حاسبة مصفوفات

في الرياضيات ، لكتابة أنظمة المعادلات الخطية بشكل مضغوط ، غالبًا ما تستخدم المصفوفات ، وتكتب في شكل جداول مستطيلة. في هذه الجداول ، يتوافق عدد الصفوف مع عدد المعادلات ، وعدد الأعمدة يتوافق مع عدد المجهول. هناك أيضًا مصفوفات على شكل حلقات وحقول: لكتابة الأعداد المعقدة والحقيقية.

بمساعدة جداول المصفوفة ، يمكنك حل المعادلات الجبرية والتفاضلية ، وتقليل العمليات الحسابية إلى العمليات على المصفوفات ، مما يؤدي إلى تسريع العملية بشكل كبير. بالإضافة إلى ذلك ، فإنه يبسط تنظيم مصفوفات البيانات الكبيرة ، بما في ذلك تلك الموجودة في أجهزة الحوسبة الإلكترونية.

تاريخ حدوثه

ينسب المؤرخون اختراع المصفوفات الأولى إلى الصينيين القدماء. منذ أكثر من 4000 عام ، في عهد الإمبراطور يو العظيم ، كانت هذه الأشياء الرياضية تسمى المربعات السحرية ، وسمحت بإجراء حسابات معقدة في بضع خطوات بسيطة.

وفقًا للأسطورة الصينية القديمة ، تم اكتشاف أول مربع سحري به حروف هيروغليفية على غلاف سلحفاة مقدسة ظهرت من النهر الأصفر عام 2200 قبل الميلاد. وجدت المصفوفة تطبيقًا في التجارة والهندسة ، وانتشرت لاحقًا إلى العديد من دول الشرق القديم. خلال أوائل العصور الوسطى ، تعلموا عنها في البلدان العربية ، في القرن الحادي عشر - في الهند ، في القرنين الخامس عشر والسادس عشر - في اليابان.

في أوروبا ، لم تُعرف الساحة السحرية إلا في مطلع القرنين الخامس عشر والسادس عشر - بفضل الكاتب البيزنطي مانويل موسكوبول ، الذي وصفها في كتاباته. في عام 1514 ، قام الرسام الألماني ألبريشت دورر بتضمين مربع سحري في نقشه "Melancholia". عليه ، من بين أشياء أخرى ، رسم مربع ، في الخلايا المركزية التي تم تسجيل تاريخ إنشاء النقش فيها.

في القرن السادس عشر ، انتشرت المصفوفات العددية بين العرافين والمنجمين ، الذين أعطوا المربع السحري خصائص صوفية وشفائية. يمكن العثور عليها غالبًا على نقوش فضية مصغرة في ذلك الوقت ، والتي يفترض أنها تحمي أصحابها من الطاعون. ثم ، في القرن السادس عشر ، تم العثور على تطبيقات عملية للمصفوفات في أوروبا. استخدمها الفيلسوف الألماني كورنيليوس هاينريش أغريبا لوصف حركة الكواكب السبعة من خلال إنشاء مربعات من الترتيب الثالث إلى التاسع.

في القرنين السابع عشر والثامن عشر ، استمر البحث ، وفي عام 1751 نشر عالم الرياضيات السويسري غابرييل كريمر طريقة جديدة لحل المعادلات الجبرية باستخدام مصفوفات بدون محدد رئيسي ، والتي كان يعمل عليها لعدة عقود.

في نفس الوقت تقريبًا ، تم نشر طريقة Gauss لحل نظام المعادلات الجبرية الخطية. على الرغم من أن اسمها اليوم يرتبط ارتباطًا وثيقًا باسم عالم الرياضيات الألماني ، إلا أن المؤلف ، وفقًا للمؤرخين ، لا ينتمي إليه. لذلك ، كانت طريقة حساب المصفوفات هذه معروفة قبل 2000 عام من حياة كارل فريدريش جاوس ، وتم تقديمها في اللغة الصينية القديمة "الرياضيات في تسعة كتب" في القرن الثاني قبل الميلاد.

مع تطور علم الجبر وحساب التفاضل والتكامل ، اندلع الاهتمام بالمصفوفات بقوة متجددة في القرنين التاسع عشر والعشرين. أجرى دراستهم علماء بارزون في عصرهم: ويليام هاميلتون وآرثر كايلي وجيمس جوزيف سيلفستر.

بحلول منتصف القرن التاسع عشر ، صاغوا أخيرًا قواعد إضافة جداول المصفوفات وضربها ، وبحلول بداية القرن العشرين ، تم توسيع القاعدة النظرية من خلال دراسات كارل وييرستراس وفرديناند جورج فروبينيوس. يشار إلى أن المصفوفة لم تحصل على اسمها الحديث وتسميتها إلا في عام 1841 - بفضل عالم الرياضيات الإنجليزي آرثر كايلي.

مجموعة متنوعة من المصفوفات

المصفوفة القياسية المستطيلة عبارة عن سلسلة رقمية بها عدد m من الصفوف وعدد n من الأعمدة. يتم ترقيم جميع العناصر الموجودة فيه من اليسار إلى اليمين ومن أعلى إلى أسفل. يمكن تمثيل الصف العلوي كـ (a₁ a₂ a₃ ... aₙ) والصف السفلي كـ (aₘ₁ aₘ₂ aₘ₃ ... aₘₙ). يتم تحديد حجم المصفوفة كـ m × n ، حيث m و n عددان طبيعيان.

وفقًا لذلك ، لمعرفة العدد الإجمالي للعناصر في الجدول ، يكفي ضرب m في n: عدد الصفوف في عدد الأعمدة. ما هي المصفوفات الأخرى الموجودة بجانب المستطيل؟

• مربع. لديهم نفس عدد الصفوف والأعمدة ، أي m = n.
• كمتجه عمود. تحتوي هذه المصفوفة على n = 1 ، ويتم تحديد الحجم كـ "m × 1". جميع الأرقام الموجودة فيه مرقمة من أعلى إلى أسفل: نقطتان (a₁ a₂ ... aₘ).
• كمتجه صف. مصفوفة مماثلة للمصفوفة السابقة ، ولكن مع m = 1 وحجمها "1 × n". الأرقام الموجودة فيه مرقمة من اليسار إلى اليمين: الصف (a₁ a₂ ... aₙ).

يُشار إلى الأعمدة والصفوف بأحرف كبيرة (م ، ن) ، ولكن بشكل عام ، يمكن تمثيل كل مصفوفة على أنها K = M × N ، حتى لو كانت إحدى القيم تساوي واحدًا.

هناك أيضًا مصفوفات محولة وقطرية ومتشابهة وصفرية. في مصفوفة الهوية ، كل العناصر عبارة عن وحدات ؛ عند ضرب أي مصفوفة بها ، تظل بدون تغيير. في الصفر ، تتكون جميع الصفوف والأعمدة من أصفار ، وتظل كل مصفوفة بدون تغيير عند الإضافة إليها.