Matrisa kalkulyatoru

Digər alətlər

Sahə kalkulyatoru{$ ',' | translate $}
Perimetr kalkulyatoru{$ ',' | translate $}
Həcm kalkulyatoru{$ ',' | translate $}
Vurma cədvəli{$ ',' | translate $}
Dövri cədvəl{$ ',' | translate $}
LCM kalkulyatoru{$ ',' | translate $}
Triqonometriya kalkulyatoru{$ ',' | translate $}
GCF kalkulyatoru

Matrisa kalkulyatoru

Riyaziyyatda xətti tənliklər sistemlərini yığcam şəkildə yazmaq üçün düzbucaqlı cədvəllər şəklində yazılan matrislərdən tez-tez istifadə olunur. Bu cədvəllərdə sətirlərin sayı tənliklərin sayına, sütunların sayı isə naməlumların sayına uyğun gəlir. Həmçinin halqalar və sahələr şəklində matrislər var: kompleks və həqiqi ədədlərin yazılması üçün.

Matris cədvəllərinin köməyi ilə siz cəbri və diferensial tənlikləri həll edə, hesablamaları matrislər üzərində əməliyyatlara qədər azalda bilərsiniz ki, bu da prosesi xeyli sürətləndirir. Bundan əlavə, o, elektron hesablama cihazlarında olanlar da daxil olmaqla, böyük məlumat massivlərinin sistemləşdirilməsini asanlaşdırır.

Baş vermə tarixi

Tarixçilər ilk matrislərin ixtirasını qədim Çinlilərə aid edirlər. 4000 ildən çox əvvəl, Böyük İmperator Yu-nun hakimiyyəti dövründə bu riyazi obyektlər sehrli kvadratlar adlanırdı və bir neçə sadə addımda mürəkkəb hesablamalar aparmağa imkan verirdi.

Qədim Çin əfsanəsinə görə, heroqlifləri olan ilk sehrli kvadrat eramızdan əvvəl 2200-cü ildə Sarı çaydan çıxan müqəddəs tısbağanın qabığında aşkar edilmişdir. Matris ticarət və mühəndislikdə tətbiq tapdı və sonradan Qədim Şərqin bir çox ölkələrinə yayıldı. Erkən orta əsrlərdə ərəb ölkələrində, 11-ci əsrdə Hindistanda, 15-16-cı əsrlərdə Yaponiyada bu barədə öyrəndilər.

Avropada sehrli meydan yalnız 15-16-cı əsrlərin sonunda tanınırdı - bizans yazıçısı Manuel Mosxopulun sayəsində, onu yazılarında təsvir etdi. 1514-cü ildə alman rəssamı Albrecht Dürer "Melanxoliya" qravürünə sehrli kvadrat daxil etmişdir. Onun üzərində, digər əşyalarla yanaşı, mərkəzi hücrələrində qravürün yaranma tarixi yazılmış kvadrat təsvir edilmişdir.

XVI əsrdə sehrli kvadrata mistik və müalicəvi xüsusiyyətlər verən falçılar və astroloqlar arasında ədədi matrislər geniş yayıldı. Çox vaxt o dövrün miniatür gümüş qravüralarında tapıla bilər ki, bu da öz sahiblərini vəbadan qoruyur. Daha sonra, 16-cı əsrdə Avropada matrislər üçün praktik tətbiqlər tapıldı. Alman filosofu Kornelius Heinrix Aqrippa onlardan 3-cü sıradan 9-cu sıraya qədər kvadratlar quraraq 7 planetin hərəkətini təsvir etmək üçün istifadə etmişdir.

17-18-ci əsrlərdə tədqiqatlar davam etdi və 1751-ci ildə isveçrəli riyaziyyatçı Qabriel Kramer bir neçə onilliklər ərzində üzərində çalışdığı sıfır əsas determinantlı matrislərdən istifadə edərək cəbri tənliklərin həllinin yeni üsulunu nəşr etdi.

Təxminən eyni zamanda xətti cəbri tənliklər sisteminin həlli üçün Qauss metodu nəşr olundu. Bu gün onun adı ayrılmaz şəkildə alman riyaziyyatçısının adı ilə bağlı olsa da, tarixçilərin fikrincə, müəlliflik ona aid deyil. Belə ki, matrislərin hesablanmasının bu üsulu Karl Fridrix Qaussun həyatından 2000 il əvvəl məlum olub və eramızdan əvvəl II əsrdə qədim Çində “Riyaziyyat doqquz kitabda” təqdim olunub.

Cəbr və əməliyyat hesablamaları inkişaf etdikcə matrislərə maraq 19-cu və 20-ci əsrlərdə yeni güclə alovlandı. Onların tədqiqatını dövrünün görkəmli alimləri həyata keçirib: William Hamilton, Arthur Cayley və James Joseph Sylvester.

19-cu əsrin ortalarında onlar nəhayət matris cədvəllərinin toplanması və vurulması qaydalarını tərtib etdilər və 20-ci əsrin əvvəllərində nəzəri baza Karl Weierstrass və Ferdinand Georg Frobeniusun tədqiqatları ilə genişləndirildi. Maraqlıdır ki, matris öz müasir adını və təyinatını yalnız 1841-ci ildə - ingilis riyaziyyatçısı Artur Kaylinin sayəsində alıb.

Matrislərin müxtəlifliyi

Standart düzbucaqlı matris m sayda sətir və n ədəd sütundan ibarət ədəd seriyasıdır. Ondakı bütün elementlər soldan sağa və yuxarıdan aşağıya nömrələnir. Üst cərgə (a₁ a₂ a₃ ... aₙ) və aşağı sıra (aₘ₁ aₘ₂ aₘ₃ ... aₘₙ) kimi göstərilə bilər. Matris ölçüsü m × n kimi müəyyən edilir, burada m və n natural ədədlərdir.

Müvafiq olaraq, cədvəldəki elementlərin ümumi sayını tapmaq üçün m-i n-ə vurmaq kifayətdir: sətirlərin sayını sütunların sayına. Düzbucaqlıdan başqa hansı matrislər mövcuddur?

Kvadrat. Onların eyni sayda sətir və sütun var, yəni m = n.
Sütun vektoru kimi. Belə bir matris n = 1-ə malikdir və ölçüsü "m × 1" kimi müəyyən edilir. İçindəki bütün rəqəmlər yuxarıdan aşağıya nömrələnir: iki nöqtə (a₁ a₂ ... aₘ).
Sıra vektoru kimi. Əvvəlki ilə oxşar, lakin m = 1 və ölçüsü "1 × n" olan matris. İçindəki rəqəmlər soldan sağa nömrələnir: sıra (a₁ a₂ ... aₙ).

Sütunlar və sətirlər böyük hərflərlə (m, n) işarələnir, lakin ümumi olaraq, dəyərlərdən biri birinə bərabər olsa belə, hər bir matris K = M × N kimi göstərilə bilər.

Həmçinin köçürülmüş, diaqonal, eynilik və sıfır matrislər var. Eynilik matrisində bütün elementlər vahiddir, ona vurulduqda istənilən matris dəyişməz qalır. Sıfırda bütün sətir və sütunlar sıfırlardan ibarətdir, hər bir matris ona əlavə edildikdə dəyişməz qalır.

Matris vurma kalkulyatoru

Bir çox digər riyazi obyektlərdə olduğu kimi, matrislər toplama və çıxma, vurma və bölmə ilə idarə oluna bilər. Bunun üçün hələ 17-19-cu əsrlərdə alimlər tərəfindən əldə edilmiş qaydalar və düsturlar mövcuddur.

Matrix əməliyyatları

Əlavə əməliyyatları

M sətir və n sütunlu istənilən matris K = m × n kimi təqdim edilə bilər. Əgər əməliyyatda bir neçə matris eyni vaxtda iştirak edirsə, onlara əlifba sırası ilə böyük hərflər verilir: A, B, C və s. Eyni sıralı A və B matris cədvəllərini bir-birinə əlavə etmək üçün onların bütün elementlərini sətirlərə əlavə etmək lazımdır. m və sütunlar n növbə ilə. Yəni, son C matrisində hər bir element bərabər olacaq:

сₘₙ = aₘₙ + bₘₙ.

Xətti fəzanın aksiomlarından əlavə olaraq istifadə edildiyi üçün teorem etibarlı olur, ona görə P sahəsinin elementləri ilə eyni ölçülü bütün matrislər çoxluğu P sahəsi üzərində xətti fəza əmələ gətirir. Başqa sözlə, hər bir belə matris bu fəzanın (P) istiqamətlənmiş vektorudur. Toplama əməliyyatlarını yerinə yetirərkən matrislərin iki əsas xassəsini nəzərə almaq lazımdır:

Komutativlik - A + B = B + A.
Assosiativlik - (A + B) + C = A + (B + C).

Sıfır bir adi matrisi əlavə etsək (bütün elementləri sıfırdır), ifadəni alırıq: A + Ø = Ø + A = A. Və onu əks matrisə əlavə etdikdə, sıfır bir: A + (−A) = Ø.

Nömrələrin vurulması

Matrisa bir ədədə və digər matrislə vurula bilər. Birinci halda, m sətir və n sütundan hər bir element növbə ilə ədədə vurulur. Ədədi λ hərfi ilə, matrisi isə A hərfi ilə işarələsək, ifadəni alarıq:

A × λ = λ × aₘₙ.

Vurma zamanı matrislərin aşağıdakı xassələri nəzərə alınır:

Assosiativlik - λ × β × A = λ × (β × A).
Ədədi paylanma - (λ + β) × A = λ × A + β × A.
Matrisin paylanması - λ × (A + B) = λ × A + λ × B.

Birə vurulduqda cədvəlin bütün elementləri dəyişməz qalır, sıfıra vurulduqda isə sıfıra çevrilir.

Matrisin vurulması

Vurmanın ikinci variantı - bir matrisi digəri ilə, məsələn - A × B. Onların vurulmasından sonra əldə edilən C matrisində hər bir element elementlərin müvafiq cərgəsindəki elementlərin məhsullarının cəminə bərabər olacaqdır. birinci amil və ikincinin sütunu. Bu qayda yalnız A və B mütənasib olduqda, yəni eyni sayda m sətir və n sütuna malik olduqda etibarlıdır. Əgər m × n və n × k matrisləri vurularsa, son C matrisinin ölçüsü m × k olacaqdır. Rəqəmlərdə olduğu kimi, çarpan zaman matrislərin xassələrini nəzərə almaq lazımdır:

Assosiativlik - (A × B) × C = A × (B × C).
Qeyri-kommutativlik - A × B ≠ B × A;
Distributiv - (A + B) × C = A × C + B × C.

Komutativlik yalnız I eynilik matrisi ilə vurulduqda qorunur: A × I = I × A = A. Və λ rəqəminə vurulduqda eynilik qorunur: (λ × A) × B = A × (λ) × B) = λ × (A×B). Düzbucaqlı/kvadrat matrisi sətir vektoru və sütun vektoru ilə də vurmaq olar. Birincisi onun solunda, ikincisi isə sağda yazılır: elementlərin sonrakı çarpılması ilə.

Matrislərin istifadə edildiyi yerlər

Riyaziyyatda (və gündəlik həyatda) matrislərdən istifadənin ən bariz nümunəsi vurma cədvəlidir. Bu, 1-dən 9-a qədər elementləri olan vektor matrislərinin hasilindən başqa bir şey deyil. Bu prinsip düz və üçölçülü fiqurlarla işləyən bütün hesablama cihazlarının işinə xasdır.

Maye kristal monitorun matrisi hərfi mənada belədir və içindəki hər bir element onun rəngi və parlaqlığının asılı olduğu ədədi dəyəri olan pikseldir. Matrislərdən də geniş istifadə olunur:

Fizikada verilənlərin və onların çevrilmələrinin qeyd edilməsi vasitəsi kimi.
Proqramlaşdırmada verilənlər massivlərini təsvir etmək və təşkil etmək üçün.
Psixologiyada psixoloji obyektlərin uyğunluğu üzrə testlərin yazılması üçün.

Bu gün matris cədvəlləri hətta iqtisadiyyat və marketinqdə, həmçinin kimya və biologiyada istifadə olunur. Yüksək dərəcəli matrislərlə əməliyyatları yerinə yetirmək üçün çoxlu hesablama gücü tələb olunur. Nəzərə alsaq ki, kağız üzərində belə hesablamaları aparmaq çox çətin və vaxt aparır, ona görə də rahat və istifadəsi asan onlayn kalkulyatorlar hazırlanıb.

Onlar sizə onlayn olaraq bütün əsas əməliyyatları yerinə yetirməyə imkan verəcək: vurma, determinantların tapılması, köçürmə, gücə yüksəldilməsi, dərəcələrin tapılması, tərs matrislərin tapılması və s. Sadəcə dəyərləri cədvəlin boş sahələrinə daxil edin, istədiyiniz düyməni basın və hesablama kəsr saniyələrlə aparılacaq.