V matici C získané po jejich vynásobení bude každý prvek roven součtu součinů prvků v odpovídajícím řádku první faktor a sloupec druhého. Toto pravidlo platí pouze v případě, že A a B jsou přiměřené, to znamená, že mají stejný počet m řádků a n sloupců. Pokud se matice m × n a n × k vynásobí, bude rozměr výsledné matice C m × k. Stejně jako v případě čísel je třeba při násobení vzít v úvahu vlastnosti matic:

Asociativita – (A × B) × C = A × (B × C).
Nekomutativnost – A × B ≠ B × A;
Distributivní – (A + B) × C = A × C + B × C.

Komutivita je zachována pouze při vynásobení maticí identity I: A × I = I × A = A. A po vynásobení číslem λ je identita zachována: (λ × A) × B = A × (λ × B) = λ × (A × B). Obdélníková/čtvercová matice může být také vynásobena řádkovým vektorem a sloupcovým vektorem. První se zapisuje nalevo od něj a druhý se zapisuje napravo: s následným násobením prvků.

Kde se používají matice

Nejzřejmějším příkladem použití matic v matematice (a v každodenním životě) je násobilka. Není to nic jiného než součin vektorových matic s prvky od 1 do 9. Tento princip je vlastní činnosti všech výpočetních zařízení, která pracují s plochými a trojrozměrnými obrazci.

Matice monitoru z tekutých krystalů je taková v doslovném smyslu a každý prvek v ní je pixel s číselnou hodnotou, na které závisí její odstín a jas. Matice jsou také široce používány:

Ve fyzice jako prostředek záznamu dat a jejich transformací.
V programování popisovat a organizovat datová pole.
V psychologii za psaní testů na kompatibilitu psychologických objektů.

Matriční tabulky se dnes používají i v ekonomii a marketingu, stejně jako v chemii a biologii. K provádění operací s maticemi vyšších řádů je potřeba velký výpočetní výkon. V mysli nebo na papíře je provádění takových výpočtů příliš obtížné a časově náročné, proto byly vyvinuty pohodlné a snadno použitelné online kalkulačky.

Umožní vám provádět všechny základní operace online: násobení, hledání determinantů, transponování, zvyšování na mocninu, hledání hodností, hledání inverzních matic atd. Stačí zadat hodnoty do prázdných polí tabulky , stiskněte požadované tlačítko a výpočet bude proveden ve zlomcích sekund.

Maticová kalkulačka

Ostatní nástroje