Calculadora de matrius

En matemàtiques, per escriure de manera compacta sistemes d'equacions lineals, sovint s'utilitzen matrius, escrites en forma de taules rectangulars. En aquestes taules, el nombre de files correspon al nombre d'equacions, i el nombre de columnes correspon al nombre d'incògnites. També hi ha matrius en forma d'anells i camps: per escriure nombres complexos i reals.

Amb l'ajuda de taules de matrius, podeu resoldre equacions algebraiques i diferencials, reduint els càlculs a operacions sobre matrius, la qual cosa accelera molt el procés. A més, simplifica la sistematització de grans matrius de dades, incloses les dels dispositius informàtics electrònics.

Historial d'ocurrència

Els historiadors atribueixen la invenció de les primeres matrius als antics xinesos. Fa més de 4.000 anys, durant el regnat de l'emperador Yu el Gran, aquests objectes matemàtics es van anomenar quadrats màgics i permetien realitzar càlculs complexos en uns quants passos senzills.

Segons l'antiga llegenda xinesa, el primer quadrat màgic amb jeroglífics es va descobrir a la closca d'una tortuga sagrada que va sortir a la superfície del riu Groc l'any 2200 aC. La matriu va trobar aplicació en el comerç i l'enginyeria, i posteriorment es va estendre a molts països de l'Antic Orient. Durant la primera edat mitjana, en van conèixer als països àrabs, al segle XI -a l'Índia, als segles XV-XVI- al Japó.

A Europa, el quadrat màgic només es coneixia a principis dels segles XV-XVI, gràcies a l'escriptor bizantí Manuel Moskhopul, que el va descriure en els seus escrits. El 1514, el pintor alemany Albrecht Dürer va incloure un quadrat màgic al seu gravat "Melancholia". Sobre ell, entre altres objectes, s'hi representa un quadrat, a les cel·les centrals del qual s'inscriu la data de creació del gravat.

Al segle XVI, les matrius numèriques es van estendre entre els endevins i els astròlegs, que van donar al quadrat màgic propietats místiques i curatives. Sovint es pot trobar en gravats de plata en miniatura de l'època, que suposadament protegien els seus propietaris de la pesta. Després, al segle XVI, es van trobar aplicacions pràctiques per a les matrius a Europa. El filòsof alemany Cornelius Heinrich Agrippa els va utilitzar per descriure el moviment dels 7 planetes mitjançant la construcció de quadrats del 3r al 9è ordre.

Als segles XVII i XVIII, la investigació va continuar, i el 1751 el matemàtic suís Gabriel Cramer va publicar una nova manera de resoldre equacions algebraiques utilitzant matrius amb determinant principal zero, en la qual havia estat treballant durant diverses dècades.

Aproximadament al mateix temps, es va publicar el mètode de Gauss per resoldre un sistema d'equacions algebraiques lineals. Encara que avui el seu nom està indissociablement associat al nom d'un matemàtic alemany, l'autoria, segons els historiadors, no li pertany. Per tant, aquest mètode de càlcul de matrius es coneixia 2000 anys abans de la vida de Carl Friedrich Gauss i es va presentar a l'antic xinès "Matemàtiques en nou llibres" al segle II aC.

A mesura que es van desenvolupar l'àlgebra i el càlcul operacional, l'interès per les matrius va augmentar amb un vigor renovat als segles XIX i XX. El seu estudi va ser realitzat per destacats científics de la seva època: William Hamilton, Arthur Cayley i James Joseph Sylvester.

A mitjans del segle XIX, finalment van formular les regles per sumar i multiplicar taules matricials, i a principis del segle XX, la base teòrica es va ampliar amb els estudis de Karl Weierstrass i Ferdinand Georg Frobenius. Cal destacar que la matriu va rebre el seu nom i designació moderns només el 1841, gràcies al matemàtic anglès Arthur Cayley.

Varietats de matrius

Una matriu rectangular estàndard és una sèrie numèrica amb m nombre de files i n nombre de columnes. Tots els elements que hi ha estan numerats d'esquerra a dreta i de dalt a baix. La fila superior es pot representar com (a₁ a₂ a₃ ... aₙ) i la fila inferior com (aₘ₁ aₘ₂ aₘ₃ ... aₘₙ). La mida de la matriu s'especifica com a m × n, on m i n són nombres naturals.

En conseqüència, per saber el nombre total d'elements de la taula, n'hi ha prou amb multiplicar m per n: el nombre de files pel nombre de columnes. Quines altres matrius existeixen a més de la rectangular?

Quadrat. Tenen el mateix nombre de files i columnes, és a dir, m = n.
Com a vector columna. Aquesta matriu té n = 1 i la mida s'especifica com a "m × 1". Tots els números que hi ha estan numerats de dalt a baix: dos punts (a₁ a₂ ... aₘ).
Com a vector fila. Una matriu semblant a l'anterior, però amb m = 1 i mida "1 × n". Els números que hi ha estan numerats d'esquerra a dreta: fila (a₁ a₂ ... aₙ).

Les columnes i les files es denoten amb majúscules (m, n), però en termes generals, cada matriu es pot representar com a K = M × N, encara que un dels valors sigui igual a un.

També hi ha matrius transposades, diagonals, identitats i zero. A la matriu d'identitat, tots els elements són unitats; quan es multipliquen per ella, qualsevol matriu roman sense canvis. En zero, totes les files i columnes consten de zeros, cada matriu roman sense canvis quan s'hi afegeix.

Calculadora de multiplicació de matrius

Com la majoria d'objectes matemàtics, les matrius es poden manipular amb sumes i restes, multiplicacions i divisió. Per a això, hi ha regles i fórmules, derivades pels científics dels segles XVII-XIX.

Operacions amb matriu

Operacions d'addició

Qualsevol matriu amb m files i n columnes es pot representar com a K = m × n. Si en l'operació intervenen diverses matrius alhora, se'ls assignen lletres majúscules alfabètiques: A, B, C, etc. Per afegir taules de matrius A i B del mateix ordre entre si, cal afegir tots els seus elements en files. m i columnes n al seu torn. És a dir, a la matriu final C, cada element serà igual a:

сₘₙ = aₘₙ + bₘₙ.

Com que s'utilitzen a més els axiomes de l'espai lineal, esdevé vàlid el teorema, segons el qual el conjunt de totes les matrius de la mateixa mida amb elements del camp P forma un espai lineal sobre el camp P. En altres paraules, cadascuna d'aquestes matrius és un vector dirigit d'aquest espai (P). Quan es realitzen operacions d'addició, s'han de tenir en compte dues propietats principals de les matrius:

Commutativitat - A + B = B + A.
Associativitat - (A + B) + C = A + (B + C).

Si afegim una matriu ordinària amb un zero (en què tots els elements són zeros), obtenim l'expressió: A + Ø = Ø + A = A. I quan l'afegim a la matriu oposada, obtenim un zero un: A + (−A) = Ø.

Multiplicació de nombres

Una matriu es pot multiplicar per un nombre i per una altra matriu. En el primer cas, cada element de m files i n columnes es multiplica per un nombre al seu torn. Si denotem el nombre amb la lletra λ, i la matriu amb la lletra A, obtenim l'expressió:

A × λ = λ × aₘₙ.

Les propietats següents de les matrius es tenen en compte durant la multiplicació:

Associativitat - λ × β × A = λ × (β × A).
Distributivitat numèrica - (λ + β) × A = λ × A + β × A.
Distributivitat de la matriu - λ × (A + B) = λ × A + λ × B.

Quan es multipliquen per un, tots els elements de la taula romanen sense canvis i, quan es multipliquen per zero, es converteixen en zeros.

Multiplicació de matrius

La segona variant de la multiplicació, una matriu per una altra, per exemple, A × B. A la matriu C obtinguda després de la seva multiplicació, cada element serà igual a la suma dels productes dels elements de la fila corresponent de la primer factor i la columna del segon. Aquesta regla només és vàlida si A i B són proporcionals, és a dir, tenen el mateix nombre de m files i n columnes. Si es multipliquen m × n i n × k matrius, la dimensió de la matriu final C serà m × k. Com en el cas dels nombres, a l'hora de multiplicar, cal tenir en compte les propietats de les matrius:

Associativitat - (A × B) × C = A × (B × C).
No commutativitat - A × B ≠ B × A;
Distributiu: (A + B) × C = A × C + B × C.

La commutativitat només es conserva quan es multiplica per la matriu d'identitat I: A × I = I × A = A. I quan es multiplica pel nombre λ, la identitat es conserva: (λ × A) × B = A × (λ). × B) = λ × (A×B). Una matriu rectangular/quadrada també es pot multiplicar per un vector fila i un vector columna. El primer s'escriu a l'esquerra i el segon a la dreta: amb la posterior multiplicació d'elements.

On s'utilitzen les matrius

L'exemple més evident de l'ús de matrius a les matemàtiques (i a la vida quotidiana) és la taula de multiplicar. No és més que el producte de matrius vectorials amb elements de l'1 al 9. Aquest principi és inherent al funcionament de tots els dispositius informàtics que funcionen amb figures planes i tridimensionals.

La matriu d'un monitor de cristall líquid és tal en el sentit literal, i cada element que hi ha és un píxel amb un valor numèric, del qual depenen la seva tonalitat i la seva brillantor. Les matrius també s'utilitzen molt:

En física, com a mitjà per registrar dades i les seves transformacions.
En programació, per descriure i organitzar matrius de dades.
En psicologia, per escriure proves sobre la compatibilitat d'objectes psicològics.

Avui, les taules matricials s'utilitzen fins i tot en economia i màrqueting, així com en química i biologia. Per realitzar operacions amb matrius d'ordre elevat, es necessita molta potència de càlcul. En ment o en paper, és massa difícil i requereix molt de temps dur a terme aquests càlculs, de manera que s'han desenvolupat calculadores en línia còmodes i fàcils d'utilitzar.

Et permetran realitzar totes les operacions bàsiques en línia: multiplicar, trobar determinants, transposar, elevar a una potència, trobar rangs, trobar matrius inverses, etc. Només has d'introduir els valors als camps buits de la taula. , premeu el botó desitjat i el càlcul es farà en fraccions de segons.

Calculadora de matrius

Altres eines