ম্যাট্রিক্স ক্যালকুলেটর

গণিতে, রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমগুলি কম্প্যাক্টলি লিখতে, ম্যাট্রিক্সগুলি প্রায়শই ব্যবহার করা হয়, আয়তক্ষেত্রাকার টেবিলের আকারে লেখা। এই সারণিতে, সারির সংখ্যা সমীকরণের সংখ্যার সাথে মিলে যায় এবং কলামের সংখ্যা অজানা সংখ্যার সাথে মিলে যায়। রিং এবং ক্ষেত্রের আকারে ম্যাট্রিক্স রয়েছে: জটিল এবং বাস্তব সংখ্যা লেখার জন্য।

ম্যাট্রিক্স টেবিলের সাহায্যে, আপনি বীজগাণিতিক এবং ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধান করতে পারেন, ম্যাট্রিক্সে ক্রিয়াকলাপের জন্য গণনা হ্রাস করে, যা প্রক্রিয়াটিকে ব্যাপকভাবে গতি দেয়। উপরন্তু, এটি ইলেকট্রনিক কম্পিউটিং ডিভাইস সহ বৃহৎ ডেটা অ্যারেগুলির পদ্ধতিগতকরণকে সহজ করে।

ঘটনার ইতিহাস

ইতিহাসবিদরা প্রথম ম্যাট্রিক্সের আবিষ্কারের জন্য প্রাচীন চীনাদের দায়ী করেন। 4000 বছরেরও বেশি আগে, সম্রাট ইউ দ্য গ্রেটের শাসনামলে, এই গাণিতিক বস্তুগুলিকে ম্যাজিক স্কোয়ার বলা হত এবং জটিল গণনাগুলিকে কয়েকটি সহজ ধাপে চালানোর অনুমতি দেওয়া হয়েছিল।

প্রাচীন চীনা কিংবদন্তি অনুসারে, হায়ারোগ্লিফ সহ প্রথম জাদু বর্গটি একটি পবিত্র কাছিমের খোসার উপর আবিষ্কৃত হয়েছিল যা 2200 খ্রিস্টপূর্বাব্দে হলুদ নদী থেকে আবির্ভূত হয়েছিল। ম্যাট্রিক্স বাণিজ্য ও প্রকৌশলে প্রয়োগ খুঁজে পায় এবং পরবর্তীকালে প্রাচীন প্রাচ্যের অনেক দেশে ছড়িয়ে পড়ে। মধ্যযুগের প্রথম দিকে, তারা এটি সম্পর্কে আরব দেশগুলিতে শিখেছিল, 11 শতকে - ভারতে, 15-16 শতকে - জাপানে।

ইউরোপে, ম্যাজিক স্কোয়ারটি শুধুমাত্র 15-16 শতকের শুরুতে পরিচিত ছিল - বাইজেন্টাইন লেখক ম্যানুয়েল মোসখোপুলকে ধন্যবাদ, যিনি তার লেখায় এটি বর্ণনা করেছেন। 1514 সালে, জার্মান চিত্রশিল্পী আলব্রেখ্ট ডুরার তার খোদাই "মেলাঞ্চোলিয়া" এ একটি জাদু স্কোয়ার অন্তর্ভুক্ত করেছিলেন। এটিতে, অন্যান্য বস্তুর মধ্যে, একটি বর্গক্ষেত্র চিত্রিত করা হয়েছে, যার কেন্দ্রীয় কক্ষে খোদাই তৈরির তারিখ খোদাই করা আছে৷

ষোড়শ শতাব্দীতে, গণক এবং জ্যোতিষীদের মধ্যে সংখ্যাসূচক ম্যাট্রিক্স ব্যাপক হয়ে ওঠে, যারা জাদু বর্গকে রহস্যময় এবং নিরাময় বৈশিষ্ট্য দিয়েছিল। এটি প্রায়শই সেই সময়ের ক্ষুদ্র রূপালী খোদাইগুলিতে পাওয়া যায়, যা তাদের মালিকদের প্লেগ থেকে রক্ষা করেছিল। তারপর, 16 শতকে, ইউরোপে ম্যাট্রিক্সের জন্য ব্যবহারিক অ্যাপ্লিকেশন পাওয়া যায়। জার্মান দার্শনিক কর্নেলিয়াস হেনরিখ আগ্রিপা 3য় থেকে 9ম ক্রম পর্যন্ত বর্গক্ষেত্র তৈরি করে 7টি গ্রহের গতি বর্ণনা করতে তাদের ব্যবহার করেছেন।

17 এবং 18 শতকে, গবেষণা চলতে থাকে এবং 1751 সালে সুইস গণিতবিদ গ্যাব্রিয়েল ক্রেমার শূন্য প্রধান নির্ধারক সহ ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে বীজগণিত সমীকরণগুলি সমাধান করার একটি নতুন উপায় প্রকাশ করেন, যেটি তিনি কয়েক দশক ধরে কাজ করে চলেছেন।

প্রায় একই সময়ে, রৈখিক বীজগণিতীয় সমীকরণের একটি পদ্ধতি সমাধানের জন্য গাউস পদ্ধতি প্রকাশিত হয়েছিল। যদিও আজ এর নামটি একজন জার্মান গণিতজ্ঞের নামের সাথে অঙ্গাঙ্গীভাবে জড়িত, ইতিহাসবিদদের মতে, লেখকত্ব তার অন্তর্গত নয়। সুতরাং, ম্যাট্রিক্স গণনার এই পদ্ধতিটি কার্ল ফ্রেডরিখ গাউসের জীবনের 2000 বছর আগে পরিচিত ছিল এবং খ্রিস্টপূর্ব ২য় শতাব্দীতে প্রাচীন চীনা "নয়টি বইতে গণিত" এ উপস্থাপিত হয়েছিল।

বীজগণিত এবং অপারেশনাল ক্যালকুলাসের বিকাশের সাথে সাথে 19ম এবং 20শ শতাব্দীতে ম্যাট্রিক্সের প্রতি আগ্রহ নতুনভাবে প্রাণবন্ত হয়ে ওঠে। তাদের গবেষণাটি তাদের সময়ের বিশিষ্ট বিজ্ঞানীদের দ্বারা পরিচালিত হয়েছিল: উইলিয়াম হ্যামিল্টন, আর্থার কেলি এবং জেমস জোসেফ সিলভেস্টার৷

ঊনবিংশ শতাব্দীর মাঝামাঝি সময়ে, তারা অবশেষে ম্যাট্রিক্স টেবিল যোগ ও গুণ করার নিয়ম প্রণয়ন করে এবং 20 শতকের শুরুতে কার্ল ওয়েইয়েরস্ট্রাস এবং ফার্দিনান্দ জর্জ ফ্রোবেনিয়াসের গবেষণার মাধ্যমে তাত্ত্বিক ভিত্তিটি প্রসারিত হয়। এটি উল্লেখযোগ্য যে ম্যাট্রিক্সটি শুধুমাত্র 1841 সালে তার আধুনিক নাম এবং উপাধি পেয়েছে - ইংরেজ গণিতবিদ আর্থার কেলিকে ধন্যবাদ৷

ম্যাট্রিসের বিভিন্ন প্রকার

একটি প্রমিত আয়তক্ষেত্রাকার ম্যাট্রিক্স হল একটি সংখ্যা সিরিজ যেখানে m সংখ্যক সারি এবং n সংখ্যক কলাম। এটির সমস্ত উপাদান বাম থেকে ডানে এবং উপরে থেকে নীচে পর্যন্ত সংখ্যাযুক্ত। উপরের সারিটি (a₁ a₂ a₃ ... aₙ) এবং নীচের সারিটিকে (aₘ₁ aₘ₂ aₘ₃ ... aₘₙ) হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। ম্যাট্রিক্সের আকার m × n হিসাবে নির্দিষ্ট করা হয়েছে, যেখানে m এবং n হল প্রাকৃতিক সংখ্যা।

তদনুসারে, সারণীতে মোট উপাদানের সংখ্যা বের করতে, m কে n দ্বারা গুণ করাই যথেষ্ট: কলামের সংখ্যা দ্বারা সারির সংখ্যা। আয়তক্ষেত্রাকার ছাড়া অন্য কোন ম্যাট্রিক্স বিদ্যমান?

বর্গক্ষেত্র। তাদের সারি এবং কলামের সংখ্যা একই, অর্থাৎ, m = n।
কলাম ভেক্টর হিসাবে। এই ধরনের ম্যাট্রিক্সে n = 1 থাকে এবং আকার "m × 1" হিসাবে নির্দিষ্ট করা হয়। এটিতে সমস্ত সংখ্যা উপরে থেকে নীচে সংখ্যাযুক্ত: কোলন (a₁ a₂ ... aₘ)।
একটি সারি ভেক্টর হিসাবে। আগেরটির মতো একটি ম্যাট্রিক্স, কিন্তু m = 1 এবং আকার "1 × n" সহ। এতে সংখ্যাগুলি বাম থেকে ডানে সংখ্যা করা হয়েছে: সারি (a₁ a₂ ... aₙ)।

কলাম এবং সারিগুলি বড় অক্ষর (m, n) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, কিন্তু সাধারণ পরিভাষায়, প্রতিটি ম্যাট্রিক্সকে K = M × N হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, এমনকি যদি একটি মান একটির সমান হয়।

এছাড়াও স্থানান্তরিত, তির্যক, পরিচয় এবং শূন্য ম্যাট্রিক্স রয়েছে। আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্সে, সমস্ত উপাদানই একক; যখন এটি দ্বারা গুণ করা হয়, যে কোনও ম্যাট্রিক্স অপরিবর্তিত থাকে। শূন্যে, সমস্ত সারি এবং কলামে শূন্য থাকে, প্রতিটি ম্যাট্রিক্স অপরিবর্তিত থাকে যখন এটি যোগ করা হয়।

ম্যাট্রিক্স গুণিতক ক্যালকুলেটর

অন্যান্য গাণিতিক বস্তুর মতো, ম্যাট্রিক্সগুলি যোগ এবং বিয়োগ, গুণ এবং ভাগ দিয়ে ব্যবহার করা যেতে পারে। এর জন্য, 17-19 শতকে বিজ্ঞানীদের দ্বারা উদ্ভূত নিয়ম এবং সূত্র রয়েছে।

ম্যাট্রিক্স অপারেশন

সংযোজন ক্রিয়াকলাপ

m সারি এবং n কলাম সহ যে কোনও ম্যাট্রিক্সকে K = m × n হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। যদি একাধিক ম্যাট্রিক্স একবারে অপারেশনে জড়িত থাকে, তবে তাদের বর্ণানুক্রমিক বড় অক্ষরগুলি বরাদ্দ করা হয়: A, B, C, ইত্যাদি। একে অপরের সাথে একই ক্রমে ম্যাট্রিক্স টেবিল A এবং B যোগ করতে, আপনাকে তাদের সমস্ত উপাদান সারিগুলিতে যুক্ত করতে হবে m এবং কলাম n ঘুরে। অর্থাৎ, চূড়ান্ত ম্যাট্রিক্স সি-তে, প্রতিটি উপাদান সমান হবে:

сₘₙ = aₘₙ + bₘₙ।

যেহেতু রৈখিক স্থানের স্বতঃসিদ্ধগুলি অতিরিক্ত ব্যবহার করা হয়, তাই উপপাদ্যটি বৈধ হয়ে যায়, যে অনুসারে P ক্ষেত্রের উপাদানগুলির সাথে একই আকারের সমস্ত ম্যাট্রিকের সেট P ক্ষেত্রের উপরে একটি রৈখিক স্থান গঠন করে। অন্য কথায়, এই ধরনের প্রতিটি ম্যাট্রিক্স এই স্থানের একটি নির্দেশিত ভেক্টর (P)। সংযোজন ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করার সময়, ম্যাট্রিক্সের দুটি প্রধান বৈশিষ্ট্য অবশ্যই বিবেচনায় নেওয়া উচিত:

কমিউটেটিভিটি - A + B = B + A।
সহযোগিতা - (A + B) + C = A + (B + C)।

যদি আমরা একটি শূন্যের সাথে একটি সাধারণ ম্যাট্রিক্স যোগ করি (যেটিতে সমস্ত উপাদান শূন্য), আমরা অভিব্যক্তি পাব: A + Ø = Ø + A = A। এবং যখন আমরা এটিকে বিপরীত ম্যাট্রিক্সে যোগ করি, তখন আমরা একটি পাই শূন্য এক: A + (−A) = Ø।

সংখ্যা গুণন

একটি ম্যাট্রিক্সকে একটি সংখ্যা দ্বারা এবং অন্য একটি ম্যাট্রিক্স দ্বারা গুণ করা যেতে পারে। প্রথম ক্ষেত্রে, m সারি এবং n কলামের প্রতিটি উপাদানকে পালাক্রমে একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ করা হয়। যদি আমরা সংখ্যাটিকে λ অক্ষর দ্বারা এবং ম্যাট্রিক্সকে A অক্ষর দ্বারা বোঝাই, আমরা অভিব্যক্তিটি পাই:

A × λ = λ × aₘₙ।

গুণের সময় ম্যাট্রিক্সের নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি বিবেচনায় নেওয়া হয়:

অ্যাসোসিয়েটিভিটি - λ × β × A = λ × (β × A)।
সাংখ্যিক বন্টন - (λ + β) × A = λ × A + β × A।
ম্যাট্রিক্স ডিস্ট্রিবিউটিভিটি - λ × (A + B) = λ × A + λ × B।

এক দ্বারা গুণ করা হলে, সারণীর সমস্ত উপাদান অপরিবর্তিত থাকে এবং শূন্য দিয়ে গুণ করলে শূন্যে পরিণত হয়।

ম্যাট্রিক্স গুণন

গুণের দ্বিতীয় বৈকল্পিক - একটি ম্যাট্রিক্স আরেকটি দিয়ে, উদাহরণস্বরূপ - A × B. তাদের গুণনের পরে প্রাপ্ত ম্যাট্রিক্স C-তে, প্রতিটি উপাদান হবে সংশ্লিষ্ট সারির উপাদানগুলির গুণফলের সমষ্টির সমান প্রথম ফ্যাক্টর এবং দ্বিতীয়টির কলাম। এই নিয়মটি তখনই বৈধ যদি A এবং B সমানুপাতিক হয়, অর্থাৎ তাদের সমান সংখ্যক m সারি এবং n কলাম থাকে। যদি m × n এবং n × k ম্যাট্রিক্সকে গুণ করা হয়, তাহলে চূড়ান্ত ম্যাট্রিক্স C এর মাত্রা হবে m × k। সংখ্যার ক্ষেত্রে যেমন, গুণ করার সময়, আপনাকে ম্যাট্রিক্সের বৈশিষ্ট্যগুলি বিবেচনা করতে হবে:

সহযোগিতা - (A × B) × C = A × (B × C)।
ননকমিউটাটিভিটি - A × B ≠ B × A;
বন্টনমূলক - (A + B) × C = A × C + B × C.

পরিচয় ম্যাট্রিক্স I দ্বারা গুন করলেই কম্যুটেটিভিটি সংরক্ষিত হয়: A × I = I × A = A। এবং যখন সংখ্যা λ দ্বারা গুণ করা হয়, তখন পরিচয় সংরক্ষিত হয়: (λ × A) × B = A × (λ × B) = λ × (A×B)। একটি আয়তক্ষেত্রাকার/বর্গক্ষেত্র ম্যাট্রিক্সকে একটি সারি ভেক্টর এবং একটি কলাম ভেক্টর দ্বারাও গুণ করা যেতে পারে। প্রথমটি এটির বাম দিকে লেখা, এবং দ্বিতীয়টি ডানদিকে লেখা: উপাদানগুলির পরবর্তী গুণের সাথে৷

যেখানে ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করা হয়

গণিতে (এবং দৈনন্দিন জীবনে) ম্যাট্রিক্স ব্যবহারের সবচেয়ে সুস্পষ্ট উদাহরণ হল গুণের সারণী। এটি 1 থেকে 9 পর্যন্ত উপাদান সহ ভেক্টর ম্যাট্রিক্সের গুণফল ছাড়া আর কিছুই নয়। এই নীতিটি সমতল এবং ত্রিমাত্রিক পরিসংখ্যানগুলির সাথে কাজ করে এমন সমস্ত কম্পিউটিং ডিভাইসের অপারেশনে অন্তর্নিহিত।

একটি লিকুইড ক্রিস্টাল মনিটরের ম্যাট্রিক্স আক্ষরিক অর্থে এমন, এবং এর প্রতিটি উপাদান একটি সংখ্যাসূচক মান সহ একটি পিক্সেল, যার উপর এর রঙ এবং উজ্জ্বলতা নির্ভর করে। ম্যাট্রিক্সও ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়:

পদার্থবিজ্ঞানে, ডেটা এবং তাদের রূপান্তর রেকর্ড করার মাধ্যম হিসাবে।
প্রোগ্রামিং-এ, ডেটা অ্যারে বর্ণনা ও সংগঠিত করতে।
মনোবিজ্ঞানে, মনস্তাত্ত্বিক বস্তুর সামঞ্জস্যের উপর পরীক্ষা লেখার জন্য।

আজ, ম্যাট্রিক্স টেবিল এমনকি অর্থনীতি এবং বিপণন, সেইসাথে রসায়ন এবং জীববিজ্ঞানেও ব্যবহার করা হয়। উচ্চ-অর্ডার ম্যাট্রিক্সের সাথে ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করতে, প্রচুর কম্পিউটিং শক্তি প্রয়োজন। মনে বা কাগজে, এই ধরনের গণনা করা খুব কঠিন এবং সময়সাপেক্ষ, তাই সুবিধাজনক এবং সহজেই ব্যবহারযোগ্য অনলাইন ক্যালকুলেটর তৈরি করা হয়েছে।

তারা আপনাকে সমস্ত মৌলিক ক্রিয়াকলাপগুলি অনলাইনে সম্পাদন করার অনুমতি দেবে: গুণন, নির্ধারকগুলি সন্ধান করা, স্থানান্তর করা, একটি শক্তিতে উত্থাপন করা, র‌্যাঙ্কগুলি সন্ধান করা, বিপরীত ম্যাট্রিক্সগুলি সন্ধান করা ইত্যাদি৷ কেবলমাত্র টেবিলের খালি ক্ষেত্রগুলিতে মানগুলি প্রবেশ করান৷ , পছন্দসই বোতাম টিপুন এবং গণনা ভগ্নাংশ সেকেন্ডে সম্পন্ন হবে।

ম্যাট্রিক্স ক্যালকুলেটর

অন্যান্য সরঞ্জাম